ça se mange un gâteau au chocolat, on ne joue pas avec la nourriture

Il n'y a pas d'erreur sur mon exemple , pour un gabarit de 200° , après seulement quatre retournements , le gâteau reprend son allure initiale !

Vasimolo

Si on prend un gabarit de Pi + Alpha (soit entre 1/2 tour et 1 tour), que nous noterons P + A, avec A compris entre 0 et P, on peut voir au cours des retournements successifs l’état du gateau (chaque secteur sera identifié comme Choco ou Brûlé suivant si il a le nappage au dessus ou au dessous):

Etat initial 0 : Choco sur [0 ; 2P]
On découpe la part de 0 à P+A pour atteindre l’Etat 1 : (après retournement) Brûlé sur [ 0 ; P + A ], Choco sur [ P + A ; 2P ]
On découpe la part de P + A à 2P+2A=2A pour atteindre l’Etat 2 : Choco sur [P + A ; P+3A] ; Brûlé sur [P+3A ; 2P] et Brûlé sur [2P ; P + A]. Soit Choco sur [P+A ; P+3A] et Brûlé sur [P+3A ; P+A]
La formule précédente est valable si P + 3A – 2P < 2A ce qui est vrai si A est dans [0 ;P].

On doit découper la part de 2A à P + 3A pour atteindre l’Etat 3 : on s’assure que : 2A < P + A < P+3A pour finalement avoir : Brûlé sur [2A ;4A], Choco sur [4A ; P+3A] et Brûlé sur [P+3A ;2A], soit Choco sur [4A ; P+3A] et brûlé sur [P+3A ;4A]

On découpe la part de P + 3A à 4A pour atteindre l’état 4 : on retourne donc la partie brûlée et on trouve l’état initial !

Donc en 4 retournements, on retrouve le gâteau comme neuf (lardée de 4 coups de couteau).
Et ça marche pour toute valeur de A !!! Donc pour A = 20° (gabarit de 200°).


Pour un gabarit A inférieur à Pi, il y a différents cas de figures :
Soit n le nombre de coups nécessaires pour faire au moins un tour.
Appelons B l’angle résiduel : B = n A – 2 Pi.

Si B = 0 : les n premiers retournements vont retourner tout le gâteau et les n suivants vont le remettre à l’endroit.

Si B <>0 : les n premiers coups vont retourner tout le gâteau moins le secteur [0 ;B]
Si B < A/2 : les n coups suivants vont remettre le gâteau à l’endroit, sauf le dernier secteur retourné [2B – A ;B] sur lequel il reste en Brûlé [2B – A ; 4B – A].

Et là, j’en ai marre même si l’intuition, dont je me méfie, me souffle qu’ en poursuivant on risque de couper ce secteur en 2 deux puis en plusieurs morceaux de fait que le gâteau ne retrouve jamais sa forme initiale (surtout si A n’est pas un multiple entier de B).

Le cas B > A/2 est également prise de tête !!!!

J'avoue que ce gâteau 8 est un peu dur à avaler mais j'aimerais tant que quelqu'un trouve

Un exemple un peu affolant avec un gabarit de 108° :



On voit un peu mieux après le choix de quelques positions clés :



Bon courage

Vasimolo

PS : désolé pour la médiocre qualité des illustrations

Bon le problème a assez duré

Curieusement la nature de l'angle importe peu , un angle de [latex]\pi[/latex] ou [latex]\sqrt{38}[/latex] degré ne pose pas plus de problème que 100° ou 80° .

Distinguons quand même deux cas pour l'angle â ( supposé mesuré en degrés ) :

1°) Si k = 360 / â est entier , après 2k retournement , le gâteau a repris son aspect initial .

2°) Si 360 / â n'est pas entier , on note k la partie entière de 360 / â . Pour simplifier la lecture on prendra â=108° donc k=3 on pourra ainsi suivre sur le dessin du #8 , mais tout ce qui suit vaut pour tout angle

- On fait une première coupe dans une direction dite de base .

- On retourne 3 parts puis on fait pivoter le gâteau de 36° pour amener la dernière coupe sur la position de base . On est donc ramené en position de départ avec au début un petit morceau nappé de 36° .

- On retourne à nouveau 3 parts puis encore une petite rotation de 36° . A nouveau la position initiale mais maintenant deux parts de 36° sans nappage et distantes de 108° .

- On fait ainsi apparaître en fin de "cycle" 1 ; 2 ; 3 ; 4 parts de 36° dont le nappage est différent du reste du gâteau . Plus précisément les angles des colorations : 36 , 72 , 36 , ... , 72 , 36 .

- Continuer les retournements équivaut à faire machine arrière donc après c'est-à-dire que l’on fait disparaître une à une les petites parts de 36° et après  2k(k+1)=24  retournements le gâteau a retrouvé sa virginité ( en apparence en tout cas ) .

J'ai personnellement été bluffé par ce problème , les retournement corrigeants de façon surprenante les défauts de l'angle choisi .

Indigeste mais tellement beau

Vasimolo