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 #1 - 08-01-2008 20:46:00

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1448

9 et 13 pommes, une balanxe, 3 pesées

Pour ceux qui ne connaissent pas cette énigme, on a 9 pommes dont une qui est anormale (plus lourde ou plus légère) et il faut la retrouver en 3 pesées avec une balance à plateaux.

Pour les autres (et pour les uns aussi quand ils en auront fini avec la première partie), le problème est le suivant: je voudrais savoir avec combien de pommes vous pouvez généraliser ce problème ?

Spoiler : [Afficher le message] J'y arrive avec 13 pommes et je pense qu'on pourrait y arriver avec 14 mais comment ?



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 #2 - 08-01-2008 21:48:04

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 6229

9 et 13 pommes, une balance, 3 epsées

Je pese 2 lots de 3 pommes et j'en laisse 3 de coté
Cas 1 : ca ne penche pas
=> la mauvaise pomme se trouve parmi les trois que j'ai enlevées
Je pese alors 2 des 3 pommes restants
==> Cas 1.1 : ca ne penche pas
OK La mauvaise pomme est celle restante
==> Cas 1.2 : ca penche
je remplace une des pommes par celle restante
===> Cas 1.2.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est celle que je viens d'enlever
===> Cas 1.2.2 : ca penche
OK la mauvaise pomme est celle que j'avais laissé sur la balance

=> Cas 2 : ca penche
Si ca penche, j'enleve une bille à chaque plateau et j'inverse j'inverse 1 pomme du premier plateau avec 1 pomme du second plateau.
==> Cas 2.1 : ca ne penche pas
la mauvaise pomme se trouve parmi les deux que j'ai enlevées. J'en pese une avec une que je sais bonne parmi les 3 première pesées
===> Cas 2.1.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est celle que je n'ai pas pesée
===> Cas 2.1.2 : ca penche
OK la mauvaise pomme est celle que j'ai pesée

==> Cas 2.2 : ca penche du meme coté
la mauvaise pomme se trouve parmi les deux que je n'ai pas déplacées. J'en pese une avec une que je sais bonne.
===> Cas 2.2.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est celle que je n'ai pas pesée
===> Cas 2.2.2 : ca penche
OK la mauvaise pomme est celle que j'ai pesée

==> Cas 2.3 : ca penche de l'autre coté
la mauvaise pomme se trouve parmi les deux que j'ai déplacées. J'en pese une avec une que je sais bonne.
===> Cas 2.2.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est celle que je n'ai pas pesée
===> Cas 2.2.2 : ca penche
OK la mauvaise pomme est celle que j'ai pesée


Pour ce qui est de l'amélioration avec 13 pommes, on peut appliquer la meme méthode :

Je nomme les pommes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D

Je pèse 1234 - 5678 reste 9ABCD

=> Cas 1 : ca ne penche pas
12345678 sont bonnes

Je pèse 19 - AB
==> Cas 1.1 : ca ne penche pas
La mauvaise pomme est C ou D

Je pèse 1 - C
===> Cas 1.1.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est D
===> Cas 1.1.2 : ca penche
OK la mauvaise pomme est C

==> Cas 1.2 : ca penche à droite
Soit 9 est plus légère, soit A est plus lourde, soit B est plus lourde.
Je pèse A - B
===> Cas 1.2.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 9
===> Cas 1.2.2 : ca penche à droite
OK la mauvaise pomme est B
===> Cas 1.2.3 : ca penche à gauche
OK la mauvaise pomme est A

==> Cas 1.3 : ca penche à gauche
Soit 9 est plus lourde, soit A est plus légère, soit B est plus légère.
Je pèse A - B
===> Cas 1.3.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 9
===> Cas 1.3.2 : ca penche à droite
OK la mauvaise pomme est A
===> Cas 1.3.3 : ca penche à gauche
OK la mauvaise pomme est B


=> Cas 2 : ca penche à droite
9ABCD sont bonnes, j'inverse une bille du premier plateau avec le second et je remplace les billes du second plateau par des bonnes
Je pese 1235 - 4ABC

==> Cas 2.1 : ca ne penche pas
La mauvaise pomme est dans 789 et la mauvaise pomme est trop légère.
Je pese 7 - 8

===> Cas 2.1.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 9
===> Cas 2.1.2 : ca penche à droite
OK la mauvaise pomme est 7
===> Cas 2.1.3 : ca penche à gauche
OK la mauvaise pomme est 8

==> Cas 2.2 : ca penche à droite
La mauvaise pomme est dans 123 et la mauvaise pomme est trop lourde.

