Bonsoir,
[TeX]2010! = 1 * 2 * 3 * 4 * ... * 2010[/TeX]
On peut aussi écrire : [latex]2010! = 5 * 10 * 15 * ... * 2005 * 2010 * N[/latex] (avec N premier avec 5)
D'où [latex]2010! = 5^4^0^2 * 1 * 2 * 3 * ... * 401 * 402 * N[/latex]
On peut aussi écrire : [latex]2010! = 5^4^0^2 * 5 * 10 * ... * 400 * N'[/latex] (avec N' premier avec 5)
On continue à isoler les puissances de 5 : [latex]2010! = 5^4^0^2 * 5^8^0 * 1 * 2 * ... * 80 * N'[/latex]
De fil en aiguille : [latex]2010! = 5^4^0^2 * 5^8^0 * 5^1^6 * 5^3 * N''[/latex] (avec N"" premier avec N)
[TeX]2010! = 5^5^0^1 * N""[/TeX]
Ces 501 puissances de 5, multipliées par leur équivalent en puissance de 2 généreront 501 zéros.

Hommage :

Par combien de 0 se termine 2010!

GETA -> traduction en français : La somme des entiers de la division de 2010 par 5 et ses puissances.

On arrive donc à 501.

Edit : correction du phrasé.

[TeX]2010! = k \times 10^{n}[/TeX]
Et le nombre [latex]n[/latex] est la réponse. En remarquant que 10 est le produit de 2 et 5 (niveau Terminale S au bas mot), il "suffit" de savoir combien de facteurs 2 et 5 sont impliqués dans le produit des nombres de 1 à 2010.

A vue de nez, le facteur 2 sera immensément plus commun que le facteur 5 : vu qu'un nombre sur 2 est pair (niveau MPSI), ça nous fait plus de 1005 fois le facteur 2.

Le facteur 5 apparaît une fois tous les 5 nombres, une fois de plus tous les 25 nombres, une fois de plus tous les 125 nombres, et une fois en plus en plus tous les 625 nombres (niveau Bac+5 en maths appliquées).

Ca nous fait :
- 402 nombres divisibles par 5
- plus 80 nombres divisibles par 25 (qui font partie des 402 précédents)
- plus 16 nombres divisibles par 125 (même remarque)
- plus 3 nombres divisibles par 625 (encore la même remarque)

Soit 501 apparitions uniques du facteur 5 dans le calcul de 2010! (en sommant les nombres précédents, niveau Doctorat en sciences fondamentales). Le facteur 2 apparaissant largement plus souvent, l'écriture décimale de 2010! se termine par 501 occurrences du chiffre zéro.

Je sèche sur la question subsidiaire (qui doit pourtant tenir de la recherche Google niveau CE1). En cherchant un peu, j'ai trouvé un des plus grands amateurs de mathématiques récréatives, Martin Gardner, mort en mai de cette année, et un article écrit en son hommage par... Normand Baillargeon. Oh tiens. Le monde est petit.

Ce n'est pas de l'ironie quant à la difficulté du problème (avec lequel je me suis régalé), juste de l'auto-foutage de gueule sur ma façon de présenter sérieusement et avec détails un truc que tout le monde sait faire, qui a dégénéré en gros délire tout seul Loin de moi l'idée de critiquer !

Par contre, si tu as un indice de plus sur la personne à qui tu rends hommage... ^^'

Je suis un fan de Martin Gardner, décédé au début de cette année.

Pour les zéros, il suffit de compter les facteurs 5 puisque les facteurs 2 sont bien plus nombreux.
2010/5=402 pour une première famille de facteurs
2010/25=80 et des poussières, pour des facteurs 5 supplémentaires
2010/125=16 et... pour d'autres
2010/625=3,216 pour les 3 derniers.

Il suffit alors de faire 402+80+16+3=501
En anglais : Aha!

Je viens de faire un peu de recherche pour dénicher le Haha en question et...
je suis tombé sur un site en l'honneur de Martin Gardner

http://www.g4g4.com

Il y a notamment un livre gratuit à télécharger ainsi qu'une page de liens a explorer.    For English reader