Enigme La vente des pommes. @ Prise2Tete

unecoudée · #1

salut.

Voilà un problème d'un autre genre .

je fais 5 marchés du mardi au samedi inclus

Le lundi matin , à la fraiche je reçois 5 caisses de pommes . ( les caisses contiennent toutes la même quantité de pommes .)

je vide la première caisse pour le marché du mardi . je remplis donc le maximum de cagettes de 15 pommes . il me reste des pommes que je dépose dans ma caisse du mercredi.
pour le marcher du mercredi , je vide ma seconde caisse et remplis des cagettes de 18 pommes . Et là il m'en reste encore . Je dépose ce reste dans la troisième caisse , celle pour mon marcher du jeudi .
Pour le marcher du jeudi , je vide la troisième caisse en remplissant des cagettes de 20 pommes . Le reste est à nouveau déposé dans la quatrième caisse qui , elle , va me servir à remplir des cagettes de 24 pommes pour le marcher du vendredi.
et enfin le reste de la quatrième caisse est transvidé dans la dernière caisse avec laquelle je vais remplir des cagettes de 27 pommes pour mon dernier marcher de la semaine. De ce coup ci j'ai rempli mes cagettes et il ne me reste plus de pommes
Sachant que j'ai rempli au total 269 cagettes , combien y avait-il de pommes dans chacune de mes caisses ? - en expliquant la démarche.

bonne soirée.

gwen27 · #2

Les multiple de 15 18 20 24 et 27 sont groupés dans un mouchoir de poche... C'est quasiment comme si on répartissait toutes les pommes à chaque fois.

Je pars de 15*18*20*24*27 = 3499200 pommes par caisse

Réparties en 15 18 20 24 27 , cela donne un total de
233280
194400
174960
145800
129600

soit 878040 caisses ... 269, ce serait mieux...
donc une bonne base de départ serait une simple règle de 3 :

3499200/878040*269 = 1072,03 soit un peu plus de 1072 et comme il y a un reste "minimum" ...

Avec 1073 pommes par caisse, ça marche... 71 60 53 45 et 40 caisses.

golgot59 · #3

Salut !

P pommes par cagettes. Donc 5P pommes en tout. kn cagettes à chaque fois.

P = a+15.k1 -> k1=(P-a)/15
P+a = b+18.k2 -> k2=(P+a-b)/18
P+b = c+20.k3 -> k3=(P+b-c)/20
P+c = d+24.k4 -> k4=(P+c-d)/24
P+d = 27.k5 -> k5=(P+d)/27

269 = k1+k2+k3+k4+k5
= (72P-72a+60P+60a-60b+54P+54b-54c+45P+45c-45d+40P+40d)/1080
290520 = 271P-12a-6b-9c-5d
(avec a<15; b<18; c<20; d<24)

290520/271=1072,03... D'où P=1073

On tire : 12a+6b+9c+5d=263
4a+2b+3c=(263-5d)/3

Donc d = 2 [3] = 2+3k donc prend ses valeurs dans {2;5;8;11;14;17;20;23;26} et k les siennes dans {0;1;2;3;4;5;6;7;8}

4a+2b+3c=(263-2-3k)/3=87-k

Je poursuis plus tard...

Franky1103 · #4

1073 = 15 x 71 + 8
1073 + 8 = 18 x 60 + 1
1073 + 1 = 20 x 53 + 14
1073 + 14 = 24 x 45 + 7
1073 + 7 = 27 x 40
et: 71 + 60 + 53 + 45 + 40 = 269

Réponse = 1073
Méthode = tableur

Plus sérieusement je reviendrai proposer
une solution plus constructive plus tard.

kossi_tg · #5

Soient x, y, z, t, h, s respectivement le nombre de pommes dans une caisse, de cagettes les jours de marchés de mardi à samedi.
La mise en équation du problème s'écrit sous la forme des 2 équations suivantes:
y+z+t+h+s=269 (1)
5*x=15*y+18*z+20*t+24*h+27*s = 5*(3*y+4*t)+ 3*(6*z+8*h+9*s) (2)

6 inconnues, 2 équations, j'ai cherché rapidement d'autres moyens

5*x et 5*(3*y+4*t) sont multiples de 5 donc 6*z+8*h+9*s est aussi multiple de 5.

