@gwen27 : le joueur 2 va dans l'autre sens : il commence en haut à droite (2e phrase de l'énoncé), sur la case avec un petit "2". Sinon tu as bien compris les règles

Pour 5x5 et 7x7 et par extension les plateaux de (2p+1)x(2p+1) pour tou entier p>0, il me suffit de jouer en premier et me déplacer de p cases à ce 1er coup pour être certain de gagner. En effet, quel que soit le coup de l'adversaire, je joue mon 2è coup en me déplaçant sur (2p-1) ou 2p coups ==> je divise à ce moment le tableau en 2 parties en étant sûr d'avoir la main sur la partie la plus vaste.

Pour le tableau 6x6 et par extension les tableaux (2p)x(2p), je cherche encore un peu.

Salut,

Avec une grille 6x6, le joueur nº2 est sûr de gagner en jouant systématiquement le coup symétrique du joueur nº1.

Du coup avec une grille 5x5 ou 7x7, on a envie de dire que le joueur nº1 peut gagner en occupant le centre, mais ce n'est pas si simple...

En fait, si, c'est simple.
Sur une grille 5x5, si le joueur nº1 joue A5, le joueur nº2 réplique B5 et le joueur nº1 a perdu.
Si le joueur nº1 commence par A4 ou A2, le joueur nº2 réplique par E3 et le joueur nº1 va perdre.
Et si le joueur nº1 commence par A3, le joueur nº2 réplique par E4 et va gagner.
Dans tous les cas, le joueur nº2 gagne, ce qui était contre-intuitif...

Mais pour une grille 7x7, c'est le joueur nº1 qui gagne, en commençant par A4.

Klim.

Je vais considérer le cas généralement on a un carré n×n
Si n est pair:
Le 2ème joueur doit juste répéter les mêmes actions que le premier et il va gagner.
Si n est impair et (n-1)÷2 est pair
Si les 2 joueurs jouent parfaitement c'est le 2ème qui va gagner.
Voici la stratégie:
Le premier avance de P₁ cases (la direction n'est pas importante)
1er cas:
Si P₁<(n-1)÷2
Le deuxième doit avancer D₁ cases tel que D₁=n-2-P₁ (leurs trajets doivent être parallèles)
Après peu importe l'action du 1er joueur le deuxième va se déplacer de D₂ cases tel que D₂=n-1
On peut remarquer que peu importe les actions du 1er joueur le 2ème va gagner.
2ème cas
Si P₁=n-1
Alors D₁=n-2 (leurs trajets sont orthogonaux)
Fin de la partie le 2ème joueur a gagné
3ème cas
Si (P₁>(n-1)÷2) et (P₁≠n-1)
Alors D₁=n-P₁ (leurs trajets doivent être parallèles)
Après peu importe l'action du 1er joueur le deuxième va se déplacer de D₂ cases tel que D₂=n-2
On peut remarquer que peu importe les actions du 1er joueur le 2ème va gagner.
4ème cas
P₁=(n-1)÷2
Alors D₁=(n-3)÷2 (leurs trajets doivent être parallèles)
Le premier joueur va avancer de P₂ cases.
Si P₂<n-2
Alors D₂=n-2-P₂
Peu importe les actions du 1er joueur le 2ème va gagner s'il tourne vers les endroits ou il y a plus de cases.
Si P₂=n-2 ou P₂=n-1
Alors D₂=1
Le deuxième joueur devrait gagner s'il prend le plus long chemin possible avant d’être bloqué cependant il va gagner seulement si (n-1)÷2 est pair
Si n est impair et (n-1)÷2 est impair
C'est le 1er joueur qui va gagner s'il joue selon le 4ème cas avec P₂=n-2

Bonne journée.

Pour moi le 1er qui joue est tjs gagnant.

Au départ pion blanc Bl au Sud Ouest SO pion noir No au Nord Est NE.

Bl joue en 1er, toujours N.

Grille 5*5
Bl joue milieu N:
Si N joue O, Bl avance 4 cases E et gagne.
Si N joue 1 case S, Bl joue 4 cases E et gagne.
Si N joue 3 ou 4 cases S, Bl joue 3 cases E et gagne.

Bl gagne.

Pour les autres grilles impaires, c'est pareil. Bl qui joue prépare la séparation en 2 parts égales de l'échiquier. Il attend que No joue pour décider de la longueur de la séparation centrale. En effet, dans certains cas, Bl devra, et pourra tjs le faire, empiéter de qq cases dans le territoire No, de sorte qu'il attaquera son propre territoire avec un temps de retard, ce qui lui assurera la victoire à tous coups.

Merci aux participants, et félicitations à Klimrod et dbab3000 qui ont réussi à mener l'étude à bien.

On pourrait chercher à raffiner, soit en généralisant à tous les plateaux, soit en étudiant non pas seulement qui est le vainqueur, mais combien de coups d'avance il peut s'assurer (par exemple, sur le plateau 3x3, le premier joueur est sûr de gagner au moins par 4 coups à 2).

Mais je me permets juste de revenir sur le cas du plateau 7x7. Le premier joueur peut gagner en se déplaçant initialement de 3 cases. Je vous ai représenté une solution ci-dessous :



À gauche, si le 2e joueur commence par une des 3 cases en haut à gauche, le premier joueur monte ensuite de 5 cases, puis il n'a plus qu'à jouer les symétriques des coups du 2e joueur pour être assuré de ne pas être bloqué le premier.

Au milieu, le coup du 2e joueur est suicidaire, et il perd immédiatement.

À droite, si le 2e joueur joue n'importe quel autre coup, le premier joueur peut gagner en jouant le 2e coup présenté, puis, en faisant traîner le plus possible dans la moitié de plateau à gauche. Cependant, tous les participants ont passé sous silence l'argument qui permet de prouver que le premier joueur peut effectivement gagner dans ce cas. Voyez-vous pourquoi ?

Attention, il ne suffit pas de compter les cases libres : que ce soit pour le 1er ou le 2e joueur, dans ce cas, le nombre maximal de coups jouables est strictement inférieur au nombre de cases libres.

Pour les carrés pairs, il me semble qu'il suffit au 2ème joueur de jouer le symétrique du 1er joueur pour gagner : 2 joue S si 1 joue N, et O si 1 joue E.
C'est comme ci on avançait les 2 pions en même temps.