Problème de Bâle @ Prise2Tete

shadock · #1

Pour ceux qui ne le savent le problème de Bâle consiste à trouver la valeur exacte de la série suivante : $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}$

Ma question porte sur la démonstration d'Euler (source Ici) que je recopie ici, en partie :

Pour suivre la démonstration d'Euler on rappel la formule de Taylor pour la fonction sinus,

$\forall x \in \mathbb{R}, sin(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$
soit x un réel non nul alors

$\frac{sin(x)}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!} \text{...}$

Les racines de

$\frac{sin(x)}{x}$ se trouvent en

$x=\pi n$ avec n un entier.

Supposons audacieusement que nous puissions exprimer cette série infinie comme un produit de facteurs linéaires donnés par ses racines :

$\frac{sin(x)}{x}=\prod_{k=0}^{+\infty}\left(1-\frac{x}{k\pi}\right)\left(1+\frac{x}{k\pi}\right)$
Voilà, je ne comprends pas cette dernière égalité, d'où sort-elle?..c'est limite si je comprends parfaitement la démonstration rigoureuse

Shadock

golgot59 · #2

M'est avis qu'en supposant qu'il s'agit là d'un polynôme, alors il peut s'écrire comme le produit des x moins chaque racine, les racines se lisant sur l'axe des abscisses, c'est à dire en x/Pi, x/2Pi, etc.

shadock · #3

Oui d'accord, mais pourquoi il y a des moins et des plus et d'où sortent les 1?

MthS-MlndN · #4

Si les $x=\pi n$ et $x=-\pi n$ sont les racines de ce polynôme (avec n entier positif, voilà la nuance, vu qu'on somme ensuite de 0 à $+\infty$ ), alors on peut factoriser ce polynôme par $x-\pi n$ et $x + \pi n$ respectivement.

Donc ce polynôme doit être, à un coefficient multiplicatif près, le produit des $(x-\pi n)(x + \pi n)$ .

On sait que le terme de degré zéro doit valoir 1. Pour l'obtenir, le terme de degré zéro du développement de chaque $(x-\pi n)(x + \pi n)$ doit être 1. On doit donc diviser ce truc par $-(\pi n)^2$ , et

$\frac{(x-\pi n)(x + \pi n)}{-(\pi n)^2} = \frac{(x-\pi n)}{-\pi n} \frac{(x + \pi n)}{\pi n} = \left( 1 - \frac{x}{\pi n}\right) \left( 1 + \frac{x}{\pi n}\right)$

shadock · #5

Merci bien

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#1 - 02-05-2013 18:09:05

Problèem de Bâle

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#2 - 02-05-2013 18:54:33

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#3 - 03-05-2013 10:20:27

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#4 - 03-05-2013 13:22:03

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#5 - 03-05-2013 18:53:53

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