Imaginons le disque de rayon 1.
Soient h la hauteur du cône, R le rayon de la base et V le volume du cône.
On a:
h²+R²=1
V est proportionnel à R².h.
Donc V² est proportionnel à R^4.h²=R^4.(1-R²).
Il faut maximiser V² (en fait V mais c'est pareil) avec R entre 0 et 1.
Un tableau de variation sur V² donne que le max est atteint pour R=racine²(2/3). (l'intérêt de prendre V² plutôt que V est que ça donne un polynôme: c'est facile de le dériver et de voir où la dérivée s'annule)
Pour avoir un tel rayon, il a fallu garder 360.racine²(2/3) degré du disque.
Autrement dit, on en a coupé 360.(1-racine²(2/3)) degré du disque, soit environ 66°.

Bon alors j'ai trouvé 3 résultats dont  un seul me semble logique, je détaille mais j'avoue que j'ai fais ça comme un idiot qui va de A à B sans chercher plus loin...

Soit a le rayon du disque. le périmètre est donc : [latex]P_d=2\pi a[/latex]
Soit [latex]\theta[/latex] l'angle de l'arc que l'on enlève. on a donc comme longueur de cet arc : [latex]l_{arc}=a\theta[/latex]
Ainsi le périmètre de la base du cône sera :
[TeX]P_c=P_d-l_{arc} \Rightarrow P_c=a(2\pi-\theta)\\ [/TeX]
Le rayon de la base du cône sera donc :
[TeX]R=\frac{a}{2\pi}(2\pi-\theta)[/TeX]
Le volume du cône est :
[TeX]V=\frac{1}{3}\pi R^2 h \,=\, \frac{a^3}{12\pi}(2\pi-\theta)^2 \sqrt{1-\frac{2\pi-\theta}{4\pi^2}}\\[/TeX]
Pour trouver le volume idéal, il faut résoudre [latex]\frac{dV}{d\theta}=0[/latex]

Je passe les calculs qui sont trop longs :
[TeX]-3\theta^3+18\pi\theta^2-28\pi^3\theta+8\pi^3=0[/TeX]
Avec une très bonne intuition on remarque que [latex]2\pi[/latex] est solution, on peut donc factoriser :
[TeX](\theta-2\pi)(-3\theta^2+12\pi\theta-4\pi^2)=0[/TeX]
On obtient 3 solutions :
[TeX]\theta_1=2\pi \,\approx \, 6,15 rad \, = \, 360^\circ \\
\theta_2=\frac{2\pi\sqrt{6}+6\pi}{3} \, \approx \, 11,41 rad \, \approx \, 653^\circ\\
\theta_3=\frac{-2\pi\sqrt{6}+6\pi}{3} \, \approx \, 1,153 rad \, \approx \, 66^\circ [/TeX]
On retient donc la 3eme valeur, l'angle sera donc de 66°.

Notations :
- x secteur angulaire du cône (en radians)
- R rayon du disque
- r rayon de la base du cône
- h hauteur du cône

Le secteur angulaire x du cône vaut : [latex]x=\frac{2\pi r}R[/latex] , car la circonférence de la base est égale à la longueur de l'arc de secteur angulaire a.

D'après Pythagore, [latex]h=\sqrt{R^2-r^2}[/latex]
Le volume du cône vaut : [latex]V=\frac{\pi r^2h}3[/latex]
[TeX]V=\frac{\pi}3\left(\frac{Rx}{2\pi})^2\sqrt{R^2-(\frac{Rx}{2\pi})^2}[/TeX]
Je simplifie un peu en prenant [latex]t=\frac{x}{2\pi}
[/latex]
[TeX]V(t)=\frac{\pi R^3}3t^2\sqrt{1-t^2}[/TeX]
Il ne reste plus qu'à étudier la fonction f définie sur [0;1] :
[TeX]f(t)=t^2\sqrt{1-t^2}
f'(t)=\frac{x(2-3x^2)}{\sqrt{1-x^2}}[/latex] (je vous passe le calcul)

Cette dérivée s'annule pour x=0 (c'est clairement un minimum, le volume est nul), et pour [latex]t=\sqrt{\frac23}[/latex], c'est bien un maximum si on dresse le tableau de variation de f sur [0;1]

Ainsi, notre arc angulaire cherché vaut :
[latex]x=2\pi \sqrt{\frac23} \approx 293,94^o[/TeX]
Le volume correspondant est :
[TeX]V=\frac{2\pi R^3}{3\sqrt3}[/TeX]

Soit [latex]\alpha[/latex] l'angle du secteur découpé et [latex]R_1[/latex] le rayon du disque.

On note que le rayon du disque se retrouve sur la couture du cône et que le périmètre du disque amputé devient la circonférence de la base du cône.

La circonférence est donc [latex]R_1(2\pi-\alpha)[/latex], ce qui donne un rayon pour la base du cône égale à [latex]R_2=R_1(1-\frac{\alpha}{2\pi})[/latex]. Utilisant Pythagore avec cette valeur et la longueur de couture [latex]r_1[/latex], on obtient la hauteur du cône [latex]H=\sqrt{R_1^2-R_2^2}=R_1\sqrt{1-(1-\frac{\alpha}{2\pi})^2}[/latex]

Le volume du cône est
[TeX]V=\frac{BH}{3}=\frac{R_1^2(2\pi-\alpha)\sqrt{1-(1-\frac{\alpha}{2\pi})^2}}{3}[/TeX]
Soit [latex]x=\frac{\alpha}{2\pi}[/latex]
[TeX]V=k(1-x)\sqrt{x(2-x)}[/latex] avec [latex]k=\frac{2\pi R_1^2}{3}[/TeX]
qui admet un maximum en [latex]x=0.291[/latex] soit [latex]\alpha=105[/latex]º

Je verifierai avec la réponse des autres

[TeX]360*(1-sqrt{6}/3)[/TeX]

Après relecture de l'énoncé, la réponse tout à fait exacte est (tu chipotes Saint-Pierre !!!) :
[TeX]x=2\pi (1-\sqrt{\frac23}) \approx 66,06^o[/TeX]

Le volume du cône est 1/3 pi r^2 h, on veut donc r^2.h maximum

......

Je recommence : avec R le rayon du cercle de base Faisons confiance aux proportions et prenons un cercle de base de rayon 1


r = rac ( 1 - h^2)

V= 1/3 pi (1 - h^2) h

V= 1/3 pi (h - h^3 )


V= pi/3  h - pi/3 h^3

Et là, je dérive : V' = pi/3 -pi h^2 = 0   ce qui fait h= 1/rac(3)

r =rac( 1 - 1/3) = rac (2/3) =( 2 pi - angle ) .....(x R=1)

Angle =1 - [  2 pi - rac (2/3) ] / 2 pi * 360



2 pi rac(2/3) = 2pi – angle
angle = 2 pi ( 1 - rac(2/3))  x 360/2pi
66,06 °

La solution de Mathias me plaît bien. Elle peut faire office de correction.

Euh, de rien, si j'peux rendre service