Bravo Titou

Pour les autres , essayez , c'est assez surprenant mais pas compliqué .

Vasimolo

Un arc de cercle détermine de façon unique la corde qui relie les deux extrémités
de l'arc. Donc ça détermine en particulier la longueur de cette corde et l'aire de
la figure délimité par la corde et l'arc.

Donc l'ordre dans lequel sont les arcs qui déterminent la coupe du gâteau n'a pas d'importance, on obtiendra toujours un gâteau de même aire, et de même
périmètre.

Dans l'axemple on voit que dans les deux cas on a :
-1 arc rouge-vert (on va dire RV)
-2 arcs bleu-rouge (on va dire BR)
-3 arcs vert-bleu (on va dire VB)

Donc dans les deux cas on a enlevé la même surfaces, et dans les deux cas
la longueur le périmètre du gâteau est :
1 * longueur de la corde d'un arc RV + 2 * longueur de la corde d'un arc BR + 3 * longueur de la corde d'un arc VB.
Et donc les deux gâteaux ont le même périmètre.

Donc la question est deux savoir si pour un nombre quelconque pair de bandelettes, quelque soit le choix que l'on fait pour la découpe, le nombre
de chacun des arcs RV BR et VB est toujours le même.

Réponse : Oui.

Preuve :

Soit :
  - [latex]i[/latex] le nombre de bandelettes rouges
  - [latex]j[/latex] le nombre de bandelettes vertes
  - [latex]k[/latex] le nombre de bandelettes bleues

Soit :
  - [latex]m[/latex] le nombre d'arc RV
  - [latex]n[/latex] le nombre d'arc BR
  - [latex]p[/latex] le nombre d'arc VB

Alors nous avons [latex]m, n[/latex] et [latex]p[/latex] qui sont entièrement
déterminer par [latex]i, j[/latex] et [latex]k[/latex], et donc ne dépendent pas
du découpage choisi. En effet nous avons :
[TeX]m + n = i[/TeX][TeX]m + p = j[/TeX][TeX]n + p = k[/TeX]
Ce qui donne :
[TeX]m = {{i + j - k}\over 2}[/TeX][TeX]n = {{k + i - j}\over 2}[/TeX][TeX]p = {{j + k - i}\over 2}[/TeX]
Note 1 :
Spoiler : [Afficher le message]
Comme [latex]i + j + k[/latex] est pair, changer certains signe + en - ne change pas la parité donc la division par deux donne bien des entiers.


Note 2 :
Spoiler : [Afficher le message]
Quitte à repeindre les bandelettes (avec du colorant alimentaire bien sûr ) on peut toujours supposé [latex]i\le j\le k[/latex]. on a donc les expressions   [latex]k + i - j[/latex]  et  [latex]j + k - i[/latex] qui sont  clairement positives, donc [latex]n[/latex] et [latex]p[/latex] sont  des entiers naturels.

On a [latex]i + j - k[/latex] qui est positif car [latex]k\le i+j[/latex].
En effet, si  je veux maximiser le nombre de bandelettes bleues, il faut que j'en mette une sur deux et je n'ai que [latex]i + j[/latex] autres bandelettes à intercaler entre deux bandelettes bleues.

Donc m est aussi un entier naturels.


Donc pour résumé si [latex]i, j[/latex] et [latex]k[/latex] sont respectivement le nombre de bandelettes rouges, vertes, et bleues alors quelque soit le choix que l'on fait pour le découpage on a :

Le périmètre du gâteau qui est :

[latex]m[/latex] * longueur de la corde d'un arc RV + [latex]n[/latex] * longueur de la corde d'un arc BR + [latex]p[/latex] * longueur de la corde d'un arc VB.

et l'aire du gâteau qui est :

l'aire du gâteau circulaire - [latex]m[/latex] * l'aire d'un arc RV - [latex]n[/latex] * l'aire d'un arc BR - [latex]p[/latex] * l'aire d'un arc VB.

avec [latex]m, n[/latex] et [latex]p[/latex] les nombres données plus haut.

Merci pour la participation peu nombreuse mais de qualité

Même si les calculs ne sont pas terrifiants on peut s’en passer pour montrer que le nombre de parts de chaque sorte est identique dans les deux découpes .

ABA donne AB A pour l’un et A BA pour l’autre on peut donc supprimer les rubans AB en accordant  une part AB ou BA à l’un ou l’autre des deux gâteaux . On supprime ensuite toutes les séries du même genre jusqu’à aboutir à AB ou ABCABC  ABCABC  …  donnant clairement les mêmes parts aux deux découpes . Un exemple :
[TeX]A\underline{BCB}CBCABABC \rightarrow  A\underline{BCB}CABABC \rightarrow  ABC\underline{ABA}BC  \rightarrow  ABCABC[/TeX]
Le calcul explicite des parts donné par Titoufred ou Cogito montre qu’on peut déplacer les rubans ( en gardant la condition que deux bandes voisines n’ont pas la même couleur ) le découpage donnera toujours le même nombre de parts de chaque sorte .

Vasimolo