Je suppose que tu veux dire que (a-b)/a doit être plus petit qu'une valeur donnée aussi petite que l'on veut .

Vasimolo

Bon premièrement n'importe quelles factorielles s'écrit sous la forme a*b.

Maintenant il faut vérifier la condition :

On sait tous que n!=n*(n-1)*...*2*1

Donc on prend a=n*(n-1)*...*(n-k+1) avec k la partie entière de n/2, pour b on prend le reste, et s'il n'y a pas de gonades dans le potage normalement ça devrait être bon.

Non

Euh ... il est où, l'indice ?

Moi, je n'ai pas compris ce qu'il faut faire.

(b-a)/a tend vers 0 , tout est là

Vasimolo

@shadock : j'ai plutôt l'impression que ça diverge...

Je reformule l'énoncé : montrer qu'il existe une suite de n tels que n! soit un multiple de K, avec K aussi proche qu'on veut de sqrt(n!), en relatif bien sur.

Le postulat de Bertrand nous indique que sqrt(n!) n'est jamais entier pour n > 1.
En effet, si P est le plus grand nombre premier < n, alors n! devrait être un multiple de P², donc n >= 2P, premier autre multiple de P. Or, entre P et 2P, on trouve P' premier > P d'après le postulat de Bertrand.

Donc on cherche à tendre vers la racine, sans jamais l'atteindre.
Reste à trouver une suite de n qui vérifient ça. Sauf que là, je vois pas trop pourquoi ça serait simple. Oui, il y a des nombres composés autour de sqrt(n!), mais rien n'indique qu'ils soient composés de facteurs premiers < n.
On peut aussi trouver à chaque fois le nombre a diviseur de n! tel que a<sqrt(n!) et pour tout x tel que a<x<srqt(n!) x ne divise pas n!, mais le fait de pouvoir le sortir n'indique pas que la méthode soit simple.

Le problème de trouver un tel a est équivalent au "Backpack problem" en version logarithmique : je prends tous les facteurs premiers de n!, passés en logarithme, et j'essaye de tomber au plus près de ln(sqrt(n!)).
Le problème entre dans la catégorie NP-complet, avec tout ce que ça implique. Par exemple, si je donne une valeur de a, il n'est même pas possible de vérifier en temps polynomial que la réponse est bonne...

Donc il faudrait à la rigueur trouver une série de n bien particuliers qui simplifient ce calcul. Sauf qu'étant donné que ça dépend fortement de la répartition des nombres premiers, en particulier ceux < n, c'est pas facile facile... en tout cas je sèche.

Bonjour à tous.
Je donne la solution, je pense que là c'est bloqué.

NB: est ce dû à cette période de chaleur excessive ? Perso je ne suis pas en mesure de me concentrer longtemps sur un problème de maths ardu....

On peut construire 2 suites imbriquées qui donneront chacune une infinité de solutions au problème posé: dans les suites, on prend les entiers successifs 2 par 2, ce sont les éléments successifs des factorielles.

-Une 1ère suite qui commence par (1/2). Elle est suivie par (3/4). Comme 1/2 <1, on compense en multipliant par (4/3).
(1/2)(4/3)=2/3
Comme 2/3 <1, on continue en multipliant par 6/5>1
(2/3)(6/5)=(12/15)=(4/5)
Comme (4/5) <1, on multiplie par 8/7>1
(4/5)(8/7)=32/35
Comme 32/35<1, on multiplie par 10/9>1
(32/35)(10/9)=1.015...
Comme 1.015...>1, on multiplie par 11/12<1
1.015...(11/12)=0.923...
etc...
Ainsi cette factorielle se décompose comme suit:
(1*4*6*8*10*11)*(2*3*5*7*9*12)
Le principe est de compenser un 1+e en multipliant par un 1-f, e et f <<1.
(1+e)(1-f)=1+e-f-ef arrondi à 1+e-f.
1-f<1+e-f<1+e.

ça converge.
Comme les n/(n+1) successifs convergent doucement vers 1, la suite idem.

