Je suis d'accord, bien qu'il manque un petit quelque chose. L'énoncé précise "à main levée", ce n'est donc probablement pas un véritable cercle parfait.

Bleu + Rouge = surface totale du cercle
Si la droite coupant le cercle de telle manière qu'on a la moitié du bleu dans une partie et la moitié dans l'autre, idem pour le rouge, existe (proposition = VRAI), cela signifie que la droite couperait le cercle pour créer une zone = 1/2 bleu + 1/2 rouge = 1/2 surface totale du cercle.
Une droite qui coupe un cercle en deux parties égales est un diamètre.
Est-ce qu'un tel diamètre existe toujours quels que soient les coloriages réalisés ?
Si mon diamètre est tel que je partage en deux la zone bleue, vu que le diamètre partage en deux le cercle complet, il partagera obligatoirement aussi la zone rouge en deux, donc il suffit de trouver un diamètre qui coupe en deux la zone bleue. Il n'est pas compliqué de se convaincre qu'en balayant tous les diamètres, on va pouvoir l'ajuster pour coupez la zone bleue en deux (et donc la zone rouge). La démonstration peut passer par le fait qu'en balayant les diamètres (un peu comme une aiguille sur une pendule qui déroule tous les angles) on peut facilement couper de manière inégale pour avoir moins que la moitié, puis pour avoir plus que la moitié, et par balayage (fonction continue) on passera nécessairement par l'égalité. Dans mes vagues souvenirs de lycée c'était un truc comme le théorème des valeurs intermédiaires ou un truc comme ça.
La réponse est donc VRAI... pour un cercle parfait.
Je ne sais pas si le fait que première phrase précise un cercle tracé à main levé requiert de ne pas considérer le cercle comme parfait ?

Si la forme n'est pas un cercle "parfait", on oublie cette histoire de diamètre. Il suffit de prendre un point sur le pseudo cercle et de tracer la droite qui partage la forme en deux parties égales. Cette droite existe et voici comment la construire. Si la forme "presque cercle" (donc patatoide) était une plaque de métal, il suffirait de la suspendre par le point pris sur un bord et la verticale (fil à plomb) passerait par le centre de gravité de la forme et couperait donc en deux parties égales (de masses égales) la forme totale. Mathématiquement parlant, cette droite passe par le point sur le cercle et par le barycentre de la forme. On voit qu'on peut à nouveau "balayer" plusieurs cas, en faisant parcourir à un point la circonférence du pseudo cercle, on peut tracer à chaque fois la droite passant par ce point et le barycentre. Si on "balaye" toute la périphérie du cercle patatoide, on ne peut pas avoir systématiquement plus de rouge (ou de bleu) toujours du même côté, il y aura obligatoirement un point tel que le pseudo diamètre passant par ce point et le barycentre coupe la forme rouge en deux (et donc la forme bleue aussi). C'est donc VRAI aussi avec un cercle à main levée.

Salut,

Puisque chacune des deux parties contient autant de bleu que l'autre et autant de rouge que l'autre, la droite séparative passe forcément par le centre du cercle.

Hormis la situation exceptionnelle où c'est un cercle concentrique qui sépare le bleu et le rouge de façon égale, ce diamètre disposé n'importe où délimitera deux zones dont l'une est plus bleue et l'autre plus rouge et on peut aussi trouver une autre position où c'est l'inverse.

Je fais maintenant tourner ce diamètre autour du centre: les proportions de bleu et de rouge varient de façon continue: je trouverai donc forcément une position du diamètre où ces proportions de bleu et de rouge sont égales.

Je réfléchis encore aux conséquences du fait que ce cercle soit tracé à main levée, et donc de façon imprécise, mais je ne vois pas trop. Je pense d'ailleurs (peut-être à tort) que cela fonctionne aussi avec un carré.

Bonne journée.

