M'est avis qu'en supposant qu'il s'agit là d'un polynôme, alors il peut s'écrire comme le produit des x moins chaque racine, les racines se lisant sur l'axe des abscisses, c'est à dire en x/Pi, x/2Pi, etc.

Si les [latex]x=\pi n[/latex] et [latex]x=-\pi n[/latex] sont les racines de ce polynôme (avec n entier positif, voilà la nuance, vu qu'on somme ensuite de 0 à [latex]+\infty[/latex]), alors on peut factoriser ce polynôme par [latex]x-\pi n[/latex] et [latex]x + \pi n[/latex] respectivement.

Donc ce polynôme doit être, à un coefficient multiplicatif près, le produit des [latex](x-\pi n)(x + \pi n)[/latex].

On sait que le terme de degré zéro doit valoir 1. Pour l'obtenir, le terme de degré zéro du développement de chaque [latex](x-\pi n)(x + \pi n)[/latex] doit être 1. On doit donc diviser ce truc par [latex]-(\pi n)^2[/latex], et
[TeX]\frac{(x-\pi n)(x + \pi n)}{-(\pi n)^2} = \frac{(x-\pi n)}{-\pi n} \frac{(x + \pi n)}{\pi n} = \left( 1 - \frac{x}{\pi n}\right) \left( 1 + \frac{x}{\pi n}\right)[/TeX]