Alors là, respects, Mr masab, respects.

Waouh, j'ai presque rien pigé mais c'est balèze ...

Alors là, c'est hors sujet: la question 3, c'est pour n fois 6 (et pas 3 fois 6):

Pour 1 fois 6, on a en moyenne 6^1 lancers.
Pour 2 fois 6, on a en moyenne 6^1 + 6^2 lancers.
Pour 3 fois 6, on a en moyenne 6^1 + 6^2 + 6^3 lancers.
Pour n fois 6, aurait t-on en moyenne 6^1 + 6^2 + ... + 6^n lancers, soit:
1,2.(6^n - 1) lancers ?

Attention: ce qui précède n'est évidemment pas une démonstration:

Disons que les démonstrations de masab peuvent être assez elliptiques, surtout pour quiconque n'a pas fait de Maths post-bac.

Voici quelques éclaircissements sur le cas 2)

pour R(n) = 5*R(n-1) + 5*R(n-2) :
on distingue les suites qui ne se terminent pas par 6 (5 choix pour [latex]x_n[/latex] et R(n-1) choix pour les autres) et les suites qui se terminent par 6 (1 choix pour [latex]x_n[/latex], 5 choix pour [latex]x_{n-1}[/latex] et R(n-2) choix pour les autres).

pour "On pose [latex]\alpha = ...[/latex] et alors [latex]R(n)=\lambda \alpha^n + \mu \beta^n[/latex]":
La relation R(n) = 5*R(n-1) + 5*R(n-2) donne ce qu'on appelle une suite récurrente linéaire d'ordre 2. On montre qu'une telle suite est de la forme [latex]R(n)=\lambda \alpha^n + \mu \beta^n[/latex] où [latex]\alpha[/latex] et [latex]\beta[/latex] sont les racines de l'équation [latex]X^2=5X+5[/latex]. On peut déterminer [latex]\lambda[/latex] et [latex]\mu[/latex] avec les valeurs des termes R(0) et R(1). En fait, on peut se dispenser de calculer ces valeurs.

Pour le calcul final : on peut le faire sans remplacer les lettres par leurs valeurs, mais juste en utilisant [latex]\alpha^2=5\alpha+5[/latex] (idem pour [latex]\beta[/latex]), [latex]\alpha\beta=-5[/latex], [latex]\alpha+\beta=5[/latex], [latex]\lambda+\mu=1[/latex], [latex]\lambda\alpha+\mu\beta=6[/latex].

Je vais vous aiguiller sur une façon de voir plus intuitive qui permet de trouver assez facilement 42 pour n=2 et la formule pour n quelconque.

Le cas n=2 pour "65"
Avant de s'attaquer au cas "66", je vous propose d'abord de regarder ce qui se passe pour "65" et de comprendre pourquoi il faut 36 lancers en moyenne dans ce cas. Tout d'abord, je vous invite à relire le message 46 pour ceux qui ne l'ont pas en tête, car nous allons raisonner de façon assez analogue, même si je vais adopter une rédaction plus informelle.

Pour le cas "65", on lance le dé un certain nombre de fois, disons p fois, jusqu'à l'obtention d'un 6 suivi d'un 5. On va noter [latex]x_1, ..., x_p[/latex] les résultats des différents lancers, et donc [latex]x_{p-1}=6[/latex] et [latex]x_p=5[/latex]. Cette série de lancers définit une suite de p couples [latex](x_1; x_2), (x_2; x_3), ..., (x_{p-1}; x_p), (x_p; x_1)[/latex].

Parmi ces p couples, il y en a un seul qui vaut (6; 5). Or, la fréquence moyenne des couples (6; 5) doit être de 1/36 et donc on peut en déduire que le p moyen doit être de 36.

Ce qui est bien, c'est que ce raisonnement est intuitif, ce qui est moins bien, c'est qu'il peut paraitre assez peu rigoureux. Mais rassurez-vous, ça marche, l'on peut y mettre la rigueur dans une rédaction proche de celle du message 46.

Le cas n=2 pour "66"
Le raisonnement tenu pour "65" ne peut plus s'appliquer pour "66". Pourquoi ? Comment adapter le raisonnement du dessus pour trouver 42 ?

Le cas n quelconque pour une série "6...6"
Comment faire ?