Je m'arrête à :
L'Impossibilité de tracer une droite
à moins de changer la définition
(ce qui est très courant ces temps-ci  dans le domaine médical (sourire)²)

Question subsidiaire bien plus pêchue : si on passe en 3D et qu'on colorie le volume ?
Je crois que je n'ai pas les outils mathématiques pour démontrer quoi que ce soit "proprement", mais allons y quand même sur un raisonnement. Je pense que le raisonnement précédent de couper une forme 2D type cercle en deux parties par une droite 1D doit pouvoir se généraliser à couper une forme type sphère 3D en deux parties par un plan 2D passant aussi par le barycentre, pour les mêmes raisons qu'on pourra trouver des plans coupant la sphère avec une inégalité des proportions rouges (ou bleues) dans un sens ou dans l'autre, et donc par continuité il existera le plan de coupe assurant l'égalité. Vu que la méthode utilise le barycentre, et que le concept de barycentre n'est pas limité aux formes 2D, on peut généraliser en 3D. D'ailleurs, soyons fous, je ne vois pas pourquoi le principe ne pourrait pas s'étendre, y compris bien plus loin, à couper une hypersphère 4D par une sphère 3D
Mais je souhaite bon courage à Aline pour tracer tout ça à main levé !

Faut-il entendre ici que tout ce qui correspond à une action physique dans l'énoncé ou les commentaires* est à traduire en concept et en idéaux ?

Merci d'avance.

(Un peu comme pour la question "combien font 2 et 2 ..." (sourire)²)



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* trace, main levée, colorie, pouvoir tracer, une droite, contenant

Beaucoup de bonnes réponses, bravo !

Un peu de littérature (et de gastronomie), il existe un théorème, dit "du sandwich au jambon", qui indique (en 3 dimensions) qu'on peut couper un sandwich contenant du pain, du jambon et du gruyère en deux parties comportant chacune les même quantités pour chacun des 3 ingrédients, en un coup de couteau.
En dimension N, on parle plutôt de parties Lebesgue-mesurables et d'un hyperplan, mais bon

C'est un théorème assez complexe : en réalité sa démonstration est plutôt courte, mais elle s'appuie sur un autre théorème, celui de Borsuk-Ulam (pas mal aussi dans le genre contre-intuitif, qui indique par exemple qu'à tout moment, il existe deux points sur la Terre aux antipodes l'un de l'autre, où la pression ET la température sont identiques), et la démonstration de ce dernier est assez corsée (lacets, homotopies, etc...)

Revenons en dimension 2: la démonstration est assez simple, elle a été bien traitée dans vos réponses, mais voici une version un peu formelle.

Pour un cercle parfait
* Je trace un diamètre quelconque, partant d'un point quelconque P du cercle
* Je calcule r(P) la différence entre les surfaces rouges dans le sens horaire et dans le sens anti-horaire. r est une fonction continue
* Au point diamétralement opposé P', j'aurai r(P') = -r(P) : les parties sont les mêmes, la soustraction est juste inversée !
* J'ai donc une fonction continue, qui admet des valeurs positives et d'autres négatives : elle admet un zéro, autrement dit un des diamètres coupera le disque de la manière demandée, avec autant de rouge de chaque côté (et donc autant de bleu, puisque ce qui n'est pas rouge est bleu et les deux demi-disques ont même surface)

Pour une forme quelconque, pareil. Il faut simplement montrer que quel que soit le point de départ qu'on prend sur une telle forme, on peut la couper en deux parties égales via une droite qui passe par ce point, et ça se fait de la même manière.
* J'ai un point de départ P
* Pour tout point P' de la forme, je peux tracer la droite (PP') qui la coupera en deux (ou sera tangente, peu importe)
* Je peux donc faire la différence entre les valeurs des surfaces de part et d'autre de cette droite, et en faire une fonction de P'
* Et puisque cette fonction est elle-aussi continue, parfois positive et parfois négative, elle admet un zéro;

On peut toujours couper cette forme en deux parties égales.

J'arrive beaucoup trop tard, mais je me suis demandé ce que pouvait être un cercle dessiné à main levée.
Est-ce que cela interdit un changement de signe de la courbure quand on parcourt ce "cercle" ? En clair, peut-on admettre une forme en "haricot" telle que celle ci ?
                                     
Et en exagérant la déformation, une forme telle que celle-ci ?
Spoiler : [Afficher le message]     

On peut aussi imaginer que le nombre de "tours" de cette spirale tende vers l'infini. 

Question subsidiaire : Est-ce-que cela pourrait changer la réponse ta question ?

Oui, avec une forme fractale ça devient fun
(l'infini) c'est très "tendance"

C'est pas faux. Le fait est que ça marche quand même dans le sens "un hyperplan qui sépare les parties Lebesgue-mesurables en deux"

Puisque chacune des deux parties contient autant de bleu que l'autre et autant de rouge que l'autre, la droite séparative passe forcément par le centre du cercle.