Je pèse 1 - 2
===> Cas 2.2.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 3
===> Cas 2.2.2 : ca penche à droite
OK la mauvaise pomme est 2
===> Cas 2.2.3 : ca penche à gauche
OK la mauvaise pomme est 1

==> Cas 2.3 : ca penche à gauche
La mauvaise pomme est 4 ou 5

Je pèse 1 - 4
===> Cas 2.3.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 5
===> Cas 2.3.2 : ca penche
OK la mauvaise pomme est 4


=> Cas 3 : ca penche à gauche
9ABCD sont bonnes, j'inverse une bille du premier plateau avec le second et je remplace les billes du second plateau par des bonnes
Je pese 1235 - 4ABC

==> Cas 3.1 : ca ne penche pas
La mauvaise pomme est dans 789 et la mauvaise pomme est trop lourde.
Je pese 7 - 8

===> Cas 3.1.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 9
===> Cas 3.1.2 : ca penche à droite
OK la mauvaise pomme est 8
===> Cas 3.1.3 : ca penche à gauche
OK la mauvaise pomme est 7

==> Cas 3.2 : ca penche à droite
La mauvaise pomme est 4 ou 5

Je pèse 1 - 4
===> Cas 3.3.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 5
===> Cas 3.3.2 : ca penche
OK la mauvaise pomme est 4

==> Cas 3.3 : ca penche à gauche
La mauvaise pomme est dans 123 et la mauvaise pomme est trop légère.

Je pèse 1 - 2
===> Cas 3.2.1 : ca ne penche pas
OK la mauvaise pomme est 3
===> Cas 3.2.2 : ca penche à droite
OK la mauvaise pomme est 2
===> Cas 3.2.3 : ca penche à gauche
OK la mauvaise pomme est 1

 #3 - 09-01-2008 01:00:21

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3001
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

9 et 13 pommes, une balance, 3 pseées

Si on sait que la pomme anormale est plus lourde, ou si on sait qu'elle est plus legere alors on peut la touver parmis 9 pommes en 2 pesee seulement.

En trois pesees on peut la trouver parmi 27 pommes.

Maintenant si on ne sait pas si elle est plus lourde ou plus legere, mais seulement differente, alors il faut une pesee de plus, je crois, pour determiner si on cherche plus lourd ou plus leger.

Spoiler : [Afficher le message]
Cas 1:
Pour 27 pommes, et on sait que la pomme est plus lourde:
1) 9  dans chaque plateau, 9  de coté.
si les plateaux cont egaux, on examine les 9 de coté, sinon, on examine les 9 du plateau le plus lourd
2) 3  dans chaque plateau, 3  de coté.
si les plateaux cont egaux, on examine les 3 de coté, sinon, on examine les 3 du plateau le plus lourd
3) 1  dans chaque plateau, 1  de coté.
si les plateaux cont egaux, c'est celui de coté, sinon, c'est celui du plateau le plus lourd

Cas 2:
Pour 9 pommes, et on ne sait pas si anormal veut dire plus lourd ou plus leger:
1) 3  dans chaque plateau (groupes A et B), 3  de coté (groupe C)
2a) si les plateaux du 1er test sont egaux, on examine le groupe C, une pomme dans chque plateaux, une de coté.
3a) si le resultas de 2a est egal. la pomme de coté est anormale, on la compare avec une autre pour savoir si elle est plus lourde ou plus legere.
Si le resultat est inegal, une autre pesee avec la pomme de coté permet de savoir laquelle des 2 est la pomme anormale.

2b) si les plateaux du 1er test sont inegaux, on pese groupe A avec groupe C. si A est plus lourd (ou plus leger) dans les 2 cas, on apprend que la pomme a trouver est plus lourde (ou plus legere). Si dans le 2eme
test les plateaux sont egaux, alors B etait plus lourd (ou plus leger), est on examine B, et on sait que la pomme a trouver est plus lourde (ou plus legere).
3b) on test 2 pommes du groupe restant pour determiner ou est la pomme plus lourde


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #4 - 10-01-2008 09:50:06

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1448

9 et 13 pommes, une balance, 3pesées

Bonne réponse de EfCeBa pour 13 et 9 pommes, de dhrm77 aussi pour 9 seulement.
Ma méthode pour 13 pommes change un poil de celle de EfCeBa mais en gros ça reste le même principe.

