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 #1 - 18-08-2010 09:35:52

scarta
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point vommun entre 1597463007 et 1597463174

En espérant vous faire découvrir quelque chose de neuf, quel est le point commun entre les nombres 1597463007 et 1597463174 ?

Pas la peine de répondre "Tous les chiffres au delà des milliers sont identiques", ce n'est pas ce que j'attends.



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 #2 - 18-08-2010 10:05:14

Klimrod
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Point commun entre 159763007 et 1597463174

En Hexa, il s'agit des nombres 0x5f3759df et 0x5f375a86.

Le premier nombre, 0x5f3759df, est appelé constante magique et permet de calculer la fonction inverse de la racine carrée en utilisant une seule itération de la méthode d'approximation de Newton.
Le deuxième nombre, 0x5f375a86, est une amélioration de cette approximation, trouvée par un dénommé Chris Lomont.

Les explications que je suis incapable de donner, se trouvent là : http://fr.wikipedia.org/wiki/John_Carmack

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 18-08-2010 10:35:47

emmaenne
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Point commun entre 159743007 et 1597463174

Ce sont des constantes qui rentrent dans les algorithmes de calculs de racines carrées (si j'ai bien compris)

en hexadécimal:
0x5f375a86
0x5f3759df

Chris Lomont et John Carmack sont également associés à ceci


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #4 - 18-08-2010 13:01:32

dhrm77
L'exilé
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Ponit commun entre 1597463007 et 1597463174

Ils sont tous les 2 congrus a 125 modulo 167 ?


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #5 - 18-08-2010 15:08:44

xanaxilovsky
Amateur de Prise2Tete
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Point commun entre 159746307 et 1597463174

Ils sont tous les deux des numéros de téléphones?


mada mada dane

 #6 - 18-08-2010 16:19:26

Minie_67
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Point commun enre 1597463007 et 1597463174

Ces deux nombres ont me même nombre de chiffres ?! ou le même nombre de syllabes

 #7 - 18-08-2010 17:12:31

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
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Point commun entre 1597463007 et 5197463174

0x5f3759df est une constante hexadécimale utilisée par le moteur de rendu 3D du jeu Quake III Arena comme première approximation de la méthode de Newton pour le calcul rapide d'une racine carrée ou de l'inverse d'une racine carrée.
0x5f375a86 est une constante hexadécimale établie par Chris Lomont, "version améliorée" de la précédente, qui permet de meilleurs appoximations.

Pour ceux qui n'ont rien suivi, 1597463007 et 1597463174 correspondent (respectivement) aux valeurs décimales de ces deux constantes big_smile

 #8 - 18-08-2010 17:17:55

rivas
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Point coommun entre 1597463007 et 1597463174

Ces 2 nombres sont utilisés dans des algorithmes de calculs approchés de racines carrées et surtout d'inverses de racines carrées.
Voici un article très intéressant sur le sujet:
http://www.lomont.org/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf
En français, je n'ai rien trouvé de mieux que:
http://fr.wikipedia.org/wiki/John_Carmack
Mais John Carmack n'y est pour rien (si ce n'est qu'il l'a utilisé).

Il y a sans doute là de quoi faire un bon devoir de math ou d'info (quel niveau? TS? Sup?).

PS: C'était un peu "vache" de les donner en décimal plutot qu'en hexa smile

 #9 - 18-08-2010 19:46:02

scarta
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Point commun entre 159746300 7et 1597463174

Bonne réponse de Klimrod, emmaenne, Friz et rivas pour l'instant.
rivas: en effet.ça ferait un bon sujet, le problème est que la base nécessaire à la résolution (partie 2 de l'article que tu cites) est quelque chose qu'on n'apprend malheureusement pas à l'école (même si on pourrait ajouter ça en annexe de l'énoncé)

 #10 - 18-08-2010 23:26:53

franck9525
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Poin tcommun entre 1597463007 et 1597463174

1597463007 et 1597463174
Ces deux nombres sont utilises dans les calculs de lumiere et reflexion des jeux 3D. Necessitant rapidite d'execution, un algorithme a ete mis en place afin de calculer approximativement mais tres rapidement l'angle du vecteur normal à une surface. L'algorithme de Quake III (1999) utilisait le premier nb (ou 5f3759df en base 16) mais il semblerait que le second soit plus precis encore.

Pour ceux qui sont ferus de solides mathematiques, tout est sur Wiki (je recommande plutot the english one)


The proof of the pudding is in the eating.