La suite a été une recherche de proche en proche (oui, c'est très laborieux ) et prenant z, h et s multiples de 5.

z = t = h = l = 10, y = 229 et x = 865

Il y avait 865 pommes dans chacune des caisses.

unecoudée · #6

salut.

@gwen , franky & golgot : bonne réponse

bonnes démarches mais en y regardant de plus près on peut se passer d'équation . c'est un problème de logique .

@kossi : il y a quand même 269 cagettes , alors tu vends des cagettes pleines et des cagettes vides .

nodgim · #7

"je vide la première caisse pour le marché du mardi . je remplis donc le maximum de cagettes de 15 pommes . il me reste des pommes que je dépose dans ma caisse du mercredi."

J'avoue ne pas saisir cette phrase.

unecoudée · #8

salut nodgim.

pour répondre à ta question , je remplis le maximum de cagettes de 15 pommes ,
il me reste moins de 15 pommes dans ma caisse , je les retire de cette caisse pour les ajouter à ma seconde caisse pleine qui va me servir à remplir des cagettes de 18 pommes pour le marcher qui suit ...

gwen27 · #9

Une règle de 3, c'est une équation ?

enigmatus · #10

Bonsoir,
Si N est le nombre de pommes par caisse, le nombre de cagettes (qui est égal à 269) sera voisin de N * ( 1/15 + 1/18 + 1/20 + 1/24 + 1/27 ). On en déduit que N est voisin de 1072. Il ne reste plus qu'à tester les valeurs voisines, et 1073 convient.

Franky1103 · #11

Voici mon "autre" solution, "plus constructive" qu’un bête tableur.
On a les relations: 15.a + 18.b + 20.c + 24.d + 27.e = 5.n; et: a+b+c+d+e = 269
Par ailleurs: n/15-1 =< a < n/15; n/18-1 =< b < n/18+1; n/20-1 =< c < n/20+1; n/24-1 =< d < n/24+1; et: n/27 =< e <n/27+1
D'oû: s-4 =< a+b+c+d+e < s+4
avec: s = n/15 + n/18 + n/20 + n/24 + n/27 = 271.n/1080
Soit: a+b+c+d+e-4 < s=< a+b+c+d+e+4; ou encore: 265 < 271.n/1080 =< 273
Et finalement: 1057 < n =< 1087
On réinjecte dans les inégalités: 70 =< a =< 72; 58 =< b =< 61; 52 =< c =< 55;
44 =< d =< 46; et: 40 =< e =41
Cela limite fortement les recherches, mais je suis sûr qu’on peut encore réduire ces intervalles.
La solution est: 1073

nodgim · #12

Si n est le nombre de pommes dans une caisse:
n(1/15+1/18+1/20+1/24+1/27)=ns=~269
En faisant 1/15s, 1/18s, ...on a la répartition approximative des cagettes.
1065(71) ou 1080(72) cagettes de 15
1062(59) ou 1080(60) cagettes de 18
1060(53) ou 1080(54) cagettes de 20
1056(44) ou 1080(45) cagettes de 24
1053(39) ou 1054(40) cagettes de 27

Pour avoir un nombre de cagettes correct, il faut prendre 3 des options à droite et 2 à gauche. n se trouve entre 1065 et 1080 et on a la relation
5n=3*1080+x+y puisqu'à la fin le compte tombe juste.
1065 est bien sûr obligatoire. Et pour le 2ème y, il faut forcément un multiple de 5, il n'y a que 1060.

5n=3*1080+1065+1060 donc n=1073.
71*15+60*18+53*20+45*24+40*27= 5*1073.

Bien sûr, à la fin il faut vérifier que ça marche pour les échanges.

Vasimolo · #13

Bonjour

En prenant le PPCM des cagettes on arrive à 1080 pommes par caisse ce qui donne un total de 271 cagettes : c'est un peu trop . En enlevant 7 pommes par caisse soit 1073 on arrive au bon compte de cagettes .

