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 #1 - 12-12-2008 18:55:58

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 792

10 ptisonniers, 10 boites

Au fin fond d'une contrée lointaine se trouve une prison réputée pour sa discipline : en effet, très peu sont ceux qui ont pu en sortir et peuvent en témoigner...
Chaque semaine, dans ce pénitencier un peu spécial, 10 prisonniers sont tirés au sort pour passer une épreuve, s'ils la réussissent, ils sont libres.

L'épreuve est simple : dans une salle isolée se trouvent 10 boites numérotées de 1 à 10 renfermant chacune un nom de prisonnier (parmi les 10 sélectionnés). Tour à tour, un prisonnier va entrer dans la pièce, il aura alors le droit d'ouvrir 5 boites, s'il trouve son nom parmi celles-ci, il pourra aller dans une seconde salle attendre les autres. S'il ne le trouve pas, l'épreuve s'arrête, et tout le monde retourne en cellule.
Si les 10 prisonniers trouvent leur nom inscrit sur un écriteau, alors ils sont tous libres.

http://exdisciplesleblog.unblog.fr/files/2008/01/prison.gif

Si les prisonniers laissent faire le hasard, ils ont une chance sur 2^10 (soit une chance sur 1024) d'être libre. Auriez-vous une méthode à leur proposer pour maximiser leurs chances d'être libérés ?

Précisions :
- un prisonnier ne peut plus communiquer avec les autres après être entré dans la salle, par contre ils peuvent se concerter d'une stratégie avant d'entrer.
- aucune inversion de boite, changement de nom etc. n'est possible, la pièce est dans le même état pour tous les prisonniers.


Cette énigme est assez connue des matheux, mais je n'ai pas trouvé de réelle démonstration, ou celles que j'ai trouvées semblent avoir des failles...



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 #2 - 12-12-2008 23:36:39

laura
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 252
Lieu: Angleterre

10 prisonnier, 10 boites

Je pense que le fait de decider avant que le premier prisonnier ouvre les prisonniers 1 3 5 7 9 ouvrent les 5 premieres et les 5 autres les autres boites augmente les chances;
Les probas deviennent conditionelles, selon ou le precedent a trouvé son nom le suivant a plus de chance en ouvrant les autres boites.
le 1 a une chance sur 2.
le 2 sachant que le mon du 1 est dans les 5 premieres à 5chances/9
le 3 4/8 donc 1/2
le quatre en a 4/7
le 5 1/2
le 6 3/5
le 8 2/3
7 et 9 une sur deux
et le dernier, puisque les 9 autres ont trouvé dont 5 dans les premieres il est sur de trouver son nom dans les cinq dernieres!

au total: nb de chances=(1/2)^5*(5/9)*(4/7)*(3/5)*(2/3)
=120/30240=1chance/252
En gros ils ont un peu plus de 4 fois plus de chances.

 #3 - 12-12-2008 23:54:59

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

10 prisonniers, 10 boitse

un peu simpliste certainement (déjà que je ne comprends pas les racines carrées)
On va dire que le 1er a ouvert les 5 1ères boîtes, en ouvrant les 5 autres, le deuxième a 5 chances sur 9 de trouver son nom.
En recommençant on arrive à 5/10*5/9 * 5/10*5/9* 5/10*5/9 *5/10*5/9 *5/10*5/9
ce qui est déjà un peu mieux que le hasard total. Mais vu les commentaires de EfCeBa, je suis convaincu que ce n'est pas optimum. Au moins j'aurai essayé !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #4 - 13-12-2008 02:16:22

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

10 prisonbiers, 10 boites

La stratégie dépend de beaucoup de ce qu'il est possible de faire dans la salle.
je dirais qu'un prisonnier qui voit son nom, devrais essayer de marquer la boite, pour éviter que les autres ne l'ouvre.
Il peut peut-être la marquer en:
- la laissant ouverte.
- avec ses doigts sales (laisser ses empreintes)
- ou cracher dessus...

Si c'est pas possible.. au moins ils peuvent décider a l'avance d'ouvrir des boites différentes, mais ça n'avance pas beaucoup...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #5 - 13-12-2008 14:18:18

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

10 prisonners, 10 boites

Ca me rappelle un vieux jeu télévisé débile lol

Prenons les noms des 5 premiers prisonniers, et les 5 premières boîtes.
La probabilité de retrouver ces 5 noms dans ces 5 boîtes revient à prendre 5 éléments non ordonnés parmi 10. C'est une combinaison de 5 éléments parmi 10, elle est égale à 1/252.

