Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #26 - 25-01-2011 21:51:20

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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1000000 à gagnzr !

@racine : big_smile

#0 Pub

 #27 - 26-01-2011 02:29:03

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

1000000 à ggagner !

En fait après en avoir discuté avec gasole en MP, le raisonnement se fait plutôt sur la question de participer ou non.
En effet, l'intérêt pour tout le monde est qu'il y ait le moins de participants possibles, car plus il y a de participants, plus la somme des nombres choisis sera grande, et donc le gain petit.
Du coup, quand on participe, on choisit le nombre 1, en pensant que tout le monde va raisonner de la même manière. Ainsi, il reste encore une chance de gagner même si plusieurs participants, ce qui n'est pas le cas dans cette énigme, où si plusieurs prennent la même décision personne ne gagne)

Notons p la probabilité de participer, et estimons à n le nombre de personnes susceptibles de participer au jeu. Calculons et essayons de maximiser E l'espérance de gain (on raisonne sur l'espérance parce que les gains ne sont pas forcément les mêmes suivant les décisions des autres). M est le montant mis en jeu.
[TeX]E(p) = p \left ( M(1-p)^{n-1} + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{M}{k+1}\frac{p^{k}(1-p)^{n-1-k}}{k+1} \right )[/TeX]
Le premier terme correspond à un seul participant (nous). Puis ensuite il y a la probabilité qu'il y ait k autres participants, avec en plus la probabilité de gagner le tirage au sort (sur k+1 participants en tout), et ainsi de gagner la somme divisée par le nombre de participants. On s'aperçoit qu'on peut inclure le premier terme dans la somme, et on obtient :
[TeX]E(p) = M \sum_{k=1}^{n}\frac{p^{k}(1-p)^{n-k}}{k^2} [/TeX]
Il s'agit maintenant de maximiser ça ...
Je le sens pas trop, dans le cas général !!!

Voyons le cas n=2.
[TeX]E(p)=M(p-\frac{3p^2}{4})[/latex], qui atteint son maximum en p=2/3=66,66%. On aura une espérance de gain de M/3=333333,33.

n=3 : p=40,95% et E=175174
n=4 : p=28,22% et E=116814
n=5 : p=21,69% et E=88040
etc

Je pense pas m'être trompé dans les calculs, et ça a l'air de pas mal coller à la "réalité" qui veut que plus il y a de candidats potentiels, moins on a intérêt à jouer, et moins on peut espérer gagner.


Edit
J'ai effectivement oublié des [latex]C_n^k[/latex], la formule de l'espérance devient donc :
[latex]E(p) = \frac Mn \sum_{k=1}^{n}C_n^k\frac{p^{k}(1-p)^{n-k}}{k} [/TeX]
Du coup il y a un k qui disparait après simplification dans les [latex]C_n^k[/latex] et qui fait apparaître le n devant.

Mon calcul reste exact pour n=2, mais ensuite ça modifie la donne :

n=3 : p=46,61% et E=202107
n=4 : p=35,68% et E=145195
n=5 : p=28,87% et E=113329

J'ai essayé de faire tourner un solveur pour n plus grand, je suis pas sûr du résultat, mais je trouve
n=50 : p=3% et E=10437
n=100 : p=1,5% et E=5196

Y a encore des erreurs ?

 #28 - 27-01-2011 12:17:58

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

10000000 à gagner !

Tu as raison : la solution "racine carrée" que j'avais proposée n'est pas le bon truc. La preuve, si on passe demain aux nouveaux euras, qui valent bien sur 100 anciens euras, cela conduit à 100 Neuras (+ 1 ou 2 au choix) ce qui n'est pas la même chose que 1000 Aeuras.

Si tu entends par "maximiser les gains" "maximiser les pertes de l'organisateur du jeu", alors la réponse est 1 et cela revient à un simple tirage au sort. (Si les participants s'entendent bien, ils pourront peut-être se partager les gains.)

