Bonjour,

Jackv a écrit:

Les neuf cubes présents dans la boîte combinent les couleurs :
                  WBJO, WBJV, WBRO, WBRV, WJOR, WJRV, BJOV, BJOV et BORV.

Il y a 2 cubes identiques. Si l'on en croit la photo, n'est-ce pas plutôt ?

WBJO, WBJV, WBRO, WBRV, WJOR, WJRV, BJOV, JORV et BORV

Je me lance (doucement)…

Question A :
Plus de 2 milliards, d'accord, mais c'est une sacrée approximation…

Voici ce que je trouve :
- nombre de façons de choisir les emplacements des 9 cubes dans la boîte : 9!
- chaque cube peut être orienté de 24 façons différentes : 6 faces × 4 orientations par face
- ce qui fait 24**9 façons d'orienter les 9 cubes, sans tenir compte de leur position dans la boîte
Soit un total de 9! * 24**9 = 958659120196485120 possibilités (environ 0.959e18)

Pour chaque cube, j'ai 6 faces x 4 orientations = 24 façons de le poser.
Pour le premier cube, j'ai donc 9 possibilités de cubes x 24 façons pour chacun.
Pour le deuxième, 8 x 24; pour le troisième, 7 x 24 ..... et pour le dernier, 1 x 24.
Au final, pour la réponse A, je trouverais: 9! x (24^9) = env. 9,5856.(10^17), soit presque un milliard de milliards, soit presque 500 millions de fois plus que les deux milliards annoncés.
Mais je me suis probablement trompé quelque part: combien trouves-tu ?
Les questions suivantes me semblent par contre beaucoup plus ardues.

Franky : non, tu ne t'es pas trompé, nous avons le même résultat .
Et les questions D et E sont tout à fait à ta portée, de même que la nouvelle formulation de la question C.

enigmatus :Je suis tout à fait OK également pour les questions D et E.
Très bien, bravo .

EDIT : j'ai reformulé la question C de manière à ce qu'elle soit accessible indépendamment de la précédente.
Du coup, la question G n'a plus lieu d'être et a été supprimée .

Franky : tout d'abord, merci.
Pour tes résultats :
A : OK
B : à suivre...
C : j'en trouve plus que toi
D : OK
E : bon raisonnement , mais petite erreur au niveau de l'application numérique
F : OK, à suivre...

Bravo et merci Franky pour ton opiniâtreté.

Question B : je n'ose m'avancer sur ton raisonnement... peut-être faudrait-il faire intervenir un "7 x 2" ? Je laisserai aux spécialistes la tâche de trancher quand la discussion sera ouverte .

Question C : Bien vu ! Mais j'en ai encore un peu plus ...

Question E : Nous sommes d'accord.

Question F : OK, sous réserve de la B .
Toutes les combinaisons  de cubes ne sont pas valables pour réaliser un sudoku  .

Franky a écrit:

Pour la partie C, j'ai bien pensé faire pivoter...

Autour de quel(s) axe(s) ?

Franky a écrit:

je dois pouvoir multiplier mon résultat précédent par xxx. J'en suis donc à xxx, mais là, ça me semble beaucoup: à voir ...

Là, tu m'as dépassé ! Mais, comme tu le disais auparavant :

je pense [qu'une partie] rentre déjà dans ce qui est décompté ailleurs

Enfin, je le crois et peut-être que ça se discute .

Par ailleurs, j'ai réfléchi et je reviens sur mon approbation (post 12) à propos de la question F.
Je pense que les combinaisons de 9 cubes à partir des N possibles ne sont pas toutes valables pour obtenir un sudoku : on ne peut pas choisir plus (ni moins) de trois cubes contenant de blanc, de même que pour chacune des autres couleurs...

Un cube est un arrangement de 4 couleurs sans repetition, il y 4! = 24 possibilités.
Avec 6 faces et 4 rotations, un cube de quatre couleurs données offre toutes les possibilités.

D = combinaison de 4 couleurs parmi 6 = 15 cubes
nous avons  WBJO, WBJV, WBRO, WBRV, WJOR, WJRV, BJOV, JORV et BORV.
il nous manque WBJR, WBOV, WJOV, WORV, BJOR, BJRV disponible prochainement en extension de jeu.

E: 15!24^9/6!

A = arrangement de 9 cubes sans repetition
9!x24^9
9 choix pour le premier cube avec 24 possibilités
puis 8 choix et toujours 24 possibilités, etc
cela nous donne moins d’1 solution par million d'arrangements (en supposant 500 000 solutions)

B =
on s'affranchi de la restriction des cubes et on simplement arrange 6x6 couleurs suivant les regles de Sudoku.
6x5x4x3x2x1 pour la premiere ligne
5x4x3x2x1x1 pour la seconde...
4x3x2x1x1x1 ...
...
soit 6!x5!x4!x3!x2!= 25 millions de solutions
les cubes ont des couleurs differentes ce qui reduit le nombre de possibilités...

