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 #1 - 26-01-2011 14:10:40

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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nombres cpmplexes

Au café, ce matin, on m'a fait la réflexion "Tiens, toi qu'a l'air de t'y connaître, les nombres complexes, en vrai, ça sert à quoi ?". Ben j'ai été incapable de trouver une seule application "réelle" de ces fameux nombres... Du coup je fais appel à votre culture pour la pause de cet après-midi : est-ce que vous connaissez une invention, un outil, ou je ne sais quoi qui n'aurait pas pu exister sans les complexes ?



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 #2 - 26-01-2011 14:21:41

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

nombres complexrs

Oui : Oedipe n'aurait pas existé sans les complexes big_smile

Bon, désolé d'avoir pourri dès le départ ton post, je sors ---->[]

Mais je vais quand même jeter les bases de la discussion :

Pour moi, les complexes sont un outil mathématique qui est très souvent utile pour décrire, analyser, résoudre des problèmes physiques, notamment en électricité, en optique, en mécanique ondulatoire, ... et parfois qui est indispensable à la formalisation de certaines disciplines comme la mécanique quantique.

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 26-01-2011 14:47:47

naddj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 301
Lieu: Ffm

Nombres comlpexes

C'est pas ma spécialité du tout, mais la dernière fois que j'ai entendu parler de nombres complexes, c'était dans un (très bon) reportage TV sur les fractales, où les complexes interviennent dans la modélisation de l'ensemble de Mandelbrot.
Bon, du coup, j'ai pas tout compris, mais on peut peut-être dire que sans nombres complexes, on ne peut pas bosser sur les fractales, qui eux semblent modéliser l'environnement qui nous entoure (toujours d'après ledit reportage).

Après, si je suis en train de sortir une énormité... merci de ne pas m'en tenir rigueur...smile

 #4 - 26-01-2011 15:03:23

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

nombres comolexes

Wikipedia a écrit:

En analyse, l'exponentielle complexe permet de simplifier l'étude des séries de Fourier puis de définir la transformée de Fourier. La branche de l'analyse complexe concerne l'étude des fonctions dérivables au sens complexe, appelées fonctions holomorphes.
En physique, les nombres complexes sont utilisés pour décrire le comportement d'oscillateurs électriques ou les phénomènes ondulatoires en électromagnétisme (Re(eiωt) représentant une onde)

Je sais ce que certains d'entre vous pensent de la Wikipedia, et je ne suis moi-même pas un Wikipedophile avéré (quoi, on ne dit pas comme ça ?), mais là il y a du vrai : l'étude de signal (avec toutes les extensions que ça a, jusque dans la cosmologie) et l'électronique (niveau applications, on en utilise tous les jours) font partie des champs d'application des complexes.

Et les nombres hypercomplexes, ils servent à quoi ? hmm


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 26-01-2011 15:15:16

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Nmobres complexes

Je me souviens d'avoir un calcul en mécanique quantique où l'énergie était complexe et non réelle. J'avais rien compris tongue

 #6 - 26-01-2011 15:51:45

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

nombrzs complexes

Alors que le remplacement de la résistance réelle par l'impédance complexe reste compréhensible smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #7 - 26-01-2011 16:11:55

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Nombres complees

Ca ne m'a pas empêché personnellement d'être traumatisé par les impédances complexes, ou par le principe de Huygens Fresnel ... Mais c'est sans doute lié à la physique en général, parce que j'ai jamais eu de souci avec les transformées de Fourier !
J'essaie de me souvenir du jour où j'ai appris l'existence de i²=-1, mais j'y arrive pas sad C'est un peu la même chose que quand en primaire on nous apprend que les nombres négatifs existent !!!

 #8 - 26-01-2011 16:12:17

franck9525
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Lieu: UK

nomvres complexes

Trois points essentiels (entre autres) qu'apportent les complexes:

- ils dévoilent les solutions d’équations cachées par autorisant les racines négatives. Application: les racines cubiques de 1 permettent de généraliser les solutions de l’équation cubique. Cela a d’immédiates répercutions avec la programmation informatique de certains problèmes.