Mais comme je ne suis pas sûr des autres participants, je répondrai 2.

 #29 - 27-01-2011 12:19:26

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

1000000 à gagnrr !

et comme tout le monde pense la même chose, y en a bien un qui dira un de plus que toi smile
de plus, on va supposer que les participants ne peuvent pas s'entendre au préalable, tout ce qu'ils ont en commun c'est d'être parfaitement rationnels.

 #30 - 27-01-2011 19:38:48

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
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0100000 à gagner !

Le premier joueur se dit qu'en l'absence de réponse d'autre joueur (par exemple si le site plante), il maximisera son gain en jouant le nombre 1.
Le deuxième joueur sait que le premier joueur à joué 1, (car chaque joueur sait que tous les joueurs jouent aussi rationnellement que lui, c'est une grosse hypothèse supplémentaire, les axiomes à la Nash ?) donc il va jouer 2.
Etc.

 #31 - 27-01-2011 20:00:11

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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10000000 à gagner !

C'est rationnel ça Morgan ? S'il y a 1000 joueurs, le gagnant va gagner un 1000000/(1+2+...+1000) euro... pas la peine de jouer alors.
Et puis, il n'y a pas de premier joueur ni de deuxième

 #32 - 27-01-2011 21:58:07

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
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10000000 à gagner !

Chacun joue 1 et attend le tirage au sort.

Sinon la seule façon d'être sur de gagner c'est de jouer 1000000, ce qui ne maximise pas vraiment l'espérance de gain.

 #33 - 28-01-2011 09:43:10

gasole
Elite de Prise2Tete
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1000000 à gagneer !

@Tromaril : Il doit y avoir mieux avec des joueurs rationnels, avec ta proposition, s'il y a 1000 joueurs, le gagnant va gagner 1000000/1000 soit 1000 euro... quel gâchis...

 #34 - 28-01-2011 09:52:48

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
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1000000 à hagner !

Ben s'il y a 1000 joueurs, ils vont de toute façon miser au minimum 1000. Non ?

PS ce sont des euras wink

 #35 - 28-01-2011 09:56:40

gasole
Elite de Prise2Tete
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1000000 à gager !

Ben non, ils feraient bien de s'inspirer de l'énigme des prisonniers (la numéro 1 pas la nouvelle)...

Gros indice pour tout le monde : personne n'est obligé de jouer mais il faut rester équitable et rationnel

 #36 - 28-01-2011 15:36:10

rivas
Elite de Prise2Tete
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0100000 à gagner !

Je tente une réponse qualitative (par opposition à quantitative).
La première approche est de jouer le plus petit nombre possible (0,01€) en espérant que les autres feront pareil pour que la somme totale soit la plus petite possible et le diviseur du total aussi (à noter que s'il y a moins de 100 participants ils vont gagner plus que 1M€).
Cependant en faisant ça, tout le monde est ex-aequo et on procède au tirage au sort ce qui donne 1/N chance de gagner 100M€/N. Donc une espérance de gain de 100M€/N^2.

La encore la difficulté est de rompre la symétrie.
Certain joueurs vont se dire que jouer légèrement plus que le minimum leur permettra de gagner seul (à coup sur, p=1) mais tout en diminuant le gain.
Si un joueur joue X euras et qu'il gagne, il gagne 1M€/((N-1)x0,01+X)=100M€/(N-1+100X) qui est aussi l'espérance de gain puisque la probabilité de gagner est 1. Cela donne une limite de X en fonction de N: en effet si N-1+100X>N^2, cela ne vaut pas le coup par rapport au cas précédent.

Si tout le monde fait le même raisonnement, il vont tous augmenter la somme, tous pareil et tous constater que leur espérance e gain baisse puisqu'ils prennent en compte que tous les autres font pareil et ils vont donc tous redescendre à 0,01€.

