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 #1 - 02-05-2013 18:09:05

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

problème de nâle

Pour ceux qui ne le savent le problème de Bâle consiste à trouver la valeur exacte de la série suivante : [latex]\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}[/latex]

Ma question porte sur la démonstration d'Euler (source Ici) que je recopie ici, en partie :

Pour suivre la démonstration d'Euler on rappel la formule de Taylor pour la fonction sinus,
[TeX]\forall x \in \mathbb{R}, sin(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}[/TeX]
soit x un réel non nul alors [latex]\frac{sin(x)}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!} \text{...}[/latex]

Les racines de [latex]\frac{sin(x)}{x}[/latex] se trouvent en [latex]x=\pi n[/latex] avec n un entier.

Supposons audacieusement que nous puissions exprimer cette série infinie comme un produit de facteurs linéaires donnés par ses racines :
[TeX]\frac{sin(x)}{x}=\prod_{k=0}^{+\infty}\left(1-\frac{x}{k\pi}\right)\left(1+\frac{x}{k\pi}\right)[/TeX]
Voilà, je ne comprends pas cette dernière égalité, d'où sort-elle?..c'est limite si je comprends parfaitement la démonstration rigoureuse

Shadock sad



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 #2 - 02-05-2013 18:54:33

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

pronlème de bâle

M'est avis qu'en supposant qu'il s'agit là d'un polynôme, alors il peut s'écrire comme le produit des x moins chaque racine, les racines se lisant sur l'axe des abscisses, c'est à dire en x/Pi, x/2Pi, etc.

 #3 - 03-05-2013 10:20:27

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Problèm ede Bâle

Oui d'accord, mais pourquoi il y a des moins et des plus et d'où sortent les 1? yikes


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 03-05-2013 13:22:03

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

PProblème de Bâle

Si les [latex]x=\pi n[/latex] et [latex]x=-\pi n[/latex] sont les racines de ce polynôme (avec n entier positif, voilà la nuance, vu qu'on somme ensuite de 0 à [latex]+\infty[/latex]), alors on peut factoriser ce polynôme par [latex]x-\pi n[/latex] et [latex]x + \pi n[/latex] respectivement.

Donc ce polynôme doit être, à un coefficient multiplicatif près, le produit des [latex](x-\pi n)(x + \pi n)[/latex].

On sait que le terme de degré zéro doit valoir 1. Pour l'obtenir, le terme de degré zéro du développement de chaque [latex](x-\pi n)(x + \pi n)[/latex] doit être 1. On doit donc diviser ce truc par [latex]-(\pi n)^2[/latex], et
[TeX]\frac{(x-\pi n)(x + \pi n)}{-(\pi n)^2} = \frac{(x-\pi n)}{-\pi n} \frac{(x + \pi n)}{\pi n} = \left( 1 - \frac{x}{\pi n}\right) \left( 1 + \frac{x}{\pi n}\right)[/TeX]


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 03-05-2013 18:53:53

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

problème de vâle

Merci bien big_smile


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