- ils s’écrivent ainsi:
[latex] x + i y[/latex]; coordonnées d'un point avec abscisse et ordonnée
  ou
[latex]\omega e^{i\phi}[/latex] ; avec un module et un angle

ce qui autorise de jouer différemment sur les paramètres dans un nouvel univers de courbes rigolotes.

- la dernière forme d’écriture est aussi connu avec les termes amplitude et phase, Une application connue de tous est l'ADSL ainsi que toutes les applications où Fourrier met son nez: radar, sonar, ondes en tout genre.

Enigme:
Quelles sont les trois racines cubiques de 1 ?


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 26-01-2011 16:36:04

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
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nombres complexed

Je comprend bien quand on parle d'amplitude et de phase voire de fréquence, mais les complexes n'apporte ici qu'une facilité d'écriture pour être manipulée dans les équations, non ? quand tu écris x+iy coordonnées d'un point avec abscisse et ordonnée, je n'ai pas besoin des complexes pour mettre un point dans un plan. La seule utilité de ces derniers, c'est qu'au lieu de manipuler un couple de coordonnées, je n'ai qu'un nombre. Pareil avec l'autre écriture, je n'ai pas besoin des complexes pour définir une ondes avec son amplitude et sa phase, mais encore une fois, il permet de définir les deux avec un seul nombre.

Bref, ça facilite la vie de ceux qui font des calculs, mais il n'y a pas de réelle application, mon trompé-je ? (De toute façon, c'est trop tard, j'ai déjà bu mon café ^^)

P.S : pour les racines cubiques de 1, c'est 1, j et j² !


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #10 - 26-01-2011 19:09:12

Klimrod
Elite de Prise2Tete
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Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

nombres comolexes

D'accord avec toi, Barbabulle.
Dans les cas que vous citez, les complexes sont un outil mathématique qui aide à comprendre ou à résoudre des équations, donc qui est utile, mais pas indispensable.
En revanche, si je ne me trompe pas, il est impossible d'aborder la mécanique quantique sans les complexes. Donc là, c'est non seulement utile, mais aussi indispensable.
Probablement pareil pour les fractals.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #11 - 26-01-2011 21:27:06

gasole
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Nombres ccomplexes

Les complexes à quoi ils servent ?

Dans l'histoire de l'humanité, on a franchi plusieurs "monstres", aucun n'est indispensable pour faire des mathématiques, mais tous sont sacrément confortables...

Dans l'ordre (?) :
- le 0 : une quantité nulle ? ça n'a pas de sens
- les nombres négatifs ? une quantité négative ?????
- les nombres rationnels ?
- les nombres irrationnels
- les nombres complexes
- ... le reste

Rien n'est indispensable en théorie, mais je n'ose imaginer à quoi ressemblerait les mathématiques et donc la technique si on s'en tenait aux entiers naturels...

Le fait que la mécanique quantique fonctionne avec des complexes n'exclut pas qu'il soit possible de la formuler sans eux.

Bref, les complexes sont aux nombres ce que la pelleteuse est aux travaux publics : on peut tout faire avec une pelle et une pioche, mais c'est plus long big_smile

 #12 - 26-01-2011 22:55:29

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
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Nombres ccomplexes

Bien résumé lol

 #13 - 27-01-2011 09:05:05

MthS-MlndN
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nombees complexes

Je ne suis pas tout à fait d'accord, cependant : savait-on résoudre les équations du troisième degré avant les complexes ? Non. Ou alors en essayant toutes les racines possibles (une toute petite infinité) ?

Résumer les complexes à un accélérateur de travaux me semble faux. Ca a aussi ouvert plusieurs disciplines, permis des choses nouvelles, etc.

Quant aux racines cubiques de 1, merci de préciser que [latex]j[/latex] vaut [latex]e^{\frac{2i \pi}{3}}[/latex], sinon on ne comprend rien lol


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 #14 - 27-01-2011 11:59:32

gasole
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nombres complexzs

@ mathias : pour les équations du 3ème degré, l'introduction de i n'a été au départ qu'un "truc" et je crois que des méthodes permettant de trouver les racines réelles sans passer par les complexes ont été inventées depuis
(cf. http://smf4.emath.fr/Publications/Gazet … _15-18.pdf ).