Les 10 prisonniers se mettent d'accord pour que les 5 premiers ouvrent toujours les 5 premières boîtes.
Arrivé au tour du 6ème, si le jeu n'est pas terminé, c'est que les noms des 5 restants se trouvent dans les cinq dernières boîtes, et ils sont tous assurés de trouver leur nom en ouvrant celles-ci !

Avec cette méthode, on arrive donc à 1 chance sur 252, ce qui est certes bien maigre, mais toujours mieux qu'1 chance sur 1024 !


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #6 - 14-12-2008 14:31:52

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

10 prisonniers, 10 noites

En me basant sur ma première proposition, j'aurais bien une autre idée :

Le 1er prisonnier ouvre toujours les cinq premières boîtes, il a 1 chance sur 2 de réussite.

Le 2ème commence à faire de même, mais après avoir ouvert la 4ème boîte, imaginons qu'il n'a trouvé dans ces 4 boîtes ni son nom, ni celui du 1er prisonnier...
Il en déduit que le nom du 1er prisonnier est forcément dans la 5ème boîte ! Il serait donc débile d'ouvrir cette 5ème boîte, et il ouvrira plutôt la 6ème.

Considérant cela, il y a 3 cas dans lesquels le 2ème prisonnier peut réussir :
1 - il trouve son nom dans les 4 premières boîtes
2 - il trouve le nom du 1er dans les 4 boîtes et trouve donc le sien dans la 5ème
3 - il ne trouve ni son nom ni celui du 1er prisonnier dans les 4 boîtes, et trouve alors le sien dans la boîte 6 (sachant que celui du 1er prisonnier est dans la boîte 5)

Les probas c'est déjà bien loin pour moi... sad Je me trompe peut-être, mais je dirais alors que le 2ème prisonnier a 43 chances sur 90 de réussite.

Détail de mes calculs :
Spoiler : [Afficher le message]
- ni son nom ni celui de 1 dans les 4 premières boîtes : 1 est en boîte 5 - lui est en 6 :
    Arrangement de 2 éléments parmi 10    8! cas sur 10!        40320 cas sur 3 628 800
- son nom dans les 4 premières boîtes :
    probabilité de 4/10                            4 x 9! cas sur 10!    1 451 520 cas sur 3 628 800
- le nom de 1 dans les 4 premières boîtes et le sien en 5 :
    proba de 4/10 x 1/6  =  4/60                4 x 9! / 6 cas sur 10!    241 920 cas sur 3 628 800

Soit : 1 733 760 cas sur 3 628 800  soit  43/90


Vous me direz que 43 chances sur 90, ça donne moins de 1 chance sur 2... qu'il aurait en ouvrant 5 boîtes au hasard...
Mais ça serait oublier que le premier prisonnier a déjà réussi !
43 chances sur 90 c'est mieux qu'1 sur 4 smile

Il faudrait continuer sur la même logique, mais j'ai un peu mal au crâne là roll



EDIT :
Le 3ème prisonnier ouvre les boîtes en commençant pas la 1 :

Après avoir ouvert les 3 premières boîtes :
- il y a trouvé son nom
- il n'y a pas trouvé son nom, ni celui du 1er prisonnier, mais celui du 2ème
- il n'y a pas trouvé ni son nom, ni celui du 2ème prisonnier, mais celui du 1er
- il n'y a pas trouve son nom, ni celui du 1er prisonnier, ni celui du 2ème prisonnier

Ah ben j'ai à nouveau mal au crâne...wink


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #7 - 14-12-2008 20:45:43

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

10 prisonniers, 10 bboites

laura a écrit:

Je pense que le fait de decider avant que le premier prisonnier ouvre les prisonniers 1 3 5 7 9 ouvrent les 5 premieres et les 5 autres les autres boites augmente les chances;
Les probas deviennent conditionelles, selon ou le precedent a trouvé son nom le suivant a plus de chance en ouvrant les autres boites.
le 1 a une chance sur 2.
le 2 sachant que le mon du 1 est dans les 5 premieres à 5chances/9
le 3 4/8 donc 1/2
le quatre en a 4/7
le 5 1/2
le 6 3/5
le 8 2/3
7 et 9 une sur deux
et le dernier, puisque les 9 autres ont trouvé dont 5 dans les premieres il est sur de trouver son nom dans les cinq dernieres!

au total: nb de chances=(1/2)^5*(5/9)*(4/7)*(3/5)*(2/3)
=120/30240=1chance/252
En gros ils ont un peu plus de 4 fois plus de chances.

