Enigmes

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 #1 - 15-06-2011 14:55:38

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

An usite !

1/3 - 2/5 - chaque nombre à partir du troisième est égal au quotient du précédent augmenté de 1 par celui d'avant.

Quel est le 2010e ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 15-06-2011 15:26:27

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

an syite !

U1 = 1/3
U2 = 2/5
U3 = (2+5)*3/(5*1) = 21/5
U4 = (21+5)*5/(2*5) = 13
U5 = 14*5/21 = 10/3
U6 = (10+3)/(3*13) = 1/3
U7 = (1+3)*3/(3*10) = 2/5
On remarque donc que U1 = U6 et U2 = U7; donc U5p+q = Uq
U2010 vaut donc U5 = 10/3

 #3 - 15-06-2011 15:28:29

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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AAn suite !

Une promenade de santé pour scarta. smile


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 15-06-2011 15:40:43

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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an quite !

Si je ne me trompe pas la suite est périodique.

S(n) = [S(n-1)+1]/S(n-2)

D'où

1/3 - 2/5 - 21/5 - 13 - 10/3 - 1/3 - 2/5 - ...

Le 2010ème élément est donc 10/3.

 #5 - 15-06-2011 15:42:27

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

Ann suite !

Tu ne t'es pas trompé, Milou... wink


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 #6 - 15-06-2011 16:18:57

Autleaf
Passionné de Prise2Tete
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Messages : 69
Lieu: Toulouse

A nsuite !

J'ai compris la définition comme :
[TeX]U_n=\frac{U_{n-1}+1}{U_{n-2}}[/latex] avec n>2

Par des essais, on trouve que cette suite forme une boucle :

1/3 - 2/5 - 21/5 - 13 - 10/3 - 1/3 - 2/5 - ...

Donc les termes de la suite valent :
[latex]U_{1+5n}=\frac{1}{3}[/TeX][TeX]U_{2+5n}=\frac{2}{5}[/TeX][TeX]U_{3+5n}=\frac{21}{5}[/TeX][TeX]U_{4+5n}=13[/TeX][TeX]U_{5n}=\frac{10}{3}[/TeX]
2010 = 0 mod(5) donc le 2010e terme est 10/3.

 #7 - 15-06-2011 16:29:43

SaintPierre
Banni
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zn suite !

OK Autleaf !


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 #8 - 15-06-2011 17:06:17

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

an suote !

Bonjour,
C'est une suite cyclique assez marrante:
u(5k+1)=1/3; u(5k+2)=2/5; u(5k+3)=21/5; u(5k+4)=13; u(5k+5)=10/3
Et, puisque 2010 = 5 x 401 + 5, on aura u(2010)=10/3
Bonne journée.
Frank

 #9 - 16-06-2011 10:57:09

SaintPierre
Banni
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A suite !

Vous avez tous de la suite dans les idées... lol

Bonne réponse, Franky !


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 #10 - 16-06-2011 11:06:25

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
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n suite !

Dans la mesure du possible, j'essaie d'avoir des idées pas trop périodiques, mais c'est pas toujours évident.

 #11 - 17-06-2011 16:43:58

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

An suiite !

Les premiers termes semblent confirmer la tendance à la convergence.

Si la suite converge, ce ne peut être que vers [latex]\frac{1+\sqr5}2\approx\,1.618[/latex]
racine positive de x²-x-1=0

On peut supposer qu'au bout de 2010 itérations, on n'en est pas très loin ?


EDIT
J'aurais dû aller plus loin dans les premiers termes.
La suite est périodique à 5 termes, elle ne converge pas.
Le 2010ème est 10/3=3.333...

 #12 - 17-06-2011 21:55:07

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

AAn suite !

Non, halloduda... il y a quelque chose que tu n'as pas vu. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #13 - 18-06-2011 03:49:14

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
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an suitr !

Sympa comme énigme. smile

Calculons les premiers termes de cette suite:
[TeX]U_1=\dfrac{1}{3}\\
U_2=\dfrac{2}{5}\\
U_3=(\dfrac{2}{5}+1)\times 3=\dfrac{21}{3}=7\\
U_4=(\dfrac{21}{3}+1)\times \dfrac{5}{2}=20\\
U_5=21\times \dfrac{3}{21}=3\\
U_6=4\times \dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{5}\\
U_7=\dfrac{6}{5}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{5}\\
U_8=\dfrac{7}{5}\times 5=7\\
U_9=8\times \dfrac{5}{2}=20\\[/TeX]
Tiens, on tourne en rond.

Un cycle de taille 5 à partir de [latex]U_2[/latex].