Que ça ait ouvert des possibilités nouvelles, nul doute, j'en suis parfaitement convaincu, c'est d'ailleurs le propre d'un bon outil : te permettre de faire des choses difficiles à faire sans...

Si tu crois que les objets mathématiques ont une réalité, c'est que tu adhères au platonisme mathématique. Je ne suis pas platonicien, et ce que je pense des complexes, je le pense aussi du zéro, des relatifs, des rationnels, des réels ainsi que des hyper-réels, voire même des entiers : ce sont de merveilleux outils.

Sacrée discussion qui s'amorce...

 #15 - 27-01-2011 13:50:53

MthS-MlndN
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nombres vomplexes

Si on part sur le principe des entiers, c'est une discussion totalement métaphysique qui s'ouvre, trop souvent vulgarisée et réduite sous la forme de la fameuse question "Les mathématiques sont-elles dans la nature ?".

Un objet et un objet mis ensemble, cela fait deux objets. Simple empirisme ? Pas vraiment : c'est quoi, cette histoire de "un" et de "deux" ? Un objet, je vois ce que c'est, c'est palpable, mais "un", ça veut dire quoi ? "Qui est unique et indivisible" ? Cruelle vulgarisation : l'objet que j'ai sous les yeux n'est pas indivisible, je choisis juste de le considérer comme tel pour des raisons pratiques.

Un truc aussi banal que compter sur ses doigts serait donc une simple façon de considérer le monde à travers un filtre logique ? Pour moi, oui, même si le débat reste ouvert. Compter des objets, c'est pour moi supprimer cette savante superposition de multiplicité infinie (physique) et d'unicité fondamentale (métaphysique) qui est la nature de la Nature, pour, en quelque sorte, discrétiser le réel... clairement un outil pratique, qui permet de choisir un angle de vue particulier sous lequel on peut aborder, avec notre conscience limitée, l'infinie complexité du monde.

Cependant, je précise, d'une part que ce n'est que mon point de vue, et d'autre part que je n'ai pas construit ces phrases longues et verbeuses juste pour le plaisir d'en mettre plein la vue et de me faire reluire l'ego... Au contraire, si quelqu'un vient m'expliquer que je me fourvoie totalement, j'en serai profondément ravi. (Gasole, ceci est un appel à l'argumentation wink)


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 #16 - 27-01-2011 14:34:12

gasole
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nombred complexes

Mathias, on est donc d'accord alors... ce sont des outils (ou j'ai rien compris à tes phrases "longues et verbeuses"). Tu avais l'air en désaccord de considérer les complexes comme tels...
Quant à la question du "un" et du "deux", je partage assez aussi : avant que de pouvoir compter les objets, encore faut-il leur attribuer la qualité d'objet, or c'est quoi un objet ? Je crois volontiers à un fondement psychomoteur de ce concept (Poincaré a écrit de super trucs sur l'espace et son enracinement psychomoteur...)

Bref, les nombres, comme les mots sont avant tout des outils, une grille de lecture de ce que nous percevons du monde et qui nous donne parfois la sensation de "comprendre" un peu, et parfois même, ô miracle, d'être d'accord big_smile

Amendement : d'après les psychologues, il sembleraient que les petits entiers (1,2,3,...4,5?) aient une base cérébrale et soient "câblés" : aucun être humains ne pourrait ne pas les "voir"... à suivre.

 #17 - 27-01-2011 22:51:33

MthS-MlndN
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Nombres complxes

Je précise : pour moi, les maths en général ne sont qu'un outil. Je m'opposais juste au principe "les nombres complexes permettent juste de faire comme avant, mais plus efficacement"... Disons qu'on n'est pas sur le même plan de réflexion : dans le contexte des maths, les complexes sont pour moi plus qu'un outil ; en m'en extériorisant, en parlant depuis un point de vue distant et plus métaphysique, la science en général n'est qu'un outil.