---
le premier cube 9*24 possibilités; disons WB/JO
le second cube doit contenir 2 colours différentes du premier cube pour avoir une solution, il y a toujours 4 cubes possibles.
WB/JO+RV/WB(4 pemutations) ou JR/WV(2x4) ou JO/RV(4) ou OR/BV(2x4)
soit 24 possibilités
le troisieme cube de cette ligne a ces couleurs imposées avec 4 permutations.
donc 9*24*28*4=12096 pour cette premiere ligne
je passe la main pour la suite:P

Une méthode de résolution consiste à disposer les cubes sur le plateau, sans se préoccuper, dans un premier temps, de leur orientation, en faisant en sorte que chaque double colonne (largeur du cube) et chaque double ligne (hauteur du cube) contiennent deux fois chacune des six couleurs (même alignées). Dans le cas contraire, il faut intervertir deux cubes jusqu’à obtention de cet objectif. Puis, dans un second temps, on oriente chacun des cubes, sans le déplacer vers une autre position, pour avoir une couleur unique par ligne et par colonne.
Avec cette méthode, on doit pouvoir affiner nos chiffres. J'y retournerai dès qu'un peu de temps se libèrera (milieu de cette semaine).
Bonne journée.

Avec un peu de retard, je remercie tous ceux qui se sont intéressé à mon questionnement , et qui y ont apporté des réponses, même partielles.

En résumé :
A) Pourrait-on avoir une idée plus précise du nombre total d'arrangements ?

9 choix possibles pour choisir un premier cube, 8 pour le second, ... En tout 9! possibilités de placer ces cubes sur le plateau.
Pour chaque cube 6 faces orientables dans 4 directions soit 24**9 possibilités.
Au total : 9! * 24**9 = 958 659 120 196 485 120 arrangements, soit près de un milliard de milliard de possibilités !

B) Quel est le nombre exact de solutions compatibles avec les règles du Sudoku ?

N'étant pas très sûr de mon résultat , et celui-ci n'étant pas tout à fait conforme avec celui inscrit sur la boîte , je préfère ne pas l'exposer de suite, en espérant qu'un véritable matheux vienne présenter son point de vue.

C :  Combien de solutions peut-on obtenir facilement à partir d'une solution de Sudoku valable ?

- par rotation d'axe verticale du plateau, 4,
- par permutation de lignes et de colonnes, 6x6 = 36.
- par retournement du plateau, 2
Contrairement à ce que j'ai pu penser au départ, les rotations colonnes par colonnes ou lignes par ligne ne donnent pas de solutions valables , pas plus que les rotations de chaque cube autour d'un axe vertical (j'avoue que c'est plus facile de s'en rendre compte quand on a le jeu entre les mains !).
Au total 4 x 36  x 2 = 288 variantes.

D) Combien de cubes différents N peut-on fabriquer à partir de ces six couleurs ?

Il s'agit des combinaisons de 4 couleurs parmi 6.
On peut donc obtenir 15 cubes différents.

E) A partir de ces N cubes, combien d'arrangements existe-t-il pour remplir la boîte de 9 cubes ?

Il faut commencer par choisir 9 cubes parmi les 15 possibles, soit C(15,9) =  5005 possibilités.
Il reste à multiplier ce résultat par celui de la question A, soit :
                             4 798 088 896 583 408 025 600 possibilités.

F) Parmi ces arrangements, combien de solutions respectent la règle du Sudoku ?

Il faut commencer par choisir 9 cubes parmi les 15, mais toutes les combinaisons ne sont pas possibles : il faut en plus que chaque couleur apparaisse 6 fois, ni plus, ni moins. Il y a donc 3 cubes qui ne possèdent pas de blanc, 3 pas de bleu, etc... 
Pour la première couleur manquante, il faut choisir 3 autres couleurs parmi 5, soit 10 combinaisons.
Pour la seconde, il ne faut plus en choisir que 2 parmi 4, soit 6 combinaisons.
Pour la troisième, 2 parmi 3, soit 3 combinaisons.
Pour la quatrième et la suite, il n'y a plus qu'une seule possibilité.
Nous avons donc en tout 10*6*3 = 180 combinaisons de neuf cubes.

Il ne reste plus qu'à multiplier ce résultat par celui que l'on aura trouvé à la question B !

Maintenant, j'ai toujours eu des difficultés avec les maths, et il m'arrive fréquemment de faire des bourdes ! Je me tiens donc prêt à accueillir toutes les suggestions et les contradictions que vous voudrez bien me signaler .

Sans vouloir faire concurrence aux marchands du jeu, voici les patrons pour construire ces neuf cubes et les manipuler pour mieux comprendre ce qui se passe. N'oubliez pas les onglets d'assemblage non dessinés ici.