Bonjour,
vraiment intéressant ce problème, la conjecture semble assez facile, mais c'est une autre paire de manche pour la démontrer...
Après avoir chercher à démontrer que l'on ne pouvait pas recouvrir le pourtour, je me suis aperçu que c'était en réalité possible avec un epsilon très petit (epsilon était Taille de la moitié du gâteau - Taille de la feuille )
En tout cas, il est possible de montrer sans trop de calculs que l'on ne peut pas recouvrir le pourtour avec seulement 4 feuilles, et qu'il y aura toujours au moins 1 petit bout sur l'un des côtés restant libre.
Il doit aussi être possible de montrer que si l'on cherche à recouvrir 3 des 4 côtés du pourtour complètemement, il y aura des très légères "fissures" qui s'éloigne suffisamment du centre (à plus du quart de la taille du gateau).
La 5eme feuille ne pourra donc pas recouvrir chacune de ces fissures + le bout restant sur le bord. Le même raisonnement s'applique à quelques détails près si l'on ne recouvre complètement que  deux ou moins des côtés avec les 4 premières feuilles.

Je me rend bien compte que ce n'est vraiment pas clair, je vais essayer de faire un figure, si je ne suis pas trop flemmard, pour expliquer mon propos...

Edit:
Voila une image, j'ai un peu triché pour que ça montre ce que je voulais, car ça ne marche que si epsilon est vraiment très petit.
Les 4 premières feuilles sont les rouges, on voit bien que les fissures entre chacune des feuilles deviennent de plus en plus grande. La cinquième feuille (en vert) ne pourra jamais recouvrir tout le reste.

Pour démontrer que l'on ne peut pas recouvrir le pourtour avec 4 feuilles, il suffit de montrer qu'une feuille ne recouvrira jamais plus de 2x la moitie de la taille du gateau, ce n'est pas très dur...



Si il y a une démo propre (et si possible plus simple), je serai très curieux...

Doit-il accepter l'offre sachant que les feuilles peuvent être orientées n'importe comment , se chevaucher , déborder du gâteau mais ne jamais être découpées ?

De la manière dont est posée la question, je suppose que "Oui", mais je suppose aussi que cette réponse ne te suffit pas .
Si c'est le cas, je ne vois pas trop d'autres possibilités de placer ces feuilles autrement qu'ainsi :



Il faudrait ensuite pour le montrer, calculer le pourcentage minimum que doivent faire les cotés des feuilles par rapport à celui du gâteau.
Mais cela me paraît un calcul assez difficile qui risque de me demander trop de temps ...

Et venez nombreux , ici ou ailleurs ( le forum est un peu triste en ce moment )

Je suis bien d'accord, et c'est pour cela que je suis là !
Je trouve que l'élite de P2T a un peu déserté le navire ces dernier temps, et qu'on se retrouve bien seuls à essayer de le maintenir à flot .

Exact ! Après quelques calculs, je m'aperçois qu'elle ne couvre qu'un carré un peu plus petit que 4 feuilles !
Dommage. J'aurais au moins essayé .

Mais je suis curieux de voir ta méthode .

Je sèche : ça a l'air impossible, mais comment le démontrer ?

On peut déjà remarquer que si on considère les 4 coins et le centre du gâteau, ces 5 points doivent appartenir à 5 feuilles différentes. Après, j'ai essayé de considérer les points du contour du gâteau, mais je n'ai pas réussi à aboutir.

Chaque carré ne peut contenir qu'un seul point bleu,
donc, chacun en contient exactement 1.

Le carré « central » contient, au plus, 1 point vert , associé à un des 4 coins
et dans ce cas, pas plus de 2 points jaunes.

Si, dans un coin, aucun point vert n'est recouvert par le carré central,
ils ne peuvent l'être que par le carré situé dans ce coin.
Ce carré doit donc contenir l'intégralité des deux segments rouges.
Mais dans ce cas, il ne pourra contenir qu'un seul point jaune.

Conclusion :
Si le carré central contient un point vert,
on arrive à un total maximum de 7 points jaunes recouverts. Impossibilité.

Si le carré central ne contient pas de point vert, il doit contenir 4 points jaunes
qui sont obligatoirement les 4 points « centraux ».
Seulement, dans ce cas, il ne participe pas à recouvrir le périmètre de la figure
qui sera strictement inférieur à 16 segments rouges. Impossibilité.

Oui, j'ai la même avec 9 points...

Un coin = un milieu des côtés, un seul.
Le centre, idem.

Mais dans ce dernier cas, le coup du périmètre coince un peu...
Chaque milieu des côtés exclut un point jaune central "différent" et donc on aboutit à une contradiction pour que le carré central touche le milieu d'un côté, mais c'est plus facile à intuiter qu'à démontrer.

Aller, on va simplifier à l'extrême... 
Un carré peut recouvrir 5 points au maximum dont un seul bleu.
Chaque carré contient donc 5 points dont un point bleu.

Il reste 20 points ( 8 rouges et 12 blancs )

Un carré dans un coin ne peut recouvrir que 2 rouges et deux blancs.

Si le carré central ne participe pas au périmètre, il peut couvrir les 4 blancs qui manquent, mais le périmètre sera incomplet.

S'il participe au périmètre, il ne peut pas couvrir 4 points blancs. CQFD

Avec uniquement l'argument du périmètre, tu te trompes. Couvrir tout le périmètre est parfaitement possible.

Ta conclusion semble être un superbe raccourci...

Effectivement, chaque carré est lié au centre ou à un coin.

Dans un coin, pas plus de 2 traits recouverts (en terme de longueur) et au centre pas plus de 2 rac(2).

10,8 < 12 c'est donc impossible.

Les solutions de Gwen et Ebichu sont tout à fait acceptables mais elles peuvent être longues à justifier proprement si on est tatillon à l'extrême .

Je m'étais en fait inspiré du gâteau 14 qui dit que si les deux carrés ont la même taille les sommes des longueurs bleues et rouges sont égales :



Le même raisonnement donne des longueurs rouges inférieures aux bleues si le carré rouge est inférieur au carré bleu et comme bleues et rouges réunies sont inférieures au périmètre du carré horizontal on obtient les inégalités annoncées dans les quatre coins . Pour être complet il faudrait regarder ce qui se passe si le carré oblique récupère un peu dans le prolongement des lignes du carré horizontal mais dans ce cas , on perd plus qu'on ne gagne .

Il est clair que recouvrir le reste des lignes est une mission impossible pour le dernier carré

Un grand merci aux participants

Vasimolo

PS @Jack :

Ton problème est un gâteau non ? J'ai récupéré 14 000 miettes de gâteaux dont la masse totale est 28 kg , ...

Je ne suis pas fan de stats mais voilà la solution ( facile ) de ton gâteau : Spoiler : [Afficher le message] je déconne , voir le message sur ton sujet