Pour considérer proprement les nombres de 1 à 13, on se place dans Z/13Z
On trace une moitié n'importe où sur le cercle.
On a alors, dans une des deux moitiés, b boules bleue et r boules rouges.
Propriété 1: r+b = 13
Par construction, on a aussi une info supplémentaire: les nombres inscrits sur les boules bleues sont consécutifs (dans Z/13Z toujours), pareil pour les boules rouges
Autrement dit, si on pose
- mB le plus petit nombre bleu
- mR le plus petit nombre rouge
- B l'ensemble des nombres bleus
- R l'ensemble des nombres rouges
on a B = [mB; mB + b - 1] et R = [mR; mR + r - 1]
Pour simplifier la notation, on va dire B = [b1, b2] et R = [r1, r2]
Considérons maintenant ce que signifie "faire tourner la sécante de 2Pi/13":
- on sort une boule, on en fait entrer une
- la boule sortie est soit la plus grande boule bleue, soit la plus petite boule rouge
- la boule entrée est soit la plus petite boule bleue, soit la plus grande boule rouge
On "fait tourner", et donc on diminue b2 ou on augmente r1, jusqu'à avoir b2 + 1= r1. A ce moment là, on aura [b1;b2] et [b2+1; r2], c'est à dire:
[mB; mB + b - 1] et [ mB + b; mB + b + r -1] et comme b+r = 13, alors l'union des deux donne [mB; mB + 12], qui est égal à Z / 13Z
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