Maintenant voyons pour le maximum.
On a pu montrer par l'exemple que le maximum était supérieur ou égal à 13, cf ci-dessous pour montrer qu'il est inférieur ou égal à 14.
Il ne reste plus qu'à trouver un système de 3 pesées pour sortir la réponse avec 14 pommes, ou bien une démo comme quoi c'est impossible

Si on analyse les différentes combinaisons de pesées, on a:

Cas 1: La première pesée est équilibrée
=> Cas 1.1: La deuxième pesée est équilibrée
=> => Cas 1.1.1: La troisième pesée est équilibrée => 1 réponse possible
=> => Cas 1.1.2: La troisième pesée est deséquilibrée => 1 réponse possible
=>Cas 1.2: La deuxième pesée est deséquilibrée
=> => Cas 1.2.1: La troisième pesée est équilibrée => 1 réponse possible
=> => Cas 1.2.2: La troisième pesée est deséquilibrée dans le même sens qu'en 1.2 => 1 réponse possible
=> => Cas 1.2.3: La troisième pesée est deséquilibrée dans un sens différent de 1.2 => 1 réponse possible
Cas 2: La première pesée est deséquilibrée
=> Cas 2.1: La deuxième pesée est équilibrée
=> => Cas 2.1.1: La troisième pesée est équilibrée => 1 réponse possible
=> => Cas 2.1.2: La troisième pesée est deséquilibrée dans le même sens qu'en 2 => 1 réponse possible
=> => Cas 2.1.3: La troisième pesée est deséquilibrée dans un sens différent de 2 => 1 réponse possible
=> Cas 2.2: La deuxième pesée est deséquilibrée dans le même sens qu'en 2
=> => Cas 2.2.1: La troisième pesée est équilibrée => 1 réponse possible
=> => Cas 2.2.2: La troisième pesée est deséquilibrée dans le même sens qu'en 2 => 1 réponse possible
=> => Cas 2.2.3: La troisième pesée est deséquilibrée dans un sens différent de 2 => 1 réponse possible
=> Cas 2.3: La deuxième pesée est deséquilibrée dans un sens différent de 2
=> => Cas 2.3.1: La troisième pesée est équilibrée => 1 réponse possible
=> => Cas 2.3.2: La troisième pesée est deséquilibrée dans le même sens qu'en 2 => 1 réponse possible
=> => Cas 2.3.3: La troisième pesée est deséquilibrée dans un sens différent de 2 => 1 réponse possible

Soit au maximum 14 réponses possibles en théorie.

 #5 - 10-01-2008 10:12:38

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 6229

9 et 13 pommes, une balance, 3 peséees

Je ne sais pas si compter les cas comme tu le fais tend à démontrer (ou suggerer plutot) quoi que ce soit.

En tout cas ce n'est pas en optimisant la solution de 13 que se sera faisable car tu obtiendras toujours un cas menant à une impasse.

Il existe une formule mathématique permettant de savoir combien au maximum on peut avoir de boules au départ. Mais je n'ai pas d'idée comment la calculer, il doit s'agir d'un problème d'optimisation.

J'ai déjà vu une méthode consistant à peser les boules toutes ensemble et selon les résultats à en extraire la mauvaise mais je crois me rappeler qu'il fallait comme condition initiale que l'on sache si la boule était plus lourde ou plus légère.

 #6 - 10-01-2008 10:53:29

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1448

9 et 13 pommes, une balance, 3 oesées

Attention! Je ne démontre pas que c'est possible pour 14 je sais bien, je démontre seulement que c'est impossible pour plus que 14!

Si je pense à blanc ou noir, tu peux trouver ce à quoi je pense en me posant une question à laquelle je répondrais oui ou non (deux possibilités, et deux réponses possibles).
Par contre si je pense à noir ou blanc ou gris, il te faudra au moins deux questions (sinon il y a plus de possibilités que de réponses possibles ici).
Pareil, si j'ai 15 pommes ou plus, je sais qu'il y a au moins un cas où après la 3eme pesée, je me retrouve avec au moins deux pommes sans pouvoir décider laquelle est celle que je cherche.

 #7 - 22-04-2008 06:07:58

Titiell
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 25
Messages : 2

9 et 13 pommes, un balance, 3 pesées

Juste un petit remontage... L'enonce pour les 9 pommes est faisable en 2 pesees seulement! Mais il convient de savoir que la pomme est plus lourde ou plus legere (c'est comme on veut, on s'en moque l'important est de savoir vers ou ca penche!)
Disons donc que la pomme est plus lourde

on fait 3 tas de 3 pommes
on pese 2 des tas.

cas 1: ca penche d'un cote:
- On prend les trois pommes du tas le plus lourd, on en pese deux: Ou ca repenche, et donc on sait quelle est la plus lourde ou ca ne penche pas, et donc c'est celle qui est a part!
cas 2, ca ne penche pas: la mauvaise pomme est dans le tas mis a part...
- On refait la pesee indiquee ci.dessus, une pomme dans chaque plateau et une autre a part!

 

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