Hummm, je n'ai pas compris ça comme toi Shadock...

On suppose que R contient tous les nombres, mais qu'il en manque certains qui sont tout proche de 0...

Du coup, on agrandit R des nombres et on appelle cet ensemble plus grand *R qui contient R plus les nombres infinitésimaux.

On considère que x est infinitésimal si |x| est strictement inférieur à tout réel positif.

Si tu veux des nombres infiniment proche de 1, il faut |x-1|<ε, et pas |x|<1.

Pour finir, je crois que tu confonds *R qui contient les infiniment petits ET les réels, de l'ensemble des infiniment petits uniquement (qui je ne sais pas si il a un nom).

Les nombres hyperréels ne sont donc pas réduits au halo de 0, ce sont les nombres infinitésimaux qui le sont...

Je vois, effectivement, si je devais reformuler en français, la définition serait à prendre comme :

Tu peux choisir le nombre réel que tu veux, n'importe quel hyper réel infiniment petit *x quel qu'il soit vérifiera toujours  :

-r < *x < r

Donc si tu choisi r=1, on a bien effectivement -1<*x<1 puisque *x est infiniment petit. De même pour r=10^-20, etc.

Ensuite, la définition que je te donne ensuite pour le halo(2) par exemple est personnelle, mais donnerait autour de 2 (avec *x=*2 ):

Pour tout réel positif r non nul on a : -r < *2-2 < r

Sinon oui pour ta première phrase, c'est aussi comme ça que je le comprends :  l'ensemble de tous les nombres hyperréels serait l'ensemble des halos de tous les réels.

J'espère que ça t'aide, je ne suis pas DU TOUT un expert en la chose...

Je ne suis pas d'accord (enfin de ce que je comprends !)...
Parmi les hyperréels, il y a les infiniment grands, et je ne crois pas que ceux-ci puissent être réduits à une union de halos...
A vrai dire, je ne comprends pas en quoi les hyperréels ne sont pas un sous-ensemble des réels...

J'ai commencé à lire les premières pages . Il est clair que l'ensemble des réels doit être un sous ensemble strict de l'ensemble des hyper-réels mais les définitions ne sont pas claires .

On peut savoir d'où sort ce cours , on dirait un exposé à l'américaine avec des tonnes de vulgarisation suivies de définitions plutôt floues ?

Vasimolo

PS : je m'étais intéressé à l'analyse non standard il y quelques années . J'avais trouvé l'approche vraiment intéressante mais l'analyse n'est pas ma tasse de thé et je me suis vite lassé . C'est une approche très formelle de l'analyse qui renvoie pas mal d'epsilonades à la poubelle , mais il faut passer un bon moment pour s'imprégner de la chose et je ne suis pas sûr que le jeu vaille vraiment la chandelle  .