J'ai un petit problème, je trouve que le diviseur et son codiviseur sont congruent à 1 mod 3 mais aussi 2 mod 3.
Exemple:
55=12*4+7
Or 5 divise 55, 55=5*11, 5 et 11 sont congruent à 2 mod 3.

J'avais en découpant le problème oublié une hypothèse, merci à Memento  et à  w9Lyl6n.

Esereth tu te trompes je crois, vérifie ta table 4=1...

Désolé pour cet indice minable: une erreur de calcul...
Au secours!

Bon, j'ai un peu creusé le sujet
Si 4k^2+3 = p.q avec p%12 = 5 et q%12 = 11, alors p=12x+5 et q=12y+11

On va essayer de procéder par récurrence pour démontrer que si un nombre peut s'écrire sous la forme 4k^2+3, alors il n'est multiple d'aucun 12n+5 ni 12n+11

Petit résultat préliminaire : en analysant la table des produits modulo 12, on remarque que :
- si x est congru à 5 modulo 12 et est composé, alors un de ses diviseurs est congru à 5 ou à 11 modulo 12 (en effet, seuls 1*5 et 7*11 mod 12 donnent 5)
- si x est congru à 11 modulo 12 et est composé, alors un de ses diviseurs est congru à 5 ou à 11 modulo 12 (en effet, seuls 1*11 et 7*5 mod 12 donnent 11)


Pour n = 1 :

* si 4k^2+3 = 5.q, alors 4k^2+3 % 5 = 0
donc 4k^2 = 2 + 5a.
Du coup, a%4 = 2 et on peut alors écrire 4k^2 = 12 + 20a'; d'où k^2 = 3 mod 5; qui n'admet pas de solution

* si 4k^2+3 = 11.p, alors 4k^2+3 % 11 = 0
donc 4k^2 = 8 + 11a.
Du coup, a%4 = 0 et on peut alors écrire k^2 = 2 mod 11; qui n'admet pas de solution

Ca, c'était plutôt facile. Maintenant, supposons que pour tout i inférieur à n, 12i+5 et 12i+11 ne peuvent être des facteurs de 4k^2+3

Au rang n:

* Pour 12n+5, on va distinguer 2 cas:
- soit ce nombre est composé, d'après notre résultat préliminaire il est facteur de 12i+5 ou de 12i+11 avec i<n. Dans ce cas, on a déjà traité du fait que 4k^2+3 ne peut être un multiple de 12i+5 ou 12i+11 dans notre récurrence
- soit ce nombre est premier: dans ce cas, 4k^2+3 = 0 mod [12n+5] donc
4k^2 = 36n + 12 [12n+5]
k^2 = 9n+3[12n+5]

* Pour 12n+11, on va aussi distinguer 2 cas:

- soit ce nombre est composé, d'après notre résultat préliminaire il est facteur de 12i+5 ou de 12i+11 avec i<n. Dans ce cas, on a déjà traité du fait que 4k^2+3 ne peut être un multiple de 12i+5 ou 12i+11 dans notre récurrence
- soit ce nombre est premier: dans ce cas, 4k^2+3 = 0 mod [12n+11] donc
4k^2 = 12n+8 [12n+11]
k^2 = 3n+2 [12n+5]


La question peut donc être ramenée aux 2 questions suivantes (dont je n'ai pas les réponses) :
1) Si 12n+5 est premier; 9n+3 est il un résidu quadratique de 12n+5 ?
2) Si 12n+11 est premier; 3n+2 est il un résidu quadratique de 12n+11 ?
Si la réponse à ces deux questions est "non", alors l'énoncé initial est correct; et si une des 2 réponses au moins est "oui" on est de retour à la case départ.

Pour la question 1, voir l'edit 1
Pour la question 2, voir l'edit 2


Edit:
pour la question 1 finalement, une petite idée: (9n+3) = 3(3n+1). Les propriétés du symbole de Legendre indiquent que 9n+3 est un résidu quadratique si et seulement si 3 et 3n+1 le sont tous deux ou ni l'un ni l'autre.
Or 12n+5 est premier, 3 aussi et donc la loi de réciprocité quadratique indique que 3 est un résidu quadratique de 12n+5 si et seulement si 12n+5 est un résidu quadratique de 3, autrement dit 2 est un résidu quadratique de 3; ce qui est faux.
La question 1) devient donc
1 bis: "Si 12n+5 est premier; 3n+1 est il un résidu quadratique de 12n+5 ?"
La réponse à cette dernière question est le contraire de la réponse 1

Edit bis: pour la question 2, j'ai simplifié ça n'importe comment. Je vais replancher dessus

