Enigme Jouer avec un seul dé @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonjour à tous,
Joueriez vous si un copain vous proposait de gagner 6-k euros si vous obtenez un 6 au bout de k lancés ? Evidemment, au dela de 6 lancés, il faudra donner....

gwen27 · #2

Sauf erreur (fort probable de ma part)

Sur 20 lancés , je gagne en moyenne 1,98 euros et j'en perds 3,24... un peu plus de 4 euros si je regarde jusqu'à 200 lancers en tenant compte des cas ou je n'aurais vraiment pas de bol.

Si c'est vrai, je ne joue pas.

J'ai du faire une erreur... En le refaisant , je trouve qu'on gagne autant que l'on perd en moyenne.

Promath- · #3

Oui, car un jeu c'est un jeu. lol^^
Perso, j'éviterais de jouer car les probabilités seraient contre moi. Il a 5/6 chances de gagner 1 euro à chaque coup, donc...

MthS-MlndN · #4

Essayons.

Soit X la v.a. qui vaut le numéro du premier lancer où j'obtiens un 6. Si X=k, ça veut dire que j'ai eu un 6 au quatrième lancer (avec proba 1/6) et que j'ai eu autre chose qu'un 6 à chacun des k-1 lancers précédents (avec proba 5/6 pour chacun des lancers précédents). Une représentation sous la forme d'un arbre infini (d'une hydre, en fait) permettrait de visualiser facilement, mais j'ai la flemme de faire du Paint un jour férié.

En tout cas, on établit facilement
[TeX]
\forall k \in \mathbb{N}^*, P(X=k) = \frac{1}{6} \times \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1}[/TeX]
Pour la forme, on va vérifier que cette loi est effectivement une loi de probabilité :
[TeX]\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = \frac{1}{6} \times \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{5}{6} \right)^k = \frac{1}{6} \times \frac{1}{1 - \frac{5}{6}} = 1[/TeX]
Dans le jeu décrit, P(X=k) est la probabilité de gagner 6-k euros, donc l'espérance de gain est :
[TeX]E = \sum_{k=1}^{\infty} (6-k) P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} (6-k) \frac{1}{6} \times \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1}[/TeX]
On sépare deux sommes à dériver (exercice de première S, ou terminale S, je ne sais plus) :
[TeX]S_1 = \sum_{k=1}^{\infty} 6 \frac{1}{6} \times \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1}[/TeX][TeX]S_2 = \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{1}{6} \times \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1}[/TeX]
Avec [latex]E = S_1 - S_2[/latex].
[TeX]S_1 = \sum_{k=0}^{\infty} \times \left( \frac{5}{6} \right)^k = 6[/TeX][TeX]S_2 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{6} k \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1}[/TeX]
Et là, magie : la dérivée de [latex]x^k[/latex] est [latex]kx^{k-1}[/latex], et ça reste vrai quand on somme le tout, donc [latex]\sum_{k=1}^{\infty} kx^{k-1}[/latex] est la dérivée selon x de de [latex]\sum_{k=1}^{\infty} x^k[/latex].

On reste sur un domaine où x est plus petit que 1 en valeur absolue :
[TeX]\sum_{k=1}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x} - 1[/TeX]
En dérivant :
[TeX]\sum_{k=1}^{\infty} kx^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}[/TeX]
Maintenant, avec [latex]x = \frac{5}{6}[/latex] :
[TeX]\sum_{k=1}^{\infty} k \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} = 36[/TeX]
d'où
[TeX]S_2 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{6} \times 36 = 6[/TeX]
Donc E=0 et ce n'est pas la peine de jouer... Encore que, si on pense avoir de la chance sur les deux ou trois premiers jeux Après tout, les jeux de loterie sont tous à espérance de gain négative, et plein de gens y jouent...

Instinctivement, j'aurais pensé qu'on se ferait plumer, je ne sais pas pourquoi.

dhrm77 · #5

les chances sont de :
16.6666667% de recevoir 5
13.8888889% de recevoir 4
11.5740741% de recevoir 3
9.6450617% de recevoir 2
8.0375514% de recevoir 1
ce qui nous fait 59.8122% de chance de recevoir en moyenne 2.00938 euros
dont il semblerait qu'il soit de avantageux de jouer.
Cependant si on continue....
les chances sont de :
6.6979595% de recevoir 0
5.5816329% de payer 1
etc...
le probleme c'est qu'il n'y a pas de limites aux sommes que l'on peut payer. Et il faut faire la moyenne de toutes ces possibilités...
Si on fait des simulations....
on a a peu pres:
59.812% de chances de recevoir en moyenne 3.3594 (soit recevoir 2.0093 en moyenne sur toutes les possibilites)
6.698% de chances de ne rien recevoir ni payer
33.49% de chances de devoir payer en moyenne 6 euros (soit 2.0095 en moyenne sur toutes les possibilites)
Il semblerait que les sommes a payer soient en moyenne legerement superieures au sommes recues en moyenne par environ 0.000115 euros.
apres un milliard de parties, on aurait perdu a peu pres 114939 euros.

Il faudrait donc ne pas jouer.

nodgim · #6

Matthieu OK, impeccable.
Dhrm et Gwen, le calcul de l'espérance est accessible.

gwen27 · #7

Je ne sais pas ce que c'est ...

J'ai fait comme ça :

Et on a l'air de tomber sur la même limite exactement de l'autre côté ...

MthS-MlndN · #8

nodgim a écrit:
Matthieu OK, impeccable.

