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 #1 - 26-09-2014 18:52:25

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Les nombres hyperrééels

Je me souviens d'une de mes énigmes dans laquelle @gasole nous avait parlé de ce genre de nombre. Toutefois je ne suis pas sûr de comprendre la définition...

On peut lire sur wikipédia

Un nombre hyperréel x est dit infinitésimal, si |x| est strictement inférieur à tout réel positif.

Donc si on prend |x|<1 alors -1<x<1 c'est bien ça ? Dans ce cas je ne comprends pas parce que 0 par exemple n'est pas infiniment proche de 1...

Faut-il comprendre que l'on a un nombre x qui vérifie la chose hypothétique suivante à savoir 1<x<1 c'est à dire x n'est pas égal à 1 mais il en est infiniment proche comme le veut la définition?

Parce que dans le premier cas que penser de |x|<1000 si on comprends que -1000<x<1000 alors 0.000001 est infiniment proche de 1000....

Je ne comprends pas parce que dans ce pdf il est indiqué clairement que le corps des réels est inclut dans le corps des hyperréels (voir bas de la page 3) donc on ne peut pas réduire les nombres hyperréels [latex]\epsilon[/latex] au halo de 0 (l'ensemble des nombres infiniment proches de 0) ... bref tout ça pour dire que c'est loin d'être clair pour moi... sad

Gasole si tu es parmi nous... big_smile



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 #2 - 26-09-2014 19:15:47

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Less nombres hyperréels

J'ai fait une prépa mathématique (il y a un certain temps roll) mais je crois que je découvre le concept...
La définition 1.2.1 page 4 paraît effectivement bizarre puisque j'ai l'impression que l'infiniment petit est synonyme de halo(0).
La définition 1.2.2 page 5 ressemble plus à ce dont je m'attendais, à savoir halo(r), les nombres infiniment proches d'un réel r donné...


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #3 - 26-09-2014 21:18:33

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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leq nombres hyperréels

Hummm, je n'ai pas compris ça comme toi Shadock...

On suppose que R contient tous les nombres, mais qu'il en manque certains qui sont tout proche de 0...

Du coup, on agrandit R des nombres et on appelle cet ensemble plus grand *R qui contient R plus les nombres infinitésimaux.

On considère que x est infinitésimal si |x| est strictement inférieur à tout réel positif.

Si tu veux des nombres infiniment proche de 1, il faut |x-1|<ε, et pas |x|<1.

Pour finir, je crois que tu confonds *R qui contient les infiniment petits ET les réels, de l'ensemble des infiniment petits uniquement (qui je ne sais pas si il a un nom).

Les nombres hyperréels ne sont donc pas réduits au halo de 0, ce sont les nombres infinitésimaux qui le sont...

 #4 - 26-09-2014 23:19:18

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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les nombres hypetréels

Si je comprends bien golgot on peut définir l'ensemble de tous les nombres hyperréels comme l'ensemble des halos de tous les réels?

Ce qui est étrange et comme le souligne fix33, la définition 1.2.1 de la page 4 nous dit que

Un nombre infiniment petit (en abrégé, ip) est un hyperréel
*x non nul tel que, pour tout réel positif r on a -r < *x < r

Si on prend r=2 par exemple je ne vois pas en quoi *x est définit comme étant |*x-x|<ε ... si je prends *x=*1 par exemple, *1 n'est pas dans le halo(2) par définition donc ça cloche comme définition non?

Et du coup c'est ça que j'ai du mal à saisir hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 26-09-2014 23:37:41

golgot59
Elite de Prise2Tete
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les nombred hyperréels

Je vois, effectivement, si je devais reformuler en français, la définition serait à prendre comme :

Tu peux choisir le nombre réel que tu veux, n'importe quel hyper réel infiniment petit *x quel qu'il soit vérifiera toujours  :

-r < *x < r

Donc si tu choisi r=1, on a bien effectivement -1<*x<1 puisque *x est infiniment petit. De même pour r=10^-20, etc.

Ensuite, la définition que je te donne ensuite pour le halo(2) par exemple est personnelle, mais donnerait autour de 2 (avec *x=*2 ):

Pour tout réel positif r non nul on a : -r < *2-2 < r

Sinon oui pour ta première phrase, c'est aussi comme ça que je le comprends :  l'ensemble de tous les nombres hyperréels serait l'ensemble des halos de tous les réels.

J'espère que ça t'aide, je ne suis pas DU TOUT un expert en la chose... hmm

 #6 - 26-09-2014 23:45:04

shadock
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les nomnres hyperréels

Déjà on est d'accord pour dire que l'ensemble *R est l'ensemble de tous les halos de R c'est déjà pas mal ! Attendons que d'autres viennent nous faire part de leur(s) connaissance(s) sur le sujet smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 27-09-2014 10:36:09

fix33
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Les nombers hyperréels

Je ne suis pas d'accord (enfin de ce que je comprends !)...
Parmi les hyperréels, il y a les infiniment grands, et je ne crois pas que ceux-ci puissent être réduits à une union de halos...
A vrai dire, je ne comprends pas en quoi les hyperréels ne sont pas un sous-ensemble des réels...


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #8 - 27-09-2014 18:19:42

golgot59
Elite de Prise2Tete
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les nombres hyoerréels

La dessus je suis bien d'accord !

R pour moi contient déjà les "hyper réels", je ne vois par pourquoi les nombres qui ne sont pas appréciables n'en feraient pas parti...

Enfin, ça n'empêche pas de faire comme si, histoire de réfléchir un peu...

 #9 - 27-09-2014 23:11:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Les nombrse hyperréels

J'ai commencé à lire les premières pages . Il est clair que l'ensemble des réels doit être un sous ensemble strict de l'ensemble des hyper-réels mais les définitions ne sont pas claires .

On peut savoir d'où sort ce cours , on dirait un exposé à l'américaine avec des tonnes de vulgarisation suivies de définitions plutôt floues ?

Vasimolo

PS : je m'étais intéressé à l'analyse non standard il y quelques années . J'avais trouvé l'approche vraiment intéressante mais l'analyse n'est pas ma tasse de thé et je me suis vite lassé . C'est une approche très formelle de l'analyse qui renvoie pas mal d'epsilonades à la poubelle , mais il faut passer un bon moment pour s'imprégner de la chose et je ne suis pas sûr que le jeu vaille vraiment la chandelle  .

 #10 - 28-09-2014 00:52:05

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3308

Les nombress hyperréels

Ce cours je ne sais pas plus que toi d'où il sort, c'est un pdf que j'ai trouvé dans les premiers liens de google en cherchant "nombres hyperréels" smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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