Bonjour Nodgim, je découvre hier soir ton problème, en passant un peu par hasard je dois dire. J'ai failli être hors limite, mais vu l'enthousiasme général, pas si structurant...

Comme dab, pas trivial. On sent bien qu’il faut bosser en binaire, mais j’ai pataugé un peu pour trouver la solution. Bref.

n un nombre impair
Je note T(n) = S-(n) + S+(n)
On cherche les conditions pour que T(n) = n.

En représentation « binaire », n= αp*2^p + α(p-1)*2^(p-1)+…+ α1*2 + α0
Avec α0 = αp = 1 et αi = 0 ou 1 entre 1 et p-1.
Je note Fi la somme des facteurs αi entre 1 et i.

En comprenant la mécanique des S-(n) et S+(n) - à chaque division, un des deux est impair et ajoute sa contribution à T(n) - on peut montrer que
T(n) = Fp*2^(p+1) – 2*Fp - ∑(Fi*2^i).
Pas immédiat quand même.
On peut ensuite montrer que du coup T(n) = n + p -2*Fp -1.
Pas immédiat on plus.

Donc T(n) – n = p – 2*Fp -1.
Et finalement, T(n) = n si et seulement si p est impair et Fp=(p-1)/2.
Bref, si j’écarte le 1 de l’unité en binaire de n, il faut et suffit qu'exactement la moitié des autres digits vaille 1.

Le premier n supérieur à 1.000.000 : 1.000.007
Le nombre de n inférieurs à 1000 : 50

précipitation en binaire.
correction du coup : 1.049.599
mieux comme ça...

Yes.
Mais pas simple à reporter sans Latex (∑ de ∑...)

D'abord je montre, par itérations de S-(n) et S+(n) que T(n)= ∑(∑α(j+i)*2^î)+∑((1-αj) avec j de 1 à p et i de 0 à p-j

Donc que T(n) = Fp*2^(p+1) – 2*Fp - ∑(Fi*2^i).

Puis par réarrangement que Fp*2^(p+1) - ∑(Fi*2^i) = p - 1 + ∑αi*2^i

Donc T(n) – n = p – 2*Fp -1, ce qui donne le résultat.

Calculs un peu complexes quand même...

Salut Nodgim,

pas sûr de comprendre précisément ta méthode.
j'ai pris quelques minutes pour écrire la mienne (Latex manuel), au plus court

joli problème en tout cas:)