Dans les faits, n(n+1) ou (n+1)/n représente, à partir de quelques itérations, l'écart relatif maximal. Les valeurs des factorielles successives sont tjs inférieures à ce max, et parfois de beaucoup.

La seconde suite est construite à partir de (2/3).

@shadock : je me rappelle plus. Mais c'est bien possible ça me ressemble une phrase pareille

Et sinon, comme Vasimolo, je confirme que ça marche avec la même remarque
Du coup, est-ce une solution miracle à un problème NP montrant que P=NP?
Bien évidemment, non cette solution est une solution "potable" du problème du sac à dos tout en étant rarement la meilleure

Shadock, en python je sais pas mais un simple tableur donne déja ça jusque 100!  (j'ai limité pour ne pas trop charger le msg))
La 1ère colonne est le résultat, les 2 suivantes sont les facteurs utilisés, la dernière colonne est la fraction (n+1)/n et sert de comparaison avec le résultat.
Observons la précision du résultat en 93/94. En fait, 1 résultat sur 2 est proche de (n+1)/n ou n/(n+1), l'autre est bien plus près de 1. Et si on va plus loin, c'est 1 résultat sur 4, puis sur 8, puis 16,...qui est le meilleur. 

0,5    ...............1    2    2
0,666666667    3    4    1,333333333
0,8.............    5    6    1,2
0,914285714    7    8    1,142857143
1,015873016    9    10    1,111111111
0,931216931    11    12    1,090909091
1,002849003    13    14    1,076923077
0,94017094    15    16    1,066666667
0,995475113    17    18    1,058823529
1,04786854    19    20    1,052631579
1,000238152    21    22    1,047619048
0,958561562    23    24    1,043478261
0,996904025    25    26    1,04
1,033826396    27    28    1,037037037
0,999365516    29    30    1,034482759
1,031603113    31    32    1,032258065
1,001261845    33    34    1,03030303
0,973449016    35    36    1,028571429
0,999758449    37    38    1,027027027
1,025393281    39    40    1,025641026
1,000979156    41    42    1,024390244
0,978229629    43    44    1,023255814
0,999968066    45    46    1,022222222
1,021243982    47    48    1,021276596
1,000819102    49    50    1,020408163
0,981572581    51    52    1,019607843
1,000092818    53    54    1,018867925
0,982234018    55    56    1,018181818
0,999466194    57    58    1,01754386
1,016406299    59    60    1,016949153
1,000012649    61    62    1,016393443
0,984387451    63    64    1,015873016
0,999531873    65    66    1,015384615
1,01445026    67    68    1,014925373
0,999958113    69    70    1,014492754
1,01404203    71    72    1,014084507
1,000338759    73    74    1,01369863
0,987176407    75    76    1,013333333
0,99999688    77    78    1,012987013
1,012655069    79    80    1,012658228
1,000305616    81    82    1,012345679
0,988397216    83    84    1,012048193
1,000025419    85    86    1,011764706
0,988661494    87    88    1,011494253
0,99977005.    89    90    1,011235955
1,010756534    91    92    1,010989011
1,000003805    93    94    1,010752688
0,989587098    95    96    1,010526316
0,999789027    97    98    1,010309278
1,009887906    99    100    1,01010101

D'accord.
De toute façon, la précision de calcul du tableur limite vite le nombre de lignes:

1................    3181    3182    1,000314367   
0,99968593    3183    3184    1,000314169   
0,999999803    3185    3186    1,000313972   
1,000313577    3187    3188    1,000313775   
1................    3189    3190    1,000313578   
1,000313381    3191    3192    1,000313381   
1,000000196    3193    3194    1,000313185   
0,999687305    3195    3196    1,000312989   
1................    3197    3198    1,000312793   
0,9996875...    3199    3200    1,000312598   
0,999999805    3201    3202    1,000312402   
1,000312012    3203    3204    1,000312207   
1.................    3205    3206    1,000312012   

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