Pas facile d'être clair sur ce genre de terrains lol

Quant au dernier point que tu soulèves, je veux bien quelques sources... Je suis intrigué, et très curieux.


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 #18 - 28-01-2011 00:32:10

gasole
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Nombres cmoplexes

les nombres complexes permettent juste de faire comme avant, mais plus efficacement

Tu déprécies ma phrase en prenant au pied de la lettre ma comparaison, mais bon, puisque tu penses que ce sont des outils, en quoi ils ne permettent pas juste de faire comme avant ?

Pour l'histoire des "petits entiers", je vais chercher, j'ai lu ça sur du papier, je ne sais plus du tout où sad

 #19 - 28-01-2011 07:23:14

franck9525
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Nombres complees

L'ouvrage "Quantité inconnue: une histoire réelle et imaginaire de l’algèbre" de John Derbyshire révèle que l'apparition des complexes autour du XVIeme a permis de relancer le développement de l’algèbre qui se perdait alors en complexité. A ce titre, il me semble que les complexes sont plus une invention qu'une amélioration d'outil offrant un rendement plus élevé.

Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra, John Derbyshire
ISBN: 0-309-65688-5.


The proof of the pudding is in the eating.

 #20 - 28-01-2011 09:27:43

gasole
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Nombrees complexes

Franck, ne me fais pas dire ce que j'ai pas dit, c'est un outil ET c'est une invention, car parfois on invente de nouveaux outils, ils ont permis de simplifier l'algèbre elle est là l'amélioration.
Et puis, ne te laisse pas bercer par les mots. En maths c'est facile d'inventer, par contre inventer des choses utiles, pertinentes et profondes c'est une autre affaire.

 #21 - 28-01-2011 09:38:44

gasole
Elite de Prise2Tete
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nombres comolexes

Enfin, tout ça c'est bien compliqué, il y a matières à plusieurs livres. Toutefois, je n'ai pas encore creusé mais il semblerait qu'un petit malin (ou un gros) a réinventé la géométrie mais sans utiliser de fonctions transcendantes (sinus, cosinus,...) et sans nombres irrationnels : ici

 #22 - 20-03-2011 10:10:52

gasole
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Toulouse

Nombre complexes

Derniers jours !

Une émission (La tête au carré, France Inter) sur les bases neuronales des mathématiques est téléchargeable encore quelques jours ici : http://sites.radiofrance.fr/franceinter … ?id=101345

Je vous la recommande vivement ! En  plus, les pauses musicales sont excellentes !

 #23 - 20-03-2011 10:43:52

kosmogol
Banni
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nombres complewes

Et si j'ai bien compris, tu la recommandes plutôt deux fois qu'une smile


http://enigmusique.blogspot.com/

 #24 - 20-03-2011 10:45:41

gasole
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Toulouse

Nobmres complexes

lol depuis que les zones de texte sont plus grandes, j'ai quelques bugs, mais bon, pour celle-là, oui, je peux la recommander deux fois big_smile

 #25 - 19-05-2011 17:34:35

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

nombres cpmplexes

Voici mon avis sur les nombres complexes.
On peut les voir comme des êtres algébriques, une façon de les définir est : un complexe est un couple de réels (a,b) avec les opérations suivantes (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) et (a,b).(c,d)=(ac-bd,bc+ad). On vérifie que c'est un corps et on note (1,0)=1 et (0,1)=i en convention expresse, voici les fameux a+ib. Les opérations algébriques sont les mêmes et par extension on peut définir les opérations analytiques (foctions qui s'écrivent comme des polynômes infinis autour de chaque point de définition) comme par exemple l'exponentielle.
En comparant les développements infinis on arrive à

[latex]e^{ix}=cos(x)+isin(y)[/latex] d'où les immortelles formules de trigonométrie: [latex]e^{ix}e^{it}=(cos(x)+isin(y))(cos(t)+isin(t))=e^{i(x+t)}=cos(x+t)+isin(x+t)[/latex] d'où ce que l'on voulait en indentifiant les parties réelles et imaginaires.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

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