Pourquoi 4/8 pour le 3e ? Sur les 5 qu'il va choisir, il sait u'il y en a une qui n'est pas bonne, certes. Mais je ne vois pas, comment on arrive à cette proportion ?!


http://enigmusique.blogspot.com/

 #8 - 14-12-2008 21:55:08

laura
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 252
Lieu: Angleterre

10 peisonniers, 10 boites

4/8 parce qu'il va en ouvrir 5 sur les 5 une n'est pas bonne (nom du premier prisonnier). Dans les 5 dernières il y en a une ou le second prisonnier a trouvé son nom donc il y a 8 boites qui peuvent contenir son nom, il va en ouvrir quatre de ces huit (et une des deux dans lesquelles il ne peut pas y avoir son nom)
Je ne sais pas si c'est clair mais je trouve à la fin 1/252 comme LeSingeMalicieux qui propose a peu près la même chose plus clairement.

 #9 - 14-12-2008 22:16:12

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

10 prsonniers, 10 boites

laura a écrit:

4/8 parce qu'il va en ouvrir 5 sur les 5 une n'est pas bonne (nom du premier prisonnier). Dans les 5 dernières il y en a une ou le second prisonnier a trouvé son nom donc il y a 8 boites qui peuvent contenir son nom, il va en ouvrir quatre de ces huit (et une des deux dans lesquelles il ne peut pas y avoir son nom)
Je ne sais pas si c'est clair mais je trouve à la fin 1/252 comme LeSingeMalicieux qui propose a peu près la même chose plus clairement.

Ben non, il va en ouvrir 5 sur 10 en sachant que l'une des 5 n'est pas bonne. C'est tout !
Quant à notre ami le Singe, le principe ne me semble pas du tout le même (et pas pas pour autant juste big_smile).

Waouh, ces temps-ci, vous me faite vraiment douter sur les quelques restes de maths qui me reviennent encore !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #10 - 14-12-2008 22:29:53

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 792

10 orisonniers, 10 boites

Les heures de spoiler sont passées, bravo pour vos réflexion, je ne saurais vous dire si vous avez la meilleure solution car je n'ai pas de réelle réponse à vous proposer.

Par contre j'ai lu plusieurs explications similaires sur des forums :

- http://forums.futura-sciences.com/scien … anger.html
- http://forum.mathematex.net/tribune-lib … 07-20.html

Il était question de donner un numéro aux prisonniers qu'ils devaient mémoriser, chacun devait rentrer dans la pièce et ouvrir la boite qui portait son numéro, si elle ne contenait pas son nom, il devait alors ouvrir la boite correspondant au nom du prisonnier qu'il avait lu et ainsi de suite.

J'avoue ne pas comprendre clairement cette démonstration, par exemple que se passe-t-il si la boite un renvoit vers 2 et la boite 2 renvoit vers 1 ?

J'en appelle donc à vous...

 #11 - 14-12-2008 22:44:07

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

10 prisonnniers, 10 boites

Un truc n'est pas très clair. pour moi, quand un prisonnier avait trouvé son nom, la boite était refermée ("la pièce est dans le même état pour tous les prisonniers").
Ce qui ne semble pas le cas pour tout le monde !

Quant au cycle..., c'est très très abscons !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #12 - 15-12-2008 07:08:38

Akarface
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 1
Messages : 24

10 pirsonniers, 10 boites

@Ef
Ce qu'il se passe si une boite renvoye vers la première, ca signifie que le prisonié a trouvé son nom wink

 #13 - 15-12-2008 08:02:44

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

10 prisonniers, 10 boitse

Ma difficulté, a été de comprendre que l'on est forcément dans son cycle !
Effectivement c'est joli.


http://enigmusique.blogspot.com/

 #14 - 15-12-2008 10:15:19

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 792

10 prisonniers, 10 boutes

Bien vu Arkface, c'est ce qui me manquait dans mon raisonnement.

Je vais relire la démonstration et la réécrire.

 

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