 #11 - 19-08-2010 01:53:09

dhrm77
L'exilé
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poinr commun entre 1597463007 et 1597463174

J'aimerais bien en savoir plus sur le point commun...
Est-ce que ces 2 nombres sont les seuls a avoir ce point commun, ou y a t-il d'autres nombres qui ont la meme caracteristique?
Est-ce qu'il existe d'autres couple ou series de nombres qui ont des caracteristiques similaires?

J'ai cherché du coté des facteurs premiers:
1597463007 = 3 * 7 * 311 * 244597
1597463174 = 2 * 17 * 46984211
et ca ne donne rien
Du coté des bases, et ca ne donne rien non plus, a part peut-etre, en base 14:
1597463007  = 112233B67 (14)
1597463174  = 112233C46 (14)
c'est joli mais ca m'avance pas...


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 #12 - 19-08-2010 12:56:57

dhrm77
L'exilé
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Point commun entree 1597463007 et 1597463174

Google me parle de magic number pour calculer une inverse square root...


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 #13 - 19-08-2010 14:44:19

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Point commun entre 15974630077 et 1597463174

...Un petit indice ? Je ne vois pas du tout dans quelle direction aller... et cette histoire de base semble être une fausse piste pour la résolution elle-même smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 19-08-2010 18:15:47

scarta
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Point commun ntre 1597463007 et 1597463174

Allez, un petit indice pour la route:
Spoiler : [Afficher le message] Ne pas chercher ce que ces nombres ont en commun, mais à quoi ils peuvent bien servir

 #15 - 19-08-2010 18:53:01

Papy04
Ricocheur en Chef
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Point commun entre 1597463007 te 1597463174

Google m'a permis de découvrir que le premier de ces nombres servait au  calcul de la réciproque d'une racine carrée et que c'était utilisé dans le développement de jeux en 3D.  roll On est un peu loin du Cobol ma pov' dame lol
J'avoue qu'il me tarde d'avoir des explications plus claires


Nous les souiris nous avons un défaut, nous sommes prétentieux. Mais nous nous sommes corrigés. Maintenant nous sommes parfaits

 #16 - 19-08-2010 18:57:00

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Pooint commun entre 1597463007 et 1597463174

Et dire que je me paumais tranquillement dans des bidouillages numériques...

Grâce à du Google sur le premier des deux nombres, je tombe sur la page Wikipedia dédiée à John Carmack, fondateur d'id software, à l'origine de jeux comme Wolfenstein 3D ou Quake. Et voici ce que j'y trouve :

L'Id Tech 3 (moteur de rendu 3D du jeu Quake III Arena) étant sous licence GNU GPL, il est possible de consulter l'intégralité du code source de ce jeu. Parmi celui-ci, on retrouve deux fonctions longtemps attribuées à John Carmack et qui auront fait beaucoup parler d'elles : l'une pour calculer une racine carrée, l'autre pour calculer l'inverse d'une racine carrée.

(...)

(La fonction qui calcule une racine carrée) est pour le moins particulière puisqu'elle ne contient aucune boucle, elle ne fait intervenir qu'une suite de calculs élémentaires! Pour autant, celle-ci fournit des approximations tout à fait acceptables (de l'ordre de 10-3). Elle est même jusqu'à 4 fois plus rapide que la fonction sqrt(float x) et se révèle ainsi parfaite pour un jeu vidéo.

En réalité, cette fonction repose sur une méthode tirée de l'analyse numérique : la méthode de Newton. La clef de son efficacité réside dans l'utilisation d'une constante particulière 0x5f3759df. Cette constante hexadécimale est utilisée comme première approximation et réduit de façon remarquable le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir une approximation satisfaisante. Cette constante – dite magique – est si remarquable qu'une seule itération de Newton donne des résultats suffisants dans le cadre du rendu graphique.

Chris Lomont de l'université de Purdue a depuis étudié la question. Il existe une constante fournissant de meilleures approximations : 0x5f375a86.

Alors, comment que ça marche ? En fait, l'idée est de s'approcher itérativement de la racine carrée d'un nombre grâce à des itérations n'utilisant que les quatre calculs de base. Pour cela, connaissant une estimation [latex]x_i[/latex] de la racine carrée d'un nombre [latex]X[/latex] donné, je sais que [latex]X/x_i[/latex] sera une autre estimation de la racine carrée de X (logique : [latex]\left( X/x_i \right) \times x_i = X[/latex]) et que, si l'une est légèrement supérieure à la valeur recherchée, l'autre sera légèrement inférieure, et vice-versa. La moyenne de ces deux valeurs me donnera donc forcément une meilleure approximation de la valeur cherchée. (On peut le développer d'une façon plus rigoureuse comme un cas particulier de la méthode de Newton.) On a donc pour un calcul de racines carrées une boucle du type :