Je n'ai pas trouvé de moyen simple pour obtenir le résultat directement

Vasimolo

NickoGecko · #14

Bonjour,

Si il n'y avait pas de restes à reporter, alors chaque caisse de pomme contiendrait un multiple du PPCM de 15, 18, 20, 24 et 27 c'est à dire 1080

Sur la base de 1080, les répartitions par jour de marché seraient :

1: 72 cagettes de 15 pommes (72x15=1080)
2: 60 cagettes de 18 pommes (60x18=1080)
3: 54 cagettes de 20 pommes (54x20=1080)
4: 45 cagettes de 24 pommes (45x24=1080)
5: 40 cagettes de 27 pommes (40x27=1080)

On note que 72+60+54+45+40 = 271 cagettes dans cette configuration
L'énoncé indique 269, cela veut donc dire qu'il y a 2 jours où le nombre de cagettes est celui de la configuration ci dessus moins 1

Soit C la quantité de pommes initiale dans chacune des caisses

Les restes des remplissages seront écrits R1,R2,R3,R4

Le dernier jour, il n'y pas de reste (R5=0) et donc seront remplies 40 cagettes.
On démarre forcément la première opération avec un reste R1 et R1<15

Donc :

1: 71 cagettes de 15 pommes : 71x15 +R1 = C
2: 60 ou 59 cagettes de 18 pommes ?

cas 2a: 60x18+R2=C+R1 = 71x15 + 2xR1 soit R2+15 = 2xR1
ce cas indique R1 supérieur ou égal à 8 et C = 1080 + R2 - R1

cas 2b: 59x18=1062 et 71x15=1065
on aurait 2xR1+3=R2

3 : 54 ou 53 cagettes de 20 pommes ?
3a: 54x20+R3=C+R2
3b: 53x20+R3=C+R2

....

jusquà la fin :
5: 40x27=C+R4

Si je pars du cas 2b en essayant la première valeur possible pour R1, c'est à dire 8, ça marche :

C = 1073

1: 71 cagettes de 15 pommes = 1065 reste 8 on a 1081 pommes à répartir
2: 60 cagettes de 18 pommes = 1080 reste 1 on a 1074 pommes à répartir
3: 53 cagettes de 20 pommes = 1060 reste 14 on a 1087 pommes à répartir
4: 45 cagettes de 24 pommes = 1080 reste 7 soit 1080 pommes à répartir
5: 40 cagettes de 27 pommes (40x27=1080)

C'est "bourrin" et il me manque une partie du raisonnement en finesse ...

J'essaie de revenir !

A+

pom pom pom pom !

unecoudée · #15

salut.

merci de vous être intéressés à cette énigme . tous les participants ont trouvé une quantité de 1073 pommes par caisse .

On suppose qu'il n'y aucune pomme en rabe lorsqu'on vide les caisses .

la décomposition des 5 capacités des cagette en facteurs premiers donne:

15 =3 x 5 ; 18 = 2 x 3² ; 20 = 2² x 5 ; 24 = 2^3 x 3 & 27 = 3^3
donne tout de suite un ppcm de 5 x 8 x 27 = 40 x 27 = 1080

avec dans cet ordre de remplissage : 72 + 60 + 54 + 45 + 40 = 271 cagettes. On s'aperçoit que 2 cagettes sont en trop. Alors il faut retirer n pommes par caisse donc 5n pommes au total.
Par contre on peut dire tout de suite qu'une cagette de 15 va disparaître .
la troisième cagette , celle qui contient 20 pommes est aussi un multiple de 5 .
on voit qu'en supprimant 15 + 20 = 7 x 5 pommes , ça fonctionne à une condition , que 15 - 7 > 7 puisque le reste de 8 pommes de la première caisse devra être supérieur au nombre 7 (de pommes retirés de la seconde caisse) afin de conserver la quantité de cagette de 18 . On voit que ça fonctionne . Et le reste tombe comme un fruit mûr . Une remarque quand même ; les contenances des gagettes sont en croissance . 15 - 18 - 20 - 24 - 27
les restes générés doivent être des multiple de 7 après la troisième caisse .
les restes sont bien: r1 = 8 , r2 = 1 , r3 = 14 , r4 = 7 & r5 = 0
si on permute les marchés du mercredi et du jeudi , ça ne fonctionne plus , puisqu'on conserve les 54 cagettes de 20 pommes.

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#1 - 09-02-2015 17:36:11

la vente des polmes.

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#2 - 09-02-2015 18:38:39

La vente des pomme.

#3 - 09-02-2015 19:04:28

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#4 - 09-02-2015 19:50:08

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#5 - 09-02-2015 21:30:14

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#12 - 11-02-2015 07:13:55

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#13 - 11-02-2015 17:32:13

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#14 - 11-02-2015 19:12:57

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