Enigme Séries représentables @ Prise2Tete

Yanyan · #1

Une série à termes rationnels est dite représentables si pour tout N :
[TeX]\sum_{n=1}^{N}a_n=\frac{P(N)}{Q(N)}[/latex] où [latex]P,Q[/latex] sont deux polynômes à coefficients dans [latex]Z[/TeX]
indépendant de N.

Montrer que la série des [latex]\frac{1}{n^2}[/latex] n'est pas représentable.
Plus dur et je n'ai pas encore la réponse : et la série des [latex]\frac{1}{n^5}[/latex] ?

kosmogol · #2

Bravo pour le nouveau surnom

Yanyan · #3

Bâle...

MthS-MlndN · #4

Trou ?

(Ah non, m**de, on n'est pas sur le plateau de Pyramide )

Je cherche, je cherche...

Yanyan · #5

Cela te pose un problème? tu Eu ler bloqué?

scarta · #6

En 2 mots: non, car si une telle série converge, elle converge vers un rationnel et zeta(2) ne l'est pas.

Démonstration

La limite de tout polynôme en +infini est +/- infini, le signe étant celui du coefficient du monôme de plus haut degré.

Du coup, pour une série représentable avec des polynômes P et Q de degrés p et q
- soit p<q : dans ce cas, la fraction et donc la série converge vers 0
- soit p>q : dans ce cas, la fraction et donc la série diverge
- soit p=q : dans ce cas, la fraction converge vers le rapport des coefficients des monômes de plus hauts degrés.

Ici, la série converge vers pi^2/6, donc les p=q et les coefficients des monômes de plus hauts degré ont pour rapport pi^2/6.
Pi étant irrationnel, aucun rapport de 2 entiers relatifs ne peut donner ce résultat.

L’irrationalité de la fonction zeta de Riemann pour les valeurs entières impaires n'est qu'une conjecture et à ma connaissance, l'irrationalité de zeta(5) n'est pas prouvée. Répondre à la seconde question reviendrait donc à répondre à une des plus grandes questions ouvertes des mathématiques.

Yanyan · #7

Bravo à Scarta pour la première question. Mais pour la seconde un petit raccourci qui si tu le prouve est très intéressant.

scarta · #8

En effet, il est vrai que le fait qu'une série ne soit pas représentable bien que convergente n'indique pas que sa limite soit irrationnelle.

Autrement dit : si tu réponds "oui" à la question 2, tu réponds à la question de la rationalité de zeta(5); et si zeta(5) est démontré irrationnel alors la réponse à la question 2 est "non". Cela ne signifie en aucun cas qu'une série convergente non représentable converge nécessairement vers un irrationnel

L00ping007 · #9

Supposons que la série des [latex]\frac1{n^2}[/latex] est représentable
[TeX]\sum_{n=1}^N\frac1{n^2}=\frac{P(N)}{Q(N)}[/TeX]
En passant à la limité quand N tend vers l'infini, on aurait :
[TeX]\sum_{n=1}^N\frac1{n^2}=\frac{p}q
[/TeX]
P et Q sont nécessairement de même degré car la série a une limite réelle, et non nulle. p et q sont les coefficients dominants de P et Q

Or [latex]\sum_{n=1}^N\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6[/latex] irrationnel
D'où la contradiction.

La série des [latex]\frac1{n^2}[/latex] n'est donc pas représentable.

Pour la seconde question, si on arrive à prouver que la série des [latex]\frac1{n^5}[/latex] converge vers un irrationnel, on pourra conclure de la même manière.

Yanyan · #10

Bravo pour les réponses.
J'espère que cette notion intermédiaire entre la rationalité et l'irrationalité vous aura
intéressé...

scarta · #11

La réciproque est fausse, comme le montre le contre exemple suivant
Série des E(1/n).Pi -E(2/n).Pi/3

Cette série est nulle a partir de 2 et donc converge, mais le premier terme vaut Pi/3 et n'est donc pas représentable.

Yanyan · #12

Et si au lieu de pour tout N je mets à partir d'un certain rang?

scarta · #13

Dans ce cas, prenons la série des
Pi/(n+1) - Pi/n + E(1/n).Pi
Toutes les valeurs sont irrationnelles et valent Pi/(n+1)
La série converge donc vers 0, et quel que soit le rang elle n'est pas représentable.

Yanyan · #14

Et si on ne considère que les séries à termes positifs?

scarta · #15

Ben ... j'ai l'impression que tous les termes de la série sont positifs... (Pi/n+1)
Si tu parles des termes qui composent la partie sommée j'ai pas d'idée là tout de suite, mais on est bien loin du problème initial

Yanyan · #16

Je parle des termes de la série à ne pas confondre avec les sommes partielles..

scarta · #17

Bon alors E(1/n)*(2-Pi) + Pi/n - Pi/(n+1) > 0 pour tout N
Voilà, tous les termes sont positif et ça converge (vers 2)

Et comme je te vois venir, voici ma réponse suivante :
[TeX]\ln{\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}} + E(\frac{1}{n}).\ln{2}[/latex] qui tend vers 0 et qui vaut pour tout N [latex]\ln(1+\frac{1}{N+1})[/TeX]

Yanyan · #18

Bien Scarta je me serais contenté du fait que tout rationnel est limite d'irrationnels dès le début...

MthS-MlndN · #19

Bah zut, dire que le simple passage a la limite permettait de conclure pour les inverses des carrés... Je suis lamentablement passé a côté.

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Séries erprésentables

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Séries rperésentables

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