[latex]x_0[/latex] donné (une estimation de [latex]\sqrt{X}[/latex], ou carrément une valeur au pif)
Faire
[TeX]x_{i+1} = \frac{1}{2} \left( x_i + \frac{X}{x_i} \right)[/TeX]
Jusqu'à avoir une estimation assez précise

Et là où John Carmack (revenons à lui) a un coup de génie, c'est qu'il trouve un moyen de calculer [latex]x_0[/latex] de telle façon que [latex]x_1[/latex] est déjà une approximation au millième près de [latex]\sqrt{X}[/latex], donc une approximation d'assez bonne qualité pour l'utiliser directement. La boucle "faire/jusqu'à" ci-dessus est carrément supprimée grâce à un nombre miracle. Je copie la ligne du programme qui définit [latex]x_0[/latex] :

Code:

i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?

(Le commentaire "WTF ?" n'est pas de moi, je précise lol) Cette ligne écrite en langage humain donne en gros [latex]x_0 = 1597463007 - X/2[/latex]. Et pourquoi ça marche aussi bien ? Aucune idée. D'où vient ce nombre ? Aucune idée non plus. Sorti du chapeau. Une sorte de magie noire mathématique totalement incroyable.

Chris Lomont a ensuite fait des recherches, et déterminé que le nombre 1597463174 donnerait de meilleurs résultats... sauf qu'en pratique, apparemment, pas tant que ça. John Carmack est un p**ain de magicien.



Sources :

http://fr.wikipedia.org/wiki/John_Carmack
http://www.codemaestro.com/reviews/9
http://www.beyond3d.com/content/articles/8/



Merci pour cette découverte, mon cher smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #17 - 20-08-2010 12:12:16

scarta
Elite de Prise2Tete
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Point commnu entre 1597463007 et 1597463174

La réponse était bien que ces deux nombres sont utilisés pour calculer l'inverse d'une racine carrée de manière "tricky". Le premier est utilisé entre autres dans le code source de Quake 3, même si rien ne permet d'attribuer à John Carmack cette découverte, l'autre est utilisé pour un meilleur résultat.

Pour comprendre ce tour de magie, il faut comprendre quelques notions
1) La méthode de Newton permet permet de trouver les solutions d'une équation f(x) = 0 par approximations successives. L'idée est de partir d'une première approximation X0 puis de tracer la tangente à f en X0, cette tangente coupe l'axe des abscisses en X1, qui est une meilleure approximation que X0, on recommence avec X1 au lieu de X0 pour trouver X2 et ainsi de suite, cette suite Xn converge vers X tel que f(X) = 0
Si on traduit ça en formule, alors ça devient X1 = X0 -f(X0)/f'(X0), je vais pas détailler mais ceux que ça intéresse pourront vérifier d'eux même (niveau TS je dirais)

2) En informatique, tout est stocké sur des bits qui peuvent valoir 0 ou 1. Pour stocker un nombre entier, c'est assez simple: on l'écrit en base 2. Pour stocker un nombre à virgule par contre c'est plus complexe. Une des normes d'écriture est la suivante: de la même manière qu'on peut écrire un nombre à virgule en base 10 sous forme de notation scientifique (a,bdef * 10^g par exemple), on peut faire de même en binaire
- un nombre à virgule est encodé sur 32 bits (qu'on va écrire b31..b0)
- le premier bit (b31) est appelé bit de signe. On va noter s = b31
- les huits suivants (b30..b23) correspondent à l'exposant. On va noter e = b30..b23
-les bits restants s'appellent la mantisse. On va noter m = b22..b0
Le nombre correspondant à ces 32 bits est (-1)^s * (1+m) * 2^(e-127)
Explications:
s vaut 0 ou 1. Si c'est 0 alors le nombre est positif, négatif sinon (d'où le nom de bit de signe)
e-127: e est un nombre de 8 bits, donc compris entre 0 et 255. Le fait d'écrire e-127 permet de gérer des valeurs entre -127 et 128 (donc de gérer des exposants négatifs)

Voilà pour la théorie. En pratique, que ce passe-t'il donc ? On veut calculer 1/racine(x), x étant un nombre à virgule, et la méthode proposée nous dit:

1) Regarder x non pas comme un nombre à virgule mais comme un nombre entier (en effet, 32 bits restent 32 bits quoi qu'on en fasse, c'est le programmeur qui décide comment les utiliser)

2) Réaliser l'opération x0 = nombre magique - x >> 1
x>>1 signifie: faire entrer un 0 sur la gauche, décaler tous les bits de x et faire sortir le dernier chiffre sur la droite.
De la même manière qu'en base 10, on peut diviser par 10 en enlevant un 0 à la fin, en binaire on peut diviser par 2 de la même manière, en enlevant un bit.

