Je pese 2 lots de 3 pommes et j'en laisse 3 de coté
Cas 1 : ca ne penche pas
=> la mauvaise pomme se trouve parmi les trois que j'ai enlevées
Je pese alors 2 des 3 pommes restants
==> Cas 1.1 : ca ne penche pas
OK La mauvaise pomme est celle restante
==> Cas 1.2 : ca penche
je remplace une des pommes par celle restante
===> Cas 1.2.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est celle que je viens d'enlever
===> Cas 1.2.2 : ca penche
OK la mauvaise pomme est celle que j'avais laissé sur la balance

=> Cas 2 : ca penche
Si ca penche, j'enleve une bille à chaque plateau et j'inverse j'inverse 1 pomme du premier plateau avec 1 pomme du second plateau.
==> Cas 2.1 : ca ne penche pas
la mauvaise pomme se trouve parmi les deux que j'ai enlevées. J'en pese une avec une que je sais bonne parmi les 3 première pesées
===> Cas 2.1.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est celle que je n'ai pas pesée
===> Cas 2.1.2 : ca penche
OK la mauvaise pomme est celle que j'ai pesée

==> Cas 2.2 : ca penche du meme coté
la mauvaise pomme se trouve parmi les deux que je n'ai pas déplacées. J'en pese une avec une que je sais bonne.
===> Cas 2.2.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est celle que je n'ai pas pesée
===> Cas 2.2.2 : ca penche
OK la mauvaise pomme est celle que j'ai pesée

==> Cas 2.3 : ca penche de l'autre coté
la mauvaise pomme se trouve parmi les deux que j'ai déplacées. J'en pese une avec une que je sais bonne.
===> Cas 2.2.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est celle que je n'ai pas pesée
===> Cas 2.2.2 : ca penche
OK la mauvaise pomme est celle que j'ai pesée


Pour ce qui est de l'amélioration avec 13 pommes, on peut appliquer la meme méthode :

Je nomme les pommes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D

Je pèse 1234 - 5678 reste 9ABCD

=> Cas 1 : ca ne penche pas
12345678 sont bonnes

Je pèse 19 - AB
==> Cas 1.1 : ca ne penche pas
La mauvaise pomme est C ou D

Je pèse 1 - C
===> Cas 1.1.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est D
===> Cas 1.1.2 : ca penche
OK la mauvaise pomme est C

==> Cas 1.2 : ca penche à droite
Soit 9 est plus légère, soit A est plus lourde, soit B est plus lourde.
Je pèse A - B
===> Cas 1.2.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 9
===> Cas 1.2.2 : ca penche à droite
OK la mauvaise pomme est B
===> Cas 1.2.3 : ca penche à gauche
OK la mauvaise pomme est A

==> Cas 1.3 : ca penche à gauche
Soit 9 est plus lourde, soit A est plus légère, soit B est plus légère.
Je pèse A - B
===> Cas 1.3.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 9
===> Cas 1.3.2 : ca penche à droite
OK la mauvaise pomme est A
===> Cas 1.3.3 : ca penche à gauche
OK la mauvaise pomme est B


=> Cas 2 : ca penche à droite
9ABCD sont bonnes, j'inverse une bille du premier plateau avec le second et je remplace les billes du second plateau par des bonnes
Je pese 1235 - 4ABC

==> Cas 2.1 : ca ne penche pas
La mauvaise pomme est dans 789 et la mauvaise pomme est trop légère.
Je pese 7 - 8

===> Cas 2.1.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 9
===> Cas 2.1.2 : ca penche à droite
OK la mauvaise pomme est 7
===> Cas 2.1.3 : ca penche à gauche
OK la mauvaise pomme est 8

==> Cas 2.2 : ca penche à droite
La mauvaise pomme est dans 123 et la mauvaise pomme est trop lourde.

