ça marche à condition que p soit différent de 2, non?
Supposons p premier plus grand que 2. p est donc impair et il existe donc un entier b tel que:
[latex]p =2b+1=(b+1)^2-b^2[/latex].
En posant a=b+1, on obtient:
[latex]p=a^2-b^2[/latex].

Tout nombre premier, sauf 2, est un nombre impair (de la forme [latex]p=2k+1[/latex]). Alors :
[TeX](k+1)^2-k^2 = (k+1-k)(k+1+k) = 2k+1 = p[/TeX]
Donc tout nombre premier impair peut être écrit comme la différence de deux carrés au moins d'une façon.

Ce résultat a déjà été exposé par moi-même, il y a un peu moins de vingt-quatre heures, ici.

Quant à 2, euh... [latex]1^2 - i^2[/latex] ?

Tout nombre impair est la différence de 2 carrés :
2k+1 = (k+1)² - k²
La propriété est donc vraie pour tout nombre premier impair.
Mais pas pour 2 !

Bonsoir

Si p est impair p=2b+1 et en posant a=b+1 alors a²-b²=2b+1=p .

Si p=2 le résultat est faux en effet (a+b)(a-b)=2 est impossible le membre de gauche étant impair ou divisible par 4 .

Vasimolo

Mis à part 2, un nombre premier est impair. Ainsi l'ensemble des nombres impairs positifs contient en son sein l'ensemble des nombres premiers, or K=( (a+1)^2 - a^2 ), lorsque a appartient à l'ensemble des entiers positifs ou nul, représente justement l'ensemble des nombres impairs:
pour a=0, K=1
pour a=1, K=3
pour a=2, K=5
pour a=n, K=2n+1

Bonsoir, amusant, je m'y suis laissé prendre 2 minutes

L'énoncé ne précise PAS que les carrés sont entiers...
Si on impose que les carrés sont entiers, la propriété n'est PAS vrai pour tous les nombres premiers . Cela ne marche pas pour 2.

p=a^2-b^2. On peut supposer sans réduire la généralité du problème que a et b sont positifs.

(a-b)(a+b)=p
Comme p est premier et a+b > a-b (b positif), on a forcément a+b=p et a-b=1 que l'on résout simplement en a=(p+1)/2 et b=(p-1)/2.

Et on constate bien que cela ne marche pas pour p=2 si on cherche a et b entiers.

Tout a était dit. Bravo à tous les participants qui se partagent le podium.