Voici donc la démo tant attendue de l'étape 2
Supposons que 4k^2+3 = p.q avec p=5[12] et q=11[12]

Dans le topic du problème général, je montre déjà que p n'est pas premier.
Je le ramène ici vite fait:
- on pose p = 12a+5 qu'on suppose premier
- on montre que 9a+3 doit être un résidu quadratique de 12a+5
- grâce au lemme de Gauss, on montre que 12a+4 est un résidu quadratique de 12a+5
- grâce aux opérateurs sur le symbole de Legendre et au fait que 2*2 = 4, on montre que 3a+1 est un résidu quadratique de 12a+5
- grâce à la loi de réciprocité quadratique, on montre que 3 n'est pas un résidu quadratique
- grâce aux opérateurs sur le symbole de Legendre, on montre que 3(3a+1)=9a+3 n'est pas un résidu quadratique de 12a+5 et donc que p n'est pas premier

On va maintenant montrer que q n'est pas premier d'une manière similaire.
- on pose q = 12b+11 qu'on suppose premier.
- on montre que 3b+2 doit être un résidu quadratique de 12b+11
- grâce au lemme de Gauss, on montre que 12b+8=-3 n'est pas un résidu quadratique de 12b+11 (il suffit de compter, il y a 6b+5 nombres dont 4b+3 supérieurs strictement à 6b+5; et 4b+3 est impair)
- on remarque que 2*2=4 donc 4 est un résidu quadratique de 12b+11
- grâce aux opérateurs sur le symbole de Legendre et au fait que 12b+8 = 4(3b+2), on montre que 3b+2 n'est pas un résidu quadratique de 12b+11

Du coup, on sait maintenant que p ET q ne sont pas premiers; donc 4k^2+3 n'admet aucun facteur premier autre que ceux congrus à 1 et à 7 modulo 12.

Cependant, 1^x = 1[12] et 7^x=1[12] si x et pair et 7^x=7[12] si x est impair; donc en multipliant des facteurs premiers de 4k^2+3 on n'obtiendra que des nombres congrus à 1 ou à 7 modulo 12; en aucun cas des nombres congrus à 5 ou 11.

CQFD

J'adore le "alors a+b = 1[2]", balancé comme si c'était trivial, alors que c'est trivialement faux
4k^2+3 est impair => 3a+2 est impair et 3b+2 aussi => a est impair et b aussi
=> a=b=1[2]

Du coup, la suite devient 4k^2+3=(6u+5)(6v+5) = 1[6]; et 6 divise bien 7-1

J'ai une idée.

[latex]4k^2+3=(2k+i\sqrt{3})(2k-i\sqrt{3})[/latex] .
Maintenant soit [latex]p=2[3][/latex] divisant [latex]4k^2+3[/latex] un premier.
Montrons que p ne peut s'écrire comme produit [latex]p=(a+i\sqrt{3}b)(c+i\sqrt{3}d)[/latex], en effet [latex] p^2=(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)[/latex] d'où [latex]p=a^2+3b^2[/latex], or [latex]a^2=0 [/latex] ou [latex] 1 [/latex] modulo  [latex] 3[/latex].

Maintenant [latex]p [/latex]divise donc [latex]2k+i\sqrt{3}[/latex] ou [latex]2k-i\sqrt{3}[/latex] car les termes qui forment [latex] p[/latex] ne peuvent provenir séparement de ces deux éléments.

Mais si par exemple [latex]p[/latex] divise [latex]2k+i\sqrt{3}[/latex] alors [latex]p(a+i\sqrt{3}b)=2k+i\sqrt{3}[/latex], impossible.

Il y a sans doute des erreurs...

J'ai pris le module complexe au carré.

Moi ça m'intéressent Nodgim, si tu as plus court n'hésites pas!

Yanyan a écrit:

Moi ça m'intéressent Nodgim, si tu as plus court n'hésites pas!

Ben y a qu'à lire ce que j'ai écrit tantôt....

Je cite ce que tu as écrit tantôt
Comme 4n²+3 est un 12k+7 (si n non triple), ça ne peut être obtenu que par un produit de premiers dans lequel il y a au moins un 7 modulo 12: en effet, modulo 12, on peut avoir comme premier autre que 7: un 1 un 5 ou un 11, mais leur produit ne donne aucun 7. il y aura donc nécessairement un premier 7 modulo 12 dans un 4n²+3 si n non triple.

Pour moi 5*11=7 [12] donc ton raisonnement ne tient plus (désolé)

Sinon pour la preuve de yanyan ok en admettant ce qu'il fait en effet (je pense qu'en le démontrant effectivement ta demo risque d'être encore plus complexe que la mienne ^^)