Je pèse 1 - 2
===> Cas 2.2.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 3
===> Cas 2.2.2 : ca penche à droite
OK la mauvaise pomme est 2
===> Cas 2.2.3 : ca penche à gauche
OK la mauvaise pomme est 1

==> Cas 2.3 : ca penche à gauche
La mauvaise pomme est 4 ou 5

Je pèse 1 - 4
===> Cas 2.3.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 5
===> Cas 2.3.2 : ca penche
OK la mauvaise pomme est 4


=> Cas 3 : ca penche à gauche
9ABCD sont bonnes, j'inverse une bille du premier plateau avec le second et je remplace les billes du second plateau par des bonnes
Je pese 1235 - 4ABC

==> Cas 3.1 : ca ne penche pas
La mauvaise pomme est dans 789 et la mauvaise pomme est trop lourde.
Je pese 7 - 8

===> Cas 3.1.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 9
===> Cas 3.1.2 : ca penche à droite
OK la mauvaise pomme est 8
===> Cas 3.1.3 : ca penche à gauche
OK la mauvaise pomme est 7

==> Cas 3.2 : ca penche à droite
La mauvaise pomme est 4 ou 5

Je pèse 1 - 4
===> Cas 3.3.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 5
===> Cas 3.3.2 : ca penche
OK la mauvaise pomme est 4

==> Cas 3.3 : ca penche à gauche
La mauvaise pomme est dans 123 et la mauvaise pomme est trop légère.

Je pèse 1 - 2
===> Cas 3.2.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 3
===> Cas 3.2.2 : ca penche à droite
OK la mauvaise pomme est 2
===> Cas 3.2.3 : ca penche à gauche
OK la mauvaise pomme est 1

Bonne réponse de EfCeBa pour 13 et 9 pommes, de dhrm77 aussi pour 9 seulement.
Ma méthode pour 13 pommes change un poil de celle de EfCeBa mais en gros ça reste le même principe.

Maintenant voyons pour le maximum.
On a pu montrer par l'exemple que le maximum était supérieur ou égal à 13, cf ci-dessous pour montrer qu'il est inférieur ou égal à 14.
Il ne reste plus qu'à trouver un système de 3 pesées pour sortir la réponse avec 14 pommes, ou bien une démo comme quoi c'est impossible

Si on analyse les différentes combinaisons de pesées, on a:

Cas 1: La première pesée est équilibrée
=> Cas 1.1: La deuxième pesée est équilibrée
=> => Cas 1.1.1: La troisième pesée est équilibrée => 1 réponse possible
=> => Cas 1.1.2: La troisième pesée est deséquilibrée => 1 réponse possible
=>Cas 1.2: La deuxième pesée est deséquilibrée
=> => Cas 1.2.1: La troisième pesée est équilibrée => 1 réponse possible
=> => Cas 1.2.2: La troisième pesée est deséquilibrée dans le même sens qu'en 1.2 => 1 réponse possible
=> => Cas 1.2.3: La troisième pesée est deséquilibrée dans un sens différent de 1.2 => 1 réponse possible
Cas 2: La première pesée est deséquilibrée
=> Cas 2.1: La deuxième pesée est équilibrée
=> => Cas 2.1.1: La troisième pesée est équilibrée => 1 réponse possible
=> => Cas 2.1.2: La troisième pesée est deséquilibrée dans le même sens qu'en 2 => 1 réponse possible
=> => Cas 2.1.3: La troisième pesée est deséquilibrée dans un sens différent de 2 => 1 réponse possible
=> Cas 2.2: La deuxième pesée est deséquilibrée dans le même sens qu'en 2
=> => Cas 2.2.1: La troisième pesée est équilibrée => 1 réponse possible
=> => Cas 2.2.2: La troisième pesée est deséquilibrée dans le même sens qu'en 2 => 1 réponse possible
=> => Cas 2.2.3: La troisième pesée est deséquilibrée dans un sens différent de 2 => 1 réponse possible
=> Cas 2.3: La deuxième pesée est deséquilibrée dans un sens différent de 2
=> => Cas 2.3.1: La troisième pesée est équilibrée => 1 réponse possible
=> => Cas 2.3.2: La troisième pesée est deséquilibrée dans le même sens qu'en 2 => 1 réponse possible
=> => Cas 2.3.3: La troisième pesée est deséquilibrée dans un sens différent de 2 => 1 réponse possible

Soit au maximum 14 réponses possibles en théorie.

Attention! Je ne démontre pas que c'est possible pour 14 je sais bien, je démontre seulement que c'est impossible pour plus que 14!

Si je pense à blanc ou noir, tu peux trouver ce à quoi je pense en me posant une question à laquelle je répondrais oui ou non (deux possibilités, et deux réponses possibles).
Par contre si je pense à noir ou blanc ou gris, il te faudra au moins deux questions (sinon il y a plus de possibilités que de réponses possibles ici).
Pareil, si j'ai 15 pommes ou plus, je sais qu'il y a au moins un cas où après la 3eme pesée, je me retrouve avec au moins deux pommes sans pouvoir décider laquelle est celle que je cherche.