Il faut donc supposer qu'il ne vont pas tous faire exactement le même raisonnement. Il faut donc qu'ils estiment la forme de la courbe des mises (entre 0,01 et (N^2-N+1)/100 s'ils connaissent N ou ...). Et qu'ensuite il estime leur espérance de gain par rapport à cette courbe sachant qu'il ne peuvent gagner que s'ils misent plus que les autres, donc l'extrémité de la courbe au dela de la proabilité qu'un joueur joue cette somme.

En bref, encore un problème "virtuel" à mon goût. IL faut supposer qu'ils ont tous le même raisonnement et "casser" la symétrie mais dans ce cas, ils n'ont pas le même raisonnement...

 #37 - 28-01-2011 17:44:03

gasole
Elite de Prise2Tete
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1000000 à ggner !

Rivas, on ne peut jouer que des entiers... !

Je mettrai une remarque sur l'intérêt de ce type de problème ci-dessous.

 #38 - 28-01-2011 17:48:31

gasole
Elite de Prise2Tete
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1000000 à gahner !

Avant de donner mes éléments de réponse (car je n'ai pas la réponse à celui-là, je croyais l'avoir mais c'est plus compliqué que prévu sad), deux mots sur l'intérêt de ce genre de problème, pas si virtuel que ça.

Par exemple, les ordinateurs boursiers sont sensiblement programmés de la même façon et il est intéressant d'étudier leur comportement non pas isolément mais dans des cas de figure où ils devraient tenir compte de celui de leurs collègues, car parfois ça mène à la catastrophe ... Il est intéressant de voir dans quelle mesure des comportements positifs pour l'ensemble peuvent émerger de comportements individuels.

Bon, je poste le résultat de mes propre réflexions sur la question. Looping a fait déjà un bon boulot, mais on est en désaccord sur la formule qui donne l'espérance de gain...

 #39 - 28-01-2011 18:24:38

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
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1000000 gagner !

@L00ping007

Si je comprends bien, tu considères que chaque participant est une expérience de Bernoulli avec une probabilité p de miser ?
Dans ce cas il doit manquer des [latex]C_n^k[/latex] dans ta formule.

Je pense que l'espérance se calcule, elle se réécrit [latex]E(p)=\sum p^k/k^2 - p^n\sum 1/k^2[/latex] avec éventuellement des [latex]C_n^k[/latex]. En passant par des intégrations on doit pouvoir donner l'expression de la première somme

Edit : Dans mes calculs je divise seulement par k, d'où vient le k^2 ?

 #40 - 28-01-2011 18:32:09

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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1000000 à hagner !

Le k^2 vient du fait qu'il y a une probabilité de 1/k de gagner le tirage au sort, puis on divise le jackpot par les k participants.
Je vais revérifier, mais il doit effectivement manquer des [latex]C_n^k[/latex]pour le choix des k participants...

 #41 - 28-01-2011 18:38:27

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
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0100000 à gagner !

ça m'apprendra à griffoner sur un coin de table ...hmm

 #42 - 28-01-2011 18:46:13

gasole
Elite de Prise2Tete
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1000000 à gagner !!

Presque tous ceux qui ont répondu ont commis l'erreur de ne pas considérer l'option "je ne joue pas afin que le gagnant gagne plus".
"Mais si je ne joue pas, je ne peux pas gagner" diront-ils!
Certes, et si on tirait au sort le fait de jouer ou pas ?
L'erreur est de vouloir gagner à tout prix, il faut chercher à maximiser le gros lot en prenant toutefois sa chance de participer ou pas.
Vouloir gagner à tout prix mène à proposer des nombres grands sans augmenter les chances de gain puisque les autres font pareil.
Ça me fait penser à ceux qui s'engagent dans un carrefour sous prétexte qu'ils ont le feu vert ; ils savent très bien qu'ils vont rester coincés au milieu du carrefour ; résultat, ils gagnent quelques secondes et font perdre des minutes à des dizaines de gens... le bilan collectif est très mauvais.

