1
3.33 cm

Par homothétie, le segment a pour longueur [latex]\frac432.50[/latex]=3.33 cm

EDIT Je me suis planté

2
6.92 cm

La dernier côté a pour longueur 6.92 cm
(Geogebra)

Griego 1

Je suppose que les tangentes sont perpendiculaires...
Réponse : 3,4

En effet on note [latex]a[/latex] l'angle situé à gauche de la figure.
On a [latex]\sin a=\frac{1}{3}[/latex] d'où [latex]\cos a=\frac{2\sqrt{2}}{3}[/latex] et [latex]\tan a=\frac{1}{2\sqrt{2}}[/latex]
La longueur cherchée est donc égale à
[TeX]2.5+2.5*\tan a =2.5+\frac{2.5}{2\sqrt{2}} = 3.383883...[/TeX]
Griego 2

Réponse : 6,92 cm
Il suffit d'appliquer la relation d'Al-Kaschi à chacun des 3 petits triangles, en prenant à chaque fois l'angle dont le sommet est à l'intérieur du grand triangle.
On note u,v,w les angles au centre. On a
[TeX]64=25+16-40*\cos u[/latex]  d'où  [latex]\cos u=-\frac{23}{40}[/TeX]
[TeX]36=9+16-24*\cos v[/latex]  d'où  [latex]\cos v=-\frac{11}{24}[/TeX]
On en déduit [latex]u=2.18340047...[/latex],  [latex]v=2.0469153...[/latex] d'où [latex]w=2\pi-u-v=2.0528694...[/latex]
Finalement la longueur cherchée c est donnée par
[TeX]c^2=25+9-30*\cos w=47.90851[/TeX]
donc [latex]c=6.9215974...[/latex]

2- Théorème d'Al kashi a plusieurs reprises nous donne : 6,9216 cm

Exo 1: (Niveau 3ème)
http://www.prise2tete.fr/upload/gilles355-EXO1.jpg

On sait que DB=2,5 et que (DB) perpendiculaire à (AE) car (AE) est tangent au cercle de rayon DB.

(DB) et (EC) sont perpendiculaires à (AE) donc (DB)//(EC).

Dans le triangle AEC on peut donc utiliser thalès donc on a :
AB/AC=DB/EC

EC= ACxDB/AB
EC= 12,5x2,5/10 = 3,125.

Exo 2: (Niveau 1ère S)
http://www.prise2tete.fr/upload/gilles355-Exo2.jpg

Ici il faut utiliser le théorème d'Al Kashi (généralisation de pythagore dans les triangles non rectangle)

Calcul de Â: 6²=3²+4²-2x3x4xcos  d'où cos Â= (6²-3²-4²)/(-2x3x4)
                   cos Â= -11/24 donc Â= Acos (-11/24)

Calcul de l'angle B: 8²=5²+4²-2x5x4xcos B d'où cos B= (8²-5²-4²)/(-2x5x4)
                             cos B= -23/40  donc B= Acos (-23/40)

Calcul de l'angle C: A+B+C=360° donc C=360-A-B

Calcul du côté manquant que l'on note x:

x²= 5²+3²-2x3x5xcos C
x²= 34 - 30 cos (360-Acos(-11/24)-Acos(-23/40))
x= racine carré (34-30 cos (360-Acos(-11/24)-Acos(-23/40)) )

la valeur environ de ce côté est de 5,9

Voili voilou

2 - J'appelle (8^4) l'angle entre le segment de 8cm et celui de 4cm et (4^6) entre le segment de 4cm et celui de 6cm, etc ...

D'après Al-Kashi :
cos(8^4) = (8²+4²-5²)/(2*4*8)
cos(4^6) = (4²+6²-3²)/(2*4*6)
x² = 8²+6²-2*8*6*cos(8^6)

Formule de trigo :
cos(8^6) = cos(8^4+4^6) = cos(8^4)cos(4^6) - sin(8^4)sin(4^6)

Pour les sinus, on aura donc des sin(acos(.../...)).

En calculant tout ça, et en prenant la valeur positive, j'obtiens :
x = 69.2mm



Pour la question 1, je ne comprend pas ce qui mesure 5, ce que font les barres pour dire que les segments sont égaux, par rapport à quel milieu, le dessin est-il bien proportionné ? Parce que si non, l'énoncé n'est pas vraiment suffisant pour comprendre.

Salut !

Bon, pour la première ce n'est pas bien compliqué : Il suffit de tracer le rayon du cercle qui passe par le point de tangence du haut. On obtient alors une situation de Thalès (puisque ce rayon est perpendiculaire à la dite tangente, et donc parallèle au côté de longueur x) qui donne 7.5/10=2.5/x; d'où x=10/3

Pour le second, je ne trouve de manière simple de traiter le problème... je sors donc l'artillerie lourde

Pour commencer, j'appelle A le point en bas à gauche, B celui en bas à droite, C celui du haut et I le point qui reste à l'intérieur du grand triangle.

Méthode :
Calculer les aires des triangles ABI et IBC à l'aide de la formule du héron.
En utilisant la loi des sinus pour calculer les mêmes aires, on obtient les angles ABI et IBC, on peut donc trouver l'angle ABC par somme des deux précédents.

Je trace la hauteur du triangle ABC dont la base est le côté de longueur 8, et j'appelle le pied de cette hauteur H.

Grace à la trigo dans BCH et l'angle HBC, je trouve les longueurs CH et BH.
J'en déduis AH = 8 - BH

Enfin, j'utilise Pythagore dans le triangle rectangle AHC et j'obtiens AC.

Mes résultats intermédiaires me donnent (arrondis à 3 chiffres significatifs) :
Aire ABI=8.18
Aire IBC=5.33
Angle ABC = 0.997 (en radians)
CH=5.04
AH=4.74

Finalement, x=6.92159741728...

Edit : je viens de voir qu'on demande au 10eme de milimètre, donc : x=6.92 cm

Question 1

Avec un peu de Thales et de Pythagore, en remarquant qu'un carré est formé au
niveau du cercle, on a :
[TeX]\frac{2,5}x = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{50}+2,5}[/TeX]
Ce qui donne [latex]x\approx3,38cm[/latex]

Question 2

J'utilise la formule de Héron pour calculer les aires des 4 triangles, avec x la longueur inconnue.

Ensuite je m'aide de Wolfram Alpha pour résoudre une équation en [latex]x^2[/latex] de degré 2 :
[TeX]x \approx 6,921597...[/TeX]

1.
- Le rayon passant par le point de tangence est perpendiculaire à la tangente.
- En traçant celui qui est parallèle au segment inconnu on dessine donc un triangle rectangle semblable au grand.
- On calcule avec Pythagore la longueur de son 3ème côté : [latex]5\sqrt2[/latex]
- On multiplie la longueur du rayon par le rapport de similitude : [latex]2.5*\frac{(2.5+5\sqrt2)}{5\sqrt2}[/latex] soit environ 3.4

2.
- En utilisant la loi des cosinus dans les 2 triangles connus, on calcule les deux angles au centre : 117,2796127 et 125,0996322
- Pour compléter l'angle plein il faut encore 117,6207551
- Une nouvelle utilisation de la formule du début dans le 3ème triangle donne le côté manquant : environ 6.92

Merci pour les problèmes

Okay! Très bien...

Bravo à tous
Réponses en cours d'enregistrement, ne modifiez rien!!