$$S_0 = 1 = 1^2 = (F_1)^2 S_1 = 3 = 1 \times 3 = F_1 \times F_3 S_2 = 9 = 3^2= (F_3)^2 S_3 = 24 = 3 \times 8 = F_3 \times F_5 S_4 = 64 = 8^2= (F_5)^2 S_5 = 168 = 8 \times 21 = F_5 \times F_7 S_6 = 441 = 21^2= (F_7)^2 S_7 = 1155 = 21 \times 55 = F_7\times F_9 S_8 = 3025 = 55^2= (F_9)^2 S_9 = 7920 = 55 \times 144 = F_9 \times F_{11}...$$
Vérifions donc que :
$$S_{2n} = (F_{2n+1})^2 S_{2n-1} = F_{2n-1} \times F_{2n+1}$$
Par récurrence :

- OK pour $S_0$ et $S_1$ : voir plus haut

- supposons qu'à un rang k donné,
$$S_{2k} = (F_{2k+1})^2 S_{2k-1} = F_{2k-1} \times F_{2k+1}$$
Alors :
$$S_{2k+1} = S_{2k} + F_{2k+1} \times F_{2k+2} = (F_{2k+1})^2 + F_{2k+1} \times F_{2k+2} = F_{2k+1} \times (F_{2k+1} + F_{2k+2}) = F_{2k+1} \times F_{2k+3}$$
Puis :
$$S_{2k+2} = S_{2k+1} + F_{2k+2} \times F_{2k+3} = F_{2k+1} \times F_{2k+3} + F_{2k+2} \times F_{2k+3} = (F_{2k+1} + F_{2k+2}) \times F_{2k+3} = (F_{2k+3})^2$$
Et voilà

Merci d'avoir donné les premiers termes, c'est bien aussi d'avoir une idée du résultat qu'on cherche à obtenir avant de commencer les calculs

http://www.prise2tete.fr/upload/gabriel … onacci.pdf

Rectification: il y a un changement d'indices à faire en posant m=n-1 et revenir à n donc à la fin les 2 exposants sont $2 \times n - 1$

Plus d'infos :
http://wildaboutmath.com/2009/06/30/now … as-passed/

La prochaine fois tu gagneras
En tout cas, nous sommes très fiers de voir un représentant de p2t cité ainsi

Tu es Henno Brandsma,  .mau.ou Olivier ?

grandiose, p2t est cité deux fois, bravo à vous