Bref, soyons purement rationnel un instant en pensant collectif ET équitable smile

Soit je ne joue pas, soit je joue ET en ce cas je joue "1", toute autre réponse fait baisser le gros lot. Mais pour avoir ma chance (tout comme les autres), je joue avec une probabilité de p et je m'abstiens avec 1-p.

Première option : déterminer p au pif, d'après le problème des prisonniers de l'ordre de 1/nombre de joueurs estimé, de toute façon, le nombre de participants est mal connu. Avec 20 participants, je prendrai p=0,1 par exemple, même si ça n'est pas optimal, c'est mieux, bien mieux que de tous jouer.

Deuxième option déterminer p par calcul, mais j'avoue que c'est trop compliqué pour moi, même si je détaille ci-dessous ma tentative... jusqu'à mon seuil d'incompétence en maths smile

Le nombre de participants est n et appelons S la variable aléatoire égale au nombre de 1 obtenus. M vaut ici 1000000 d'euras.

S suit une loi binomiale, à savoir [latex]P(S=i)=\binom{n}{i}.p^i.(1-p)^{n-i}[/latex]

Mon gain moyen g est égal au gain collectif G (la somme finalement distribuée) divisé par le nombre de joueurs, et on calcule l'espérance mathématique de G :
[TeX]0.P(S=0)[/latex] "personne n'a joué 1, gros lot =0"
[latex]+ M.P(S=1)[/latex] "un seul a joué 1 et il gagne M"
[latex]+M/2.P(S=2)[/latex] "deux ont joué 1 et l'un d'eux gagne M/2"
[latex]+M/3.P(S=3)[/latex] "trois ont joué 1 et l'un d'eux gagne M/3"
[latex]\ldots[/TeX]
[TeX]+M/n.P(S=n)[/latex] "tout le monde a joué 1 et l'un d'eux gagne M/n"

Soit [latex]E(g) = \frac{M}{n}.\sum_{i=1}^{n} \frac{P(S=i)}{i} = \frac{M}{n}.\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}.\binom{n}{i}.p^i.(1-p)^{n-i}[/latex]... trop compliqué à gérer pour moi dans le cas général, il faut maintenant estimer le nombre de participant...

Peut être que si on suppose qu'on est dans une vraie loterie et qu'il y a beaucoup de participants, la binomiale tend vers une loi de poisson de paramètre [latex]E(S)=np[/latex]... à savoir [latex]P(S=i)\sim e^{-np}. (np)^i/i![/latex]  ça simplifierait les choses ?

ça donnerait [latex]E(g)\sim M/n.e^{-np}. \sum_{i=1}^{n} (np)^i/(i.i!)[/TeX]
on dérive, pour rigoler:
[TeX]d/dp.E(g) = M/n.\left(-n.e^{-np}. \sum_{i=1}^{n} (np)^i/(i.i!)+e^{-np}. \sum_{i=1}^{n} i.n^i.p^{i-1}/(i.i!)\right)[/TeX]
et donc [latex]d/dp.E(g) = -M.\sum_{i=1}^{n} e^{-np}.(np)^i/(i.i!)+M.e^{-np}/n .\sum_{i=1}^{n} (n.p)^i/i![/latex]
si n est "grand", on peut assimiler le terme [latex] \sum_{i=1}^{n} (n.p)^i/i![/latex] à [latex]e^{n.p}-1[/latex]
et on remarque que le premier terme est égal à [latex]-n.E(g)[/latex]

d'où : [latex]d/dp.E(g) = -nE(g)+M/(np).(e^{-np}-1)[/latex]

J'ai demandé à mon pote Wolfram Alpha, il m'a dit :
[TeX]E(g) = c e^{-np}+M. e^{-np}.(\log(p)-Ei(np))/n[/latex] qui diverge pour [latex]p=0[/latex] !
Pour déterminer [latex]c[/latex], utilisons le fait que quand [latex]p[/latex] vaut 1, (cas où tout le monde joue) vaut [latex]E(g)=M/n^2[/latex] ... à partir de là je perds complètement le contrôle, j'avoue, je trouve des trucs aberrants ... [latex]\LARGE HELP ![/TeX]

 #43 - 28-01-2011 18:55:24

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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1000000 gagner !

