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 #1 - 19-02-2021 13:45:18

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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La biote à billes

bonjour à tous

Plus beaucoup d'énigmes mathématiques ces temps ci ; je propose celle là :

Je dispose de 2 billes de volumes :
[TeX]\cfrac{\pi.\sqrt3}{2}[/TeX]
et
[TeX]4\pi.\sqrt3[/TeX]
J'ai fabriqué la plus petite boite cubique pouvant les y enfermer .
Jusque là c'est normal , étant ancien tôlier chaudronnier .

C'est à vous maintenant : je sais que je peux y ajouter des parallélépipèdes rectangles (dans cette boite ).  Quel serait le volume maximum exact d'un de ces prismes logeable avec les 2 billes ?

                                                                   bonne recherche .

n.b.  [latex]\sqrt5 - 1[/latex]  est l'écriture d'un nombre exacte

sinon vous arrondirez à 5 décimales .

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 #2 - 19-02-2021 21:13:44

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 3042
Lieu: 94110

la boite à bilmes

Je me demandais effectivement ou étaient passés les matheux de P2T hmm .
J'ai bien essayé de les motiver avec mon problème de  Sudoku en couleur, mais sans beaucoup de succès auprès de ceux-ci. Le problème reste encore ouvert.

Merci de contribuer à la relance smile .

En ce qui concerne ton énigme, je pense avoir les valeurs des rayons de tes billes :
                               r1 = (V3) / 2        et         R2 = V3

Le coté de ta boîte pourrait valoir :
                         c = 3 (V3 + V2) / 2,    soit    ~ 4.7819396555,
mais sous toute réserve neutral .

Quant au volume de ton parallélépipède, ça se complique... on verra peut-être une prochaine fois.

C'était juste pour faire avancer le schmilbilibili, et que tu ne te sentes pas trop seul !

EDIT : décidément, je ne suis pas très doué pour ce genre de calcul... sad

 #3 - 20-02-2021 16:28:57

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 218

L aboite à billes

Salut smile

En supposant les billes sphériques je trouve :
[TeX]\left(\frac{23}{4}\sqrt{2}-5\right)\left(1+\sqrt{3}\right)\frac{\sqrt{3\sqrt{3}}}{4}[/TeX]

 #4 - 20-02-2021 20:49:05

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Luxembourg

La boite à billse

Rayons des boules: v1 = pi.V3 / 2 => r1 = V3 / 2 et: v2 = 4.pi.V3 => r2 = V3
Arête du cube: a.V3 = (r1 + r2).(1 + V3) => a = 3.(1 + V3) / 2 = 4,09808 env.

Le plus grand parallélépipède rectangle est un des quatre suivants:
http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-Boite_billes.png
Calculons chacun des ces quatre volumes:

Vert: H = a - 2.r2 = (3 - V3) / 2 = 0,63397 env.
et: l = L = 1 + V3 = 2,73205 env.
d’où: V(vert) = 3 + V3 = 4,73205 env.

Gris: H = a - 2.r1 = (3 + V3) / 2 = 2,36603 env.
et: l = L = (V6 + V2) / 4 = 0,96593 env.
d’où: V(gris) = (9 + 5.V3) / 8 = 2,20753 env.

Orange: H = a = 3.(1 + V3) / 2 = 4,09808 env.
et: l = L = V3 / 2 = 0,86603 env.
d’où: V(orange) = 9.(1 + V3) / 8 = 3,07356 env.

Bleu: H = a = 3.(1 + V3) / 2 = 4,09808 env.
l = a - 2.r2 = (3 - V3) / 2 = 0,63397 env.
et: L = V3 + 3/2 - V(3V3 - 9/2) = 2,39769 env.
d’où: V(bleu) = 9.(1 + V3 / 2 - V(V3-3/2)) / 2 = 6,22939 env.
(qui est le volume maximal de ces quatre prismes)

Mais il y a peut-être d'autres grands prismes qui m'ont échappé.

NB: Je n’ai pas compris la mention ‘’V5 – 1 est l'écriture d'un nombre exacte’’.

Edit: Mise à jour générale des valeurs (fausses au départ).

 #5 - 21-02-2021 09:31:02

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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L aboite à billes

Bonjour ;

@Jackv  :  bizarre ton arrête c

@Sydre  :  non puisque ta formule donne environ V = 4.876

@Franky 1103  :  en comparant le volume de la grosse bille avec celui de ton prisme bleu , tu n'aurais qu'un rapport global de 2 ?

 #6 - 23-02-2021 17:07:23

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Lieu: 94110

La obite à billes

Dont acte hmm .
Je me suis refait un petit dessin :
                  http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-BoiteABilles.png
En exprimant c dans le sens horizontal : c = r1 + r2 + (a * V2) / 2,
                       et dans le sens vertical : c = r1 + r2 + h
je tombe sur
                                    c = 3 * (1 + V3) / 2 = 4.0980762

Si je ne me trompe, le plus grand parallélépipède, il pourrait avoir
une longueur   L = c,                         L = 4.0980762
une épaisseur  e = c - 2 * r2             e = 0.6339746
et une largeur  l = c - r1 - x .
Je n'ai pas obtenu d'expression simple pour x...
Je tente :                                          x = 0.8343575

Ce qui donnerait :                              v = 6.2293899

Je n'ai jamais été très doué pour les manipulations de formules ni pour les calculs numériques sad .
Je m'attend donc à être renvoyé une nouvelle fois dans les cordes lol lol !

Pas de problème, j'aurais au moins contribué à la vie de ton énigme, qui m'a occupé un bon bout de temps roll .

 #7 - 23-02-2021 17:32:47

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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La boite à billles

bonjour ;


@Jackv  :  bravo ! et tu n'es pas parti dans les cordes .

c'est vrai qu'on peut vite s'affaler en se prenant les pieds dans les racines .