Quoi, c'est moi que tu appelles Matthieu ?

dhrm77 · #9

Effectivement c'est calculable.

On gagne en moyenne : 5^6/6^5 soit 2.00938786 euros
On perd en moyenne: 5^6/6^5 soit la meme somme.

Quoique l'on ait plus de chances de gagner que de perdre, les sommes a gagner sont plus reduites que les sommes a perdre, et ca se balance exactement..

Donc techniquement en moyenne on ne pert ni ne gagne rien. Si on veut gagner il suffit d'arreter quand on a l'avantage... Mais l'adversaire peut faire de meme...

Promath- · #10

Et moi nodgim?

nodgim · #11

OK, Dhrm77, bien que le calcul manque un peu, mais bon tu as compris.

Gwen, tu es proche, mais apparemment tu tatônnes.

Mths..., ce n'est pas Mathieu ? je croyais, pardon, je me roule dans la poussière et je vais faire pénitence un mois durant.

Promath, tu es encore un peu loin. Tu pourrais tenter de simuler un algo ou simplement de jouer, pour te faire une idée. Tu es encore jeune pour t'attaquer à ce genre de problème, ça dépasse un peu le niveau primaire des probas, c'est un petit cran au dessus.

MthS-MlndN · #12

nodgim a écrit:
Mths..., ce n'est pas Mathieu ? je croyais, pardon, je me roule dans la poussière et je vais faire pénitence un mois durant.

Merci, mon bon

Et le S à la fin, c'est pour Mathias. Allez, va, je ne te hais point

elpafio · #13

Lors d'un lancer, on a 1 chance sur 6 d'obtenir un "6".
Jusque là, c'est plutôt simple
Un lancer N n'est effectué que si on a perdu au lancer N-1, c'est-à-dire que la probabilité d'avoir à relancer le dé est de 5/6.
Probabilité de tirer un "6" au lancer N:
5 élevé à la puissance (N-1) divisé par 6 élevé à la puissance N.
Ne suis pas familier avec les formules LaTeX, mais on peut l'écrire plus lisiblement ainsi:
[TeX]5^N / ( 5 * 6^N ) [/TeX]
En calculant avec un tableur, cela nous donne:
16.67% de chances de gagner 5 €
13.89% de chances de gagner 4 €
11.57% de chances de gagner 3 €
9.65% de chances de gagner 2 €
8.04% de chances de gagner 1 €
Soit, au final:
59.81% de chances d'empocher entre 1 et 5 €.
6.7% de chances d'empocher 0 € (lancer gagnant au 6ème tirage)
33.49% de chances d'avoir à verser au moins 1 € au copain.

Après calcul, on peut constater que le jeu est équitable.
Si on calcule les produits "probabilité" x "Gain", on a une suite d'éléments dont la somme tend vers zéro:
(16.67% x 5 €)
+ (13.89% x 4 €)
+ ...
+ (6.7% x 0 €)
+ (5.58% x -1€)
+ ...
+ (2.69% x -5 €)
+ ...

Je laisse aux spécialistes la tâche de nous exposer cela mathématiquement dans les formes .

Franky1103 · #14

Bonjour à tous,
L'espérance de gain est la somme de celui des six premiers lancers:
E = 6.(1/6) + 12.(5/6).(1/6) + 18.(5/6)^2.(1/6) + 24.(5/6)^3.(1/6) + 30.(5/6)^4.(1/6) + 36.(5/6)^5.(1/6) = 7703 / 648 = env. 11,887 €.
Donc, selon que le montant à donner au delà de ces six lancers sera respectivement inférieur ou supérieur à 11,887 €, je serai respectivement gagnant ou perdant.
Bonne soirée.

pierreM · #15

Déja une simulation sur 500 lancers donne une somme de l'ordre de 10^(-15)
On va essayer de montrer que la somme, c'est 0
Plus généralement avec une proba p, au bout du keme lancer, on gagne 1/p -k
[TeX]Gain = \sum_{k=1}^{\infty}{ (1-p)^k \cdot p \cdot \left( \frac{1}{p} -k \right) }[/TeX]
[TeX]Gain = \sum_{k=1}^{\infty}{(1-p)^k \cdot (1-pk) } [/TeX]
[TeX]Gain =(1-p) \cdot \sum_{k=0}^{\infty}{(1-p)^k \cdot ((1-p) - pk)
[/TeX]
comme je suis fainéant, j'utilise une formule:
[TeX]\sum_{k=0}^{\infty}{ k \cdot x^k} = \frac{x}{(1-x)^2}[/TeX]
Du coup:
[TeX]\sum_{k=0}^{\infty}{(1-p)^k \cdot p \cdot k} = \frac{1-p}{p}[/TeX]
[latex](1-p) \cdot \sum_{k=0}^{\infty}{ (1-p)^k }= \frac{1-p}{p}[/latex], c'est bien connu

==> gagné, ca vaut 0

(édité: en LaTeX c'est mieux)

nodgim · #16

Tiens ! j'avais écrit une réponse, mais elle n'est pas passée...
Je disais juste qu'il n'y a rien à ajouter à la réponse de Mths, confirmée par PierreM.
Merci aux participants.

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#10 - 29-05-2012 17:09:57

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#11 - 29-05-2012 18:14:58

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#12 - 29-05-2012 19:09:01

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#13 - 29-05-2012 21:23:23

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#16 - 02-06-2012 17:45:15

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