Quand on mise 1 € et qu'on gagne, on gagne quoi ?

Bonjour,

Il n'y a aucune stratégie meilleure qu'une autre, sinon, il y aurait des martingales qui marchent au casino !

Regardons par exemple ce qui se passe si l'objectif est d'avoir 4 pièces (et non pas 100). On va opposer 2 méthodes : mét1 on mise 1 € à chaque fois et mét2 on mise le maximum.

Mét1 : après 3 tirages, on est dans la situation P1 (1 chance sur 2), P3(1/8), 2 pièces (2/8) ou 4 pièces (1/8) (en construisant l'arbre et en notant Px le fait de perdre son dernier €uro après le coup x).

Lorsque l'on a 2 pièces, la situation est symétrique et l'on a autant de chance de gagner que de perdre, donc au final, l'espérance de gain est de 1/4 et l'espérance de perte est de 3/4.

Mét2 : après 2 coups, soit on a gagné les 2 fois et c'est fini (4 pièces), avec 1 chance sur 4. Soit on perd, 3 chances sur 4.

Dans les 2 cas, les chances de gains sont de 1/4. Pas de stratégie favorables.

La différence entre les 2 méthodes réside dans le nombre de coups moyens joués Nm :
mét2 : on a  systématiquement Nm = 2 coups.
mét1 : Nm = 1/2 x 1 + 1/4 x (N2+1)
où N2 est le nombre moyen de coups joués en partant de 2 €uros.

Or, si on part de 2€, 1 fois sur 2, ça arrête après 2 coups (à 0 ou 4) et 1 fois sur 2, on revient à 2 €uros, donc N2= 1/2 x 2 + 1/2 x (N2+2), donc N2 = 4.
Soit Nm = 3 coups.

Comme on pouvait s'y attendre, la méthode 1 permet de jouer plus longtemps.

@dylasse : tu compares 2 méthodes parmi d'autres et tu le fais pour 4€ seulement. Ce qui ne répond pas au problème.

@Nombrilist : il faut miser moins que la réserve de la banque au sens large, c'est-à-dire un montant inférieur ou égal.

Je vois 3 techniques

Technique 1 : quitte ou double
C'est la plus rapide, il suffit de gagner 7 fois de suite (et encore, après 6 victoires de suite, je peux perdre une fois !)

Technique 2 : Je mise 1 tout le temps, et avec un peu de chance, je peux espérer avoir les 100 pièces après un très grand nombre de lancer

Technique 3 :
Dès que j'ai 3 pièces, j'utilise la stratégie de la martingale classique pour la roulette
http://fr.wikipedia.org/wiki/Martingale
C'est à dire, jouer 1 pièce et si je perd, je double !

Bref, pour les 3 techniques, je ne sais pas laquelle déchire et laquelle est ridicule

L'exemple avec 4 €uros était là juste pour montrer que l'intérêt d'une stratégie par rapport à une autre ne résidait pas dans l'espérance de gains mais pouvait influer, par exemple, sur la durée du jeu.

LA réponse à ta question est : toute les stratégie sont équivalentes.
En effet, à chaque coup, et quelque soit la mise, l'espérance de mon pot après le lancer ne varie pas :  E(PotAprès) = (PotAvant - Mise) + 1/2 x 0 + 1/2 x (2 x Mise) = PotAvant.

Lorsque le jeu s'arrête (et il s'arrêtera toujours, au bout d'un certain nombre de coups, qui en moyenne dépend de la stratégie), soit j'ai 100€ dans mon pot, soit j'ai 0€. L'espérance de mon pot est toujours de 1 € (sa valeur de départ), donc 1€ = Chance de gagner x 100€ + Chance de perdre x 0€.
D'où, chance de gagner = 1/100. Cette chance de succès ne dépend que de la valeur de mon pot initial et de mon objectif de gain, pas de ma stratégie.

J'ai dû me tromper quelque part car je trouve qu'avec n pièces en poche la probabilité de gagner est P(n)=n.P(1) quelle que soit la stratégie adoptée . Comme P(100)=1, les chances de gain seraient extrêmement faible : 1% .

Vasimolo

Bonjour,

Si on appelle P(k) la probabilité de plumer la banque lorsque on a un avoir de k (N-k pour la banque) :

P(0) = 0 * P(1)
P(1) = 1 * P(1)

Il faut montrer par récurrence que P(k) = k * P(1)
Si on a une somme k, et qu'on mise m (m ≤ k et m ≤ N-k) :

P(k) = 1/2*P(k+m) + 1/2*P(k-m)
D'où P(k+m) = 2*P(k) - P(k-m)

On suppose P(k) = k * P(1) et P(k-m) = (k-m) * P(1),
on en déduit P(k+m) = 2*k*P(1) - (k-m)*P(1) = (k+m)*P(1)

Donc P(1) = P(N)/N = 1/N

La probabilité de gagner dans l'énigme est de 1/100, et ne dépend pas de la stratégie. C'est la durée de la partie qui en dépend.

Voici les résultats de simulations de 10**7 parties, avec 3 stratégies différentes :

1) Mise maximum à chaque fois

proba gain | proba perte | longueur moyenne d'une partie | d'une partie gagnante | d'une partie perdante
1.0034E-02   9.8997E-01                        2.0001         7.5476                  1.9439

2) Mise limitée à 13

proba gain | proba perte | longueur moyenne d'une partie | d'une partie gagnante | d'une partie perdante
9.9933E-03   9.9001E-01                        2.4597        24.5040                  2.2371

3) Mise limitée à 1

proba gain | proba perte | longueur moyenne d'une partie | d'une partie gagnante | d'une partie perdante
1.0003E-02   9.9000E-01                       99.1272      3333.8996                 66.4422

@titoufred #15

On peut, si c'est plus clair, démontrer d'abord la relation P(k) = k * P(1) = k / N avec uniquement des mises de 1 €.

Ensuite, pour passer de k à k+m, on remplace les mises de 1 par une mise de m, et il me semble que j'ai montré en #14 que P(k+m), calculé directement à partir de P(k) et P(k-m), est conforme à la relation ci-dessus, soit P(k+m) = (k+m) * P(1) = (k+m) / N.

Ce qui fait que la stratégie n'a aucune importance quant à la probabilité de gagner.

Voilà, vous pouvez à présent admirer la solution donnée par dylasse, qui est le seul à avoir trouvé. On pourrait lui opposer qu'un passage de la démonstration est avancé sans preuve, quand il dit qu'une partie va toujours s'arrêter (comprendre avec une probabilité qui tend vers 1). Mais cela se prouve assez facilement. Qui voit comment ?

enigmatus a raisonné différemment, mais il n'a pas avancé de démonstration convaincante selon moi. Vasimolo semble avoir emprunté la même voie. Tu ne veux pas faire partager ton raisonnement Vasimolo ?

Petite prolongation : et si jamais on enlevait la contrainte de miser uniquement un nombre entier d'euros, et que les mises puissent être n'importe quel nombre réel positif, ça changerait radicalement la conclusion ou pas du tout ?

Ce n'est pas l'initialisation qui pose problème mais l'hérédité.

Oui bravo dylasse !