Donc [latex]U_{2010}=U_5=3[/latex]


There's no scientific consensus that life is important

 #14 - 18-06-2011 07:53:57

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

AAn suite !

On tourne bien en rond, mais ta réponse, Kikuchi, n'est pas bonne...


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #15 - 18-06-2011 09:04:26

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

An ssuite !

Bonjour

Nous avons donc selon l'énoncé, l'établissement d'une suite [latex]U_n[/latex] pour [latex]n \in \mathbf{N}[/latex]
définie par
[TeX]U_1=\frac{1}{3}[/TeX][TeX]U_2=\frac{2}{5}[/TeX][TeX]U_{n+1}=\frac{U_n +1}{U_{n-1}}[/latex] pour  [latex]n\geq3[/TeX]
Calculons les premiers termes :
[TeX]U_3=\frac{21}{5}[/TeX][TeX]U_4=\frac{26}{2}=13[/TeX][TeX]U_5=\frac{10}{3}[/TeX][TeX]U_6=\frac{1}{3}[/TeX][TeX]U_7=\frac{2}{5}[/TeX]
On remarque alors que :
[TeX]U_6=U_1[/TeX]
et
[TeX]U_7=U_2[/TeX]
Donc [latex]U_{2010}=U_5=\frac{10}{3}[/latex]

(2010 congruent à 5 modulo 5)


Intéressant ce comportement "cyclique" !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #16 - 18-06-2011 09:16:47

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

An sute !

Oui, Nicko !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #17 - 18-06-2011 13:37:55

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

nA suite !

Quel boulet je fais... roll

On reprends:
[TeX]U_1=\dfrac{1}{3}\\
U_2=\dfrac{2}{5}\\
U_3=\dfrac{21}{5}\\
U_4=13\\
U_5=\dfrac{10}{3}\\
U_6=\dfrac{1}{3}\\
U_7=\dfrac{2}{5}\\
U_8=\dfrac{21}{5}[/TeX]
Un cycle de 5 qui commence à [latex]U_1[/latex].

Et donc [latex]U_{2010}=U_5=\dfrac{10}{3}[/latex].


There's no scientific consensus that life is important

 #18 - 18-06-2011 13:39:49

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

An suiite !

Oui, cette fois, c'est bon ! wink


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 #19 - 18-06-2011 13:40:00

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

nA suite !

On tourne bien en rond sur une série de 5.
Le 2010 devrait faire 10/3.
Amusant comme suite ... smile

 #20 - 18-06-2011 13:46:50

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

ab suite !

Idem, Jack !


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 #21 - 19-06-2011 13:10:15

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

An suitte !

Tu vas rire : instinctivement, je pensais que cette suite avait une période de 4, et je n'arrivais pas a démontrer.

Je vais réessayer pour un cycle de 5...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #22 - 19-06-2011 13:15:25

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

An suiite !

Ca se fait tout seul. On appelle U la suite que tu décris :
[TeX]U_{n+2} = \frac{U_{n+1}+1}{U_n}[/TeX]
Alors :
[TeX]\begin{align} U_{n+5} &= \frac{U_{n+4}+1}{U_{n+3}} \\
&= \frac{\frac{U_{n+3}+1}{U_{n+2}}+1}{\frac{U_{n+2}+1}{U_{n+1}}} \\
&=\frac{U_{n+1}}{U_{n+2}} \times \frac{U_{n+3}+U_{n+2}+1}{U_{n+2}+1} \\
&=\frac{U_{n+1}}{\frac{U_{n+1}+1}{U_n}} \times \frac{\frac{U_{n+2}+1}{U_{n+1}}+U_{n+2}+1}{U_{n+2}+1} \\
&=\frac{U_{n+2}+U_{n+2}U_{n+1}+U_{n+1}+1}{U_{n+1}(U_{n+2}+1)} \times \frac{U_{n+1}U_{n}}{U_{n+1}+1} \\
&=\frac{(U_{n+2}+1)(U_{n+1}+1)U_{n+1}U_n}{(U_{n+2}+1)(U_{n+1}+1)U_{n+1}} \\
U_{n+5} &=U_n \end{align}
[/TeX]
A condition bien sûr qu'aucun terme soit nul, mais ça va de soi : si [latex]U_n[/latex] est nul, [latex]U_{n+2}[/latex] n'existe pas, donc [latex]U_{n+5}[/latex] n'existe que si tous les [latex]U_k[/latex] pour [latex]k \leq n+3[/latex] sont non nuls, lesquels ne peuvent exister que si, etc.

En gros, si on a réussi a arriver jusqu'a [latex]U_5[/latex], on est tranquille pour la suite big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #23 - 19-06-2011 16:24:02

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

an siite !

Voilà !


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