Bonus : Les cas "665", "566", "656", "6565", "6656", etc... et le cas général pour une série quelconque

Avant que j'oublie :

1) Pour faire n "6", il faut d'abord en faire n-1, puis faire n "6" alors qu'on vient d'en faire n-1. Ce qui nous donne :
[TeX]E_n=E_{n-1}+F_n[/TeX]
2) Lorsqu'on vient de faire n-1 "6", et qu'on lance le dé suivant : on a une probabilité de 1/6 de finir au coup suivant, et une probabilité de 5/6 de devoir tout recommencer depuis le début. Ce qui donne :
[TeX]F_n=1 + \frac{5}{6}E_n[/TeX]
3) De 1) et 2), on déduit que [latex]E_n = 6E_{n-1}+6[/latex]

4) [latex]E_0=0[/latex] donc [latex]E_1=6[/latex], [latex]E_2=42[/latex], [latex]E_3=258[/latex]...

On retrouve aisément les réponses données par Masab.

Et l'on prouve ainsi la conjecture émise par certains :
[TeX]E_n = 6 + 6^2 +...+ 6^n[/TeX]

Princeleroi, tu n'as pas lu le post de ksavier qui, à défaut d'être mathématique est intuitif... Chaque fois que tu ne fais pas un 6 (5 fois sur 6) tu dois au moins rejouer deux coups pour avoir 66 , alors que pour faire 65 chaque fois que tu fais un 6 , tu peux perdre une fois sur six en faisant un nouveau 6 mais ça te laisse l'espoir de gagner au coup suivant.

Tu raisonnes sur 2 coups : OK il y a une chance sur 36 . Mais dans les 35 autres cas ? (En particulier ceux ou un six sort au second coup)

lorsqu'on attend deux 6, on joue un certain nombre de fois. Dés que l'on obtient un 6, la tension monte, et le tirage suivant est décisif ! En effet, si on n'obtient pas un 6 alors tout recommence depuis le début et on attend de nouveau un  6.
En revanche, quand on attend un 6 et un 5 (dans  cet ordre), lorsqu'on obtient un 6, la tension monte aussi mais le moment est moins crucial ! En effet si on n'obtient pas le 5 alors tout n'est pas perdu! En effet, si on obtient un 6 on est encore dans une situation favorable.

Mais si ! : Si on doit faire 66 et qu'on arrive à avoir un six, on a seulement 1 chance sur 6 de réussir le jeu et d'être dans une situation favorable (la victoire dans ce cas), alors que si on doit faire 65 (dans cet ordre) et qu'on arrive à faire un 6, alors on a 2 chances sur 6 c'est à dire 1 chance sur 3 non pas de gagner mais d'être dans une situation favorable : si on a un 5 ou un 6. Si on a un 5, on gagne ; si on a un 6, on peut encore gagner en faisant un 5 au tour d'après.

On peut comparer faire un 66 avec faire "pile-pile" et faire 65 avec faire "pile-face". Dans le premier cas, a chaque fois que j'obtiens face (après avoir obtenu pile une fois), je dois jouer deux fois pour obtenir "pile-pile" alors que dans le deuxième cas, si j'obtiens pile une fois et qu'après je fais encore pile, si je fais face, je gagne en 3 coups contre 4 pour faire "pile-pile".

En terme de probabilités, faire "66" ou "65" sur deux coups est équiprobable → p=1/6*1/6=1/36. Mais sur 3 coups, p(66)=5/216+1/36=11/216 (166, 266, 366, 466, 566, 66 et le jeu s'arrête) et p(65)=6/216+1/36=12/216=1/18 (165, 265, 365, 465, 565, 65 et le jeu s'arrête mais aussi 665). Après puis le nb de coups augmentent plus la probabilité de faire "65" augmente par rapport à faire "66".
Par exemple, pour 4 coups : p(66)=2/27 alors que p(65)=1/12.

Voilà mon raisonnement

A 21 secondes près, on dit la même chose ...

Bah non, si on fait 666, on a déjà gagné au deuxième coup 66, pas besoin de faire un troisième. Et en fait, pour 65, il y a 6 chances sur 216 (165, 265, 365, 465, 565, 665) PLUS 1 chance sur 36 (65) alors que pour pour 66, il n'y a que 5 chances sur 216 (166, 266, 366, 466, 566) PLUS 1 chance sur 36 (66), comme je l'ai dit précédemment.

Donc, on a plus de chances de faire 65 que 66 même si sur deux coups, on ne s'en aperçoit pas.

Donne les règles du jeu.

Ce que l'on cherche est:après un 6 le 5 est-il plus fréquent que le 6.
Ton tableau montre clairement que non.
Bien sûr le 666 compte pour deux fois.