J'ai édité mon message, et je viens de voir qu'on retombe sur la même formule de l'espérance ... Ouf !!!
Après, par contre, tu me perds lol
Je pense effectivement que le cas général n'est pas solvable en l'état, il faut trouver des approximations, surtout que l'intérêt du problème est de savoir quoi faire quand n est grand, ce qui est plus réaliste.

Au final, c'est un problème complexe !!! Tu l'as trouvé où ?

 #44 - 28-01-2011 18:57:35

gasole
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10000000 à gagner !

@ Looping : je donnerai mes sources quand on m'aura dit où je merde dans mon calcul ha ha ha ha ha big_smile
mais là où je l'ai trouvé il n'était pas analysé en détail... j'aurais dû me méfier

 #45 - 28-01-2011 18:59:50

gasole
Elite de Prise2Tete
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1000000 à gagnet !

Allez, je suis pas chien : je vous conseille donc vivement la lecture de "Ma thémagie" de Douglas Hofstadter, grand nom de l'intelligence artificielle, c'est un bouquin écrit d'après ses chroniques dans le Scientific American.

 #46 - 28-01-2011 19:08:37

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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1000000 àgagner !

Marrant : j'ai la page Wikipedia sur Douglas Hofstadter qui est ouverte depuis quasiment un mois dans mon navigateur, histoire que je la voie tous les jours, et que tous les jours je me dise "Il faut que je lise tous ses bouquins" big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #47 - 28-01-2011 19:13:48

L00ping007
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000000 à gagner !

Je connais Leonard Hofstadter de The Big Bang Theory, Douglas m'a l'air rigolo aussi, mais moins smile

 #48 - 28-01-2011 19:44:58

gasole
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1000000 àà gagner !

Douglas est un excellent vulgarisateur de la récursion, de la logique formelle, de l'intelligence artificielle, et même du théorème de Gödel. Marrant, je ne sais pas, mais son dialogue "dieu est-il taoïste" est fantastique...

 #49 - 28-01-2011 19:47:02

gasole
Elite de Prise2Tete
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10000000 à gagner !

Vous qui avez l'air fort en maths (certains sont même prof ou professionnel), dites moi où je me suis planté... Pleaaase!

 #50 - 28-01-2011 23:43:06

rivas
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100000 à gagner !

Le problème que j'ai c'est que si on joue, on joue, on ne passe pas son tour pour que les autres gagnent plus, surtout si le but c'est d'avoir le raisonnement le plus RATIONNEL possible.
L'énoncé tel qu'il est posé (j'ai bien vu l'indice qui disait qu'on pouvait passer son tour) implique que l'on joue.
Et comme toutes les énigmes de ce genre, la symétrie entre des joueurs parfaits fait qu'il n'y a pas de solution réelle. La réalité brise cette symétrie car les actions dans la vie réelle n'ont rien de parfait. Elles sont parfois difficile à modéliser quand ce n'est pas tout simplement impossible car la réalité est chaotique (ou stochastique) et au mieux, on batit des modèles heuristiques basés sur l'histoire et on vérifie que ces modèles rejouent bien l'histoire puis quelques jours (semaines après) un élément initial différent (même légèrement) met le modèle à mal (tiré de situations réelles récentes malheureusement)...

Que justifie le choix de telle ou telle distribution de réactions face à tel ou tel problème, surtout lorsque celle-ci découle de la psychologie humaine?

Bon, toutes les mouches sont mortes ici, je suis contraint d'arrêter smile

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