 #8 - 23-02-2021 21:28:34

Bastidol
Professionnel de Prise2Tete
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la boitz à billes

Voilà voilà



Volume = 30,3221360734996


5,01909782242685 X 1,55499620728909 X 3,88512322621129

@+

 #9 - 24-02-2021 09:48:48

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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la boite à bimles

bonjour ;

@Bastidol :  non ;  l'arête du cube est inférieure à 5  et donc à ta plus grande arête : 5.01909...

j'ai remis un peu de temps ; bon courage .

 #10 - 24-02-2021 19:31:56

Bastidol
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 151

La boie à billes

Je m'étais pris les pieds dans les racine lollollol

J'espère que c'est enfin ça :

V = 11,6423829859068 = 4,4351935184407 X 0,971091903302946 X 2,70314271087182

@+

 #11 - 25-02-2021 09:32:15

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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La boite à illes

bonjour ;

@Bastidol  : hélas !  non

 #12 - 25-02-2021 14:10:08

TOUFAU
Professionnel de Prise2Tete
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La boite à billees

Salut UneCoudée

Je trouve un volume max d’environ 6,22939, dans l’unité de tes billes.
Ou [18+9√3+9(1-√3)√(√3)]/4, qui est vilain.

6 emplacements dans la boite, 3 simultanés possibles. Pas mieux.

 #13 - 25-02-2021 17:34:36

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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la noite à billes

@Toufau :  bravo ! j'ai un tout petit peu moins vilain .

 #14 - 26-02-2021 10:55:22

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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La boite à biilles

Bonjour ,

Afin de venir à bout du problème , je joins le dessin de Jackv .

Encore un petit effort !

http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-BoiteABilles.png

 #15 - 27-02-2021 12:03:38

Franky1103
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La boite à biles

J'ai mis à jour mes calculs dans le post initial.
Je trouve un volume maximal unitaire de: 9.(1 + V3 / 2 - V(V3 - 3/2)) / 2
soit: 6,22939 env. (mais sans la garantie du gouvernement: LOL)

 #16 - 27-02-2021 16:40:20

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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La boite à billles

bonjour ;

@Franky1103 :  et de trois ! bravo !  par contre tu as fait une erreur de signe devant le grand radical . ( en recopiant sans doute , et dans les 2 postes )

 #17 - 27-02-2021 18:28:12

Bastidol
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la boire à billes

J'avis confondu la diagonale du cube et la diagonale de la face.
[TeX]V\quad =\frac { 3*\sqrt { 3 } +3 }{ 2 } \quad *\quad \frac { 2*\sqrt { 3 } +3 }{ 2 } \quad *\quad \frac { \sqrt { 3 } +3 }{ 2 } \quad =\quad 9\sqrt { 3 } +8\quad =\quad 31,338457268119[/TeX]
@+

 #18 - 27-02-2021 19:22:31

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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L aboite à billes

@Bastidol : non ; ni pour l'approximation qui correspond au résultat numérique , ni pour la formule [latex]9.\sqrt3 + 8[/latex] qui , elle , donne une valeur : 23.588...inexacte elle aussi

 #19 - 28-02-2021 11:09:58

Bastidol
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La bboite à billes

[TeX]V\quad =\frac { 3*\sqrt { 3 } +3 }{ 2 } \quad *\quad \frac { 3-\sqrt { 3 }  }{ 2 } \quad *\quad \frac { 3+\sqrt { 3 }  }{ 2 } \quad =\quad \frac { 9(\sqrt { 3 } +1) }{ 4 } =\quad 6,14711431702997[/TeX]

 #20 - 28-02-2021 12:24:39

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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La boite billes

bonjour;

@Batisdol :

tu es à environ   7 ou 8 centièmes , mais ce n'est toujours pas la bonne formule .

 #21 - 28-02-2021 17:38:34

unecoudée
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la biite à billes

Merci à vous tous ; c'était un slalom très spécial avec des [latex]\sqrt3[/latex]
accrochées à chaque piquet .

Voici ma solution :

​avec  l'arête du cube :   [latex] a = \cfrac{ 3\sqrt3.(1+\sqrt3)}{2\sqrt3} = \cfrac{3.(1+\sqrt3)}{2} [/latex]

a  sera aussi la plus grande côte du volume recherché .

Ce volume doit s'intercaler entre la grosse bille et une paroi du cube  :  b
[TeX] b = a - 2\sqrt3  =  \cfrac{3.(1+\sqrt3)}{2} - 2\sqrt3  = \cfrac{3 - \sqrt3}{2}[/TeX]
Il reste à trouver  c  ;  on constate que la côte  b trouvée est inférieure au rayon de la petite bille : [latex] r = \cfrac{\sqrt3}{2}[/latex] 

cette différence vaut : [latex]h = \cfrac{2\sqrt3 - 3}{2}[/latex]

la côte c recherchée vaut donc  [latex]a - r - \sqrt{\left[\cfrac{\sqrt3}{2}\right]^2 - \left[\cfrac{2\sqrt3 - 3}{2}\right]^2}[/latex]

Et  :  [latex]c = \cfrac{2\sqrt3 + 3}{2} - \sqrt{3\sqrt3 - \frac92}[/latex]

Le volume recherché  [latex]V = a.b.c [/latex]
[TeX]V = a.b.c  = \cfrac{9}{2}.\left[1 + \cfrac{\sqrt3}{2} - \sqrt{\sqrt3- \frac32}\right]\approx6.22939[/TeX]

 #22 - 01-03-2021 09:00:35

Franky1103
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La boite à bliles

@unecoudée
Effectivement, c'est une erreur de recopie que j'ai corrigée.
Merci pour cette énigme "casse-tête".

 

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