3) Regarder x0 comme un nombre à virgule et plus comme un entier

4) Appliquer la méthode de Newton sur x0 pour obtenir x1 via l'opération suivante: x1 = x0*(1.5 - x/2 * x0^2)
La fonction f(t) = 1/(t^2) - x s'annule pour t = 1/racine(x) (vérifiez si vous voulez). La dérivée de f est -2/t^3 et donc la méthode de Newton nous donne
x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) = x0 * (3/2- x/2*x0^2), ce qui correspond bien à ce qu'on peut lire au dessus.

Après la question qui se pose c'est "Pourquoi l'étape 2 donne-t'elle une bonne première approximation ?"
C'est une question qui mérite d'être creusée. Je ferais bref (mais on peut tout à fait ouvrir un autre sujet dans la rubrique "Enigmes mathématiques" pour y répondre). On appelle R notre nombre magique et R31..R0 ses 32 bits, on peut trouver une relation entre les deux nombres à virgule x et x0. Du coup, on peut formaliser une fonction d(R, x) = | x0 - 1/racine(x)| qui donne l'écart entre x0 et la réponse en fonction du nombre magique et de x. On cherchera ensuite à minimiser cette fonction.

Là où Chris Lomont va plus loin encore que les autres, c'est qu'il cherche aussi à minimiser non pas la distance entre x0 et le résultat, mais aussi entre x1 et le résultat.

 #18 - 21-08-2010 05:10:47

dhrm77
L'exilé
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Point commun etnre 1597463007 et 1597463174

Je me suis un peu amusé à chercher à la fois comme ca marche et si on pouvais faire mieux....

J'ai donc commencé par évaluer la fonction en question.
D'abord, on s'apercoit d'abord qu'il n'y a pas 1 nombre magique, mais 3, que j'appelle M (nombre magique), C (constante) et K (coefficient):

Code:

float InvSqrt(float x)
{
union {
 float f;
 long int i;
} tmp;
 tmp.f = x;
 tmp.i = M - (tmp.i >> 1);
 y = tmp.f;
 return y * (C - K * x * y * y);
}

Sachant que pour John Carmack on a:
M = 0x5f3759df, C=1.5 et K=.5
Et pour Chris Lomont
M = 0x5F375A86, C=1.5 et K=.5

J'ai donc testé quelques miliers de nombres pour évaluer la precision de cette fonction, et je trouve:
Pour 1597463007, 1.5 et 0.5:
...Erreur maximale=0.175124317%, erreur moyenne = 0.093610765%
Pour 1597463174, 1.5 et 0.5:
...Erreur maximale=0.175126597%, erreur moyenne = 0.093672335%

En reduisant M, on deminue l'erreur moyenne, mais l'erreur maximale augmente.
Ainsi, avec M=1597284351: 
...Erreur maximale=0.305380672%, erreur moyenne = 0.060541421%

Ensuite, apres quelques essais en manipulant M, C et K :
Je trouve:
Pour M=1597735700, C=1.47000 et K=0.46957:
...Erreur maximale=0.109190293%, erreur moyenne = 0.058649267%

Puis je me rend compte qu'il vaut mieux garder K=0.5 puisqu'une division par 2 d'un float est en fait tres rapide.
Donc, en forcant K a rester 0.5, je trouve:
Pour M=1597466846, C=1.5008788 et K=0.5:
...Erreur maximale=0.087901346%, erreur moyenne = 0.052220062%
Je double pratiquement la precision du resultat en ne changeant que 2 constantes.
Etonnant! non?
Est-ce qu'il y aurait des volontaires pour verifier mes resultats?
Merci d'avance.

Je n'est pas essayer du tout a regarder la precision des resultats apres une iteration avec Newton, mais comme dans l'ensemble, x0 est 2 fois plus precis, je suppose que x1 le sera aussi...


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 #19 - 23-08-2010 08:32:24

scarta
Elite de Prise2Tete
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ppint commun entre 1597463007 et 1597463174

dhrm77 a écrit:

Je n'est pas essayer du tout a regarder la precision des resultats apres une iteration avec Newton, mais comme dans l'ensemble, x0 est 2 fois plus precis, je suppose que x1 le sera aussi...

Ben si, vu que "y * (C - K * x * y * y);" correspond à une itération de la méthode de newton (en tout cas pour K = .5 et C = 1.5. D'ailleurs, c'est bizarre que ça marche en changeant ces valeurs... (enfin bon l'écart sur C n'est que de 0.08788%, c'est pas énorme non plus)

 

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