première question
165 = 2014/13+2014/169 (parties entières)
donné aussi par WolframAlpha factor 2014!

Gwen non pour la généralisation.

Ah , effectivement, alors :

1 dans ce cas, ce n'est pas 154 mais 165 et 143 ou alors je ne comprends pas.

Bonjour !

Je me lance pour 2014! :
On remarque que 13x13x13 = 2197 donc seulement 13 ou 13² n’apparaîtront dans la décomposition en facteurs premiers des nombres entre 1 et 2014.

(par abus de langage, on ne parle pas de 13^0 = 1)

2014 / 13 = 154,92... donc il y aura 154 nombres entre 1 et 2014 ayant 13 ou 13² dans leur décomposition en facteurs premiers.


13x13 = 169
2014 / 169 = 11,92... donc nous aurons 11 nombres entre 1 et 2014 ayant 13² dans leur décomposition


Soit 154-11 = 143 nombres ayant seulement 13 (puissance 1) dans leur décomposition en facteurs premiers.


La décomposition de 2014 ! s'écrit donc k x 13^(143+2x11) = k x 13^165


Généralisation :

on considère n, et p un des facteurs entrant dans la décomposition des nombres de 1 à n

on détermine q tel que p^q < n < p^(q+1)

soit ent(x) la partie entière de x

il y a ent(n/p) nombres entre 1 et n ayant p, p² .... p^q dans leur décomposition en facteurs premiers.

si q est pair
il y a ent(n/p²) nombres entre 1 et n ayant p², p^4, ....,p^q dans leur décomposition en facteurs premiers.

si q est impair
il y a ent(n/p²) nombres entre 1 et n ayant p², p^4, ...., p^(q-1) dans leur décomposition en facteurs premiers.

je vais essayer de faire une arborescence pair / impair ..
l'idée est de descendre pair / impair jusqu'à q niveaux ...


A bientôt,

Effectivement, l'indice doit partir de [latex]q=0[/latex] dans 2 dernières sommations.

On peut modifier la première formule en utilisant l'écriture de [latex]n[/latex] en base [latex]p[/latex].

On notera cette écriture
[TeX]n=[a_r,a_{r-1},...,a_1,a_0]_p[/TeX]
où [latex]a_r,a_{r-1},...,a_1,a_0[/latex] sont des chiffres en base [latex]p[/latex] (c-à-d des entiers compris entre [latex]0[/latex] et [latex]p-1[/latex]), [latex]a_r\not=0[/latex] ; [latex]a_0[/latex] est le chiffre des unités.
Cette notation signifie que l'on a
[TeX]n=\sum_{i=0}^{r}p^i\,a_i[/TeX]
On en déduit
[TeX]\left\lfloor\frac{n}{p^q}\right\rfloor = [a_r,a_{r-1},...,a_q]_p=\sum_{i=q}^{r}p^{i-q}\,a_i[/TeX]
On note [latex]F_{n,p}[/latex] le nombre de facteurs [latex]p[/latex] dans [latex]n![/latex] . On a donc
[TeX]F_{n,p}=\sum_{q=1}^{r}\left\lfloor\frac{n}{p^q}\right\rfloor
= \sum_{q=1}^{r}\left( \sum_{i=q}^{r}p^{i-q}\,a_i\right)
=\sum_{i=1}^{r} \left( \sum_{q=1}^{i}p^{i-q}\right)a_i
=\sum_{i=1}^{r} \left( \sum_{j=0}^{i-1}p^j\right)a_i[/TeX][TeX]F_{n,p}=\sum_{i=1}^{r} \frac{p^i-1}{p-1}\, a_i
=\frac{1}{p-1}\;\left(\sum_{i=1}^{r} p^i\,a_i - \sum_{i=1}^{r} a_i\right)[/TeX][TeX]F_{n,p}=\frac{1}{p-1}\;\left(n-\sum_{i=0}^{r} a_i\right)[/TeX]
Exemple : [latex]n=2014[/latex] , [latex]p=13[/latex]

On commence par écrire [latex]2014[/latex] en base [latex]13[/latex]. Pour cela on divise [latex]2014[/latex] par [latex]13[/latex] :
[TeX]2014 = 154\times 13+12[/TeX]
puis on divise 154 par 13 :
[TeX]154 = 11\times 13+11[/TeX]
On obtient donc
[TeX]2014 = 154\times 13+12 = (11\times 13+11)\times 13+12 = 11\times 13^2+11\times 13 +12[/TeX]
Finalement
[TeX]2014=[11, 11, 12]_{13}[/latex]         (les chiffres 11, 11, 12 sont notés en base 10)

D'où
                      [latex]F_{2014,13}=(2014-11-11-12)/12=165[/TeX]
Si [latex]p=2[/latex] , la formule obtenue devient
[TeX]F_{n,2}=n-\alpha(n)[/TeX]
où [latex]\alpha(n)[/latex] est le nombre de [latex]1[/latex] dans l'écriture de [latex]n[/latex] en base [latex]2[/latex].


Exemple : [latex]n=2014[/latex] , [latex]p=2[/latex]

En base [latex]2[/latex] , [latex]2014 = [1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0]_2[/latex]
D'où
[TeX]F_{2014,2}=2014-\alpha(2014)=2014-9=2005[/TeX]

Merci à tous les participants.
Pour le cas particulier m=2014, pas de soucis, tout le monde a trouvé.
Pour le cas général:
Soit la suite définie par:
u0=m et u(n+1)=[un/p]
Cette suite a un nb de termes limités, on dira que le dernier non nul est uk.
La somme des termes répond à la 1ère question, elle donne directement le nombre de diviseurs.
S1=u1+u2+...uk
Si on veut ôter les termes apparaissant en puissance paire:
On ôte 2*u2 mais il faut remettre 2*u3, ôtés à tort.
On ôte 4*u4, mais il faut remettre 4*u5, ôtés à tort.
Etc..

S2=u1-u2+3u3-3u4+5u5....

A remarquer la seconde méthode décrite par Masab, qui se sert non plus des résultats des divisions, mais des restes, en écrivant m en base p.
A remarquer aussi que le diviseur p n'a pas besoin d'être premier.

OK vu.