Enigme Nombre réfractaire (2) @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonjour @ tous.

On dit qu'un nombre " n " est réfractaire à un nombre premier " p " si la division de " n " par " p " n'est pas juste et si en plus, en changeant 1 seul chiffre de " n " , on n'arrive pas davantage à obtenir une division juste (reste non nul).

Saurez vous construire un nombre réfractaire à p > 11 d'au moins p² chiffres ?

Bonne recherche.

Ebichu · #2

9.010.779.220.779.220...779.220 est un nombre réfractaire à 13 arbitrairement grand. Ça doit pouvoir se généraliser, mais j'ai peur que ce soit un peu compliqué à écrire...

nodgim · #3

Peut être Ebichu, je ne sais pas.

Ce qui m'intéresse, c'est de savoir comment tu le construis, en vue d'une généralisation.

Ebichu · #4

La périodicité d'ordre 6 de mon nombre est liée au fait que 1.000.000 = 1 mod 13.

J'ai choisi de fabriquer un nombre réfractaire congru à 1 mod 13, mais j'aurais sans doute pu le faire congru à autre chose.

En changeant le chiffre des unités de mon nombre, il ne faut pas que l'on rajoute -1 mod 13 à sa valeur. Donc il ne faut pas qu'on enlève 1 au chiffre des unités, cela exclut tous les chiffres des unités sauf 0.

En changeant le chiffre des dizaines de mon nombre, il ne faut pas que l'on rajoute -1 mod 13 à sa valeur. Donc il ne faut pas qu'on fasse +9 ou -4 au chiffre des dizaines, cela exclut tous les chiffres des dizaines sauf 1, 2, 3.

Je fais le même raisonnement pour tous les rangs des chiffres. Au bout de 6 rangs, cela boucle, car 1.000.000 = 1 mod 13. Résumons ce que l'on obtient dans un tableau:

Rang du ch. (mod 6) ===> ch. possibles ===> contribution du ch. à mon nb mod 13
1 (chiffres des unités ou des millions...) ===> 0 ===> 0
2 (chiffres des dizaines ou des dizaines de millions...) ===> 1,2,3 ===> 10,7,4
3 ===> 0,1,2 ===> 0,9,5
4 ===> 9 ===> 4
5 ===> 6,7,8 ===> 5,8,11
6 ===> 7,8,9 ===> 2,6,10

J'ai donc d'abord cherché un choix de 6 chiffres dont la contribution à mon nombre fasse 0 mod 13, j'ai trouvé 779.220 (contribution 2+8+4+5+7+0=26=0 mod 13).

Puis j'ai cherché un choix de quelques chiffres pour la partie à gauche de mon nombre, dont la contribution fasse 1 mod 13. J'ai trouvé 9.010 (contribution 4+0+10+0=14=1 mod 13).

nodgim · #5

C'est Ok, Ebichu.

Il y a une petite nuance avec ce que j'ai fait moi même, décrit ci-après.

Le choix de 1 ( ou -1 ) est judicieux et le plus facile, parce qu'on sait que ça marche toujours, pour tous les nombres premiers.

Lemme

Pour tout nombre premier p > 20, 10 et 20 sont 2 valeurs modulo p. Les 7 autres multiples de 10 ( de 30 à 90) ne peuvent pas prendre toutes les valeurs comprises entre 10 et 20. Dans ce rang des dizaines, il existe donc au moins 2 nombres a [p] et b [p] tel que a+1 [p] et b+1 [p] n'existent pas parmi les 9 multiples de 10 [p]. On vérifie rapidement qu'il en est de même pour les nombres 13, 17 et 19. On note que a-b différent de 0 [p] puisque, par définition, a [p] et b [p] < p.

Par ailleurs, pour chacun des rangs de chiffres autres que les dizaines, il existe forcément au moins un a [ p] tel que a+1[p] n'existe pas dans les 9 multiples correspondants puisque p > 11.

Construction du nombre :

On construit un nombre de p-1 chiffres en prenant pour chaque rang le chiffre qui correspond au nombre a [p] du lemme. On calcule la somme S[p] de ces nombres. Si elle est nulle, on choisit le nombre b du lemme de sorte que S[p] n'est plus nulle. Comme 10 ^ ( p-1 ) = 1 [p], le chiffre de rang p -1 est le dernier chiffre d'une période de longueur p-1. Comme S[p] < p et p premier, il existe K tel que K * S[p] = - 1 [p]. Ce nombre est la concaténation de K fois le nombre de p-1 chiffres et il est réfractaire puisqu'il n'existe aucun chiffre, par construction, de valeur a [p] tel que a+1 [p] existe. Pour que ce nombre ait au moins p² chiffres, il suffit de le concaténer (p+1)² fois.

nodgim · #6

A contrario, un joli nombre très perméable à 13 : 904.521.114
car
004.521.114
914.521.114
901.521.114
904.121.114
904.511.114
904.524.114
904.521.514
904.521.124
904.521.111

sont divisibles par 13.

La séquence 4.521.114 pouvant être ajoutée autant de fois que l'on veut au nombre initial.

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