Je pose x la longueur du coté du triangle.
Chaque hauteur du triangle equilatéral vaut [latex]\frac{x\sqrt{3}}{2}[/latex].

Je peux donc donner une premiere formule pour l'aire du triangle : [latex]\frac{x^2\sqrt{3}}{4}[/latex].

De plus l'aire du triangle ABC est triavialement la sommes des 3 triangles ABM, BCM et CAM.

Prenons le rectangle ABM donc les cotés valent x, 4 et 3.
Son aire est donnée par la formule :
[TeX]\frac{1}{4}\sqrt{(x+3+5)(-x+3+5)(x-3+5)(x+3-5)} = \frac{1}{4}\sqrt{(64-x^2)(x^2-4)}
[/TeX]
Je calcule de meme l'aire des deux autres petits triangle et en comparant la somme de leurs aires et celle du triangle ABC j'obtiens une équation a une inconnue :
[TeX]
[latex]\frac{x^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{4}\sqrt{(64-x^2)(x^2-4)} + \frac{1}{4}\sqrt{(81-x^2)(x^2-1)} + \frac{1}{4}\sqrt{(49-x^2)(x^2-1)}
[/latex].

Je simplifie [latex]\frac{1}{4}[/latex] et je developpe un poil.

[latex]x^2\sqrt{3} = \sqrt{-x^4+68x^2-256} + \sqrt{-x^4+82x^2-81} + \sqrt{-x^4+50x^2-49}
[/latex].

Je pose [latex]X=x^2[/TeX]
[TeX]X\sqrt{3} = \sqrt{-X^2+68X-256} + \sqrt{-X^2+82X-81} + \sqrt{-X^2+50X-49}
[/latex].

Que je n'ai pas encore résolue :-p

J'ai regardé le tracé de la courbe [latex]X\sqrt{3} - \sqrt{-X^2+68X-256} - \sqrt{-X^2+82X-81} - \sqrt{-X^2+50X-49}[/latex] entre les valeurs 0 et 49 (7*7, le coté x est plus petit que 7 si on peut se fier au dessin)
et la fonction ne s'annule jamais.
Donc pas de solution avec le point M a l'intérieur du triangle on dirait (enfin si je me suis pas vautré qque part :S)

En je m'étais vautré sur des signes et le tracé laisse voir une solution pour X=45,784.... ce qui nous donne une approximation du coté du triangle : x=6.766....
et donc une aire de 19.825...

Je vais essayer toutefois de voir si j'arrive a trouver un résultat formel plutot qu'un approximation.


Edit: Depuis hier j'ai tenté une autre approche.

On commmence par attribuer des coordonnées aux points.
Cette fois-ci j'appelle c le coté du triangle et x et y les coordonnées du point M.

[latex]
A= (0,0)
B= (c,0)
C= (\frac{c}{2}, \frac{c\sqrt{3}}{2})
M= (x,y)
[/TeX]
On sait que AM = 3, BM = 4 et CM = 5 ce qui se traduit par :

1)    [latex]x^2+y^2 = 9[/latex]
2)    [latex](x-c)^2+y^2 = 16[/latex]
3)    [latex](x-\frac{c}{2})^2+(y-\frac{c\sqrt{3}}{2})^2 = 25[/latex]


En soustrayant 1) à 2) on obtient :
[TeX]
(x-c)^2+y^2 - (x^2+y^2) = 16 - 9
c^2-2cx=7
[/TeX]
4)     [latex]x = \frac{c^2-7}{2c}[/latex]

De plus a partir de 1) et 4) on obtient :
[TeX]
y=\sqrt{9-x^2}
y=\sqrt{9-(\frac{c^2-7}{2c})^2}
y=\sqrt{\frac{9*(2c)^2-(c^2-7)^2}{(2c)^2}}
[/TeX]
5)     [latex]y=\frac{\sqrt{-c^4+50c^2-49}}{2c}[/latex]

Enfin on reinjecte 4) et 5) dans 3) :
[TeX]
(\frac{c^2-7}{2c}-\frac{c}{2})^2+(\frac{\sqrt{-c^4+50c^2-49}}{2c}-\frac{c\sqrt{3}}{2})^2=25
(\frac{c^2-7-c^2}{2c})^2+(\frac{\sqrt{-c^4+50c^2-49}-c^2\sqrt{3}}{2c})^2=25
[/TeX]
Je multitplie par [latex](2c)^2[/latex] de chaque coté
[TeX]
49+(\sqrt{-c^4+50c^2-49}-c^2\sqrt{3})^2=100c^2
49-4c^4+50c^2-49 -2\sqrt{-c^4+50c^2-49}*c^2\sqrt{3}+3c^4=100c^2
2c^4-50c^2=2c^2\sqrt{3}\sqrt{-c^4+50c^2-49}
c^2-25=\sqrt{3}\sqrt{-c^4+50c^2-49}
[/TeX]
J'élève au carre de chaque coté
[TeX]
(c^2-25)^2=3*(-c^4+50c^2-49)
c^4-50c^2+625=-3c^4+150c^2-147
4c^4-200c^2+772=0
c^4-50c^2+193=0
[/TeX]
Je pose [latex]C=c^2[/latex]
[TeX]C^2-50C+193=0[/TeX]
Delta = [latex]1728=3*24^2[/latex]
[TeX]
C1=\frac{50+24\sqrt{3}}{2}=25+12\sqrt{3}
C2=\frac{50-24\sqrt{3}}{2}=25-12\sqrt{3}
[/TeX]
Pour repasser a c je prends [latex]\sqrt{C}[/latex] et j'oublie [latex]-\sqrt{C}[/latex] car c est positif
[TeX]
c1=\sqrt{25+12\sqrt{3}} =6,776...
c2=\sqrt{25-12\sqrt{3}} = 2,053...
[/TeX]
les aires correspondantes sont
[TeX]

a1=\frac{25\sqrt{3}}{4}+9 = 19.825...
a2=\frac{25\sqrt{3}}{4}-9 = 1,825...

[/TeX]
Jusqu'a present certaines de mes étapes ne sont pas des équivalence mais des implications. Il me faut donc vérifier chacune de ces 2 possibilités.
J'ai un peu la flemme apres tout ça :-p
La premiere solution semble coller avec mon premier calcul (comparaison d'aire) et le deuxieme correspond peut etre a un cas ou le point M est en dehors du triangle ?

Si je ne m'abuse la réponse est 23,5 cm²

Comme je remarque que tout le monde a bien galéré sur cette énigme je lance mon idée qui est loin d'être aboutie mais sans doute êtes-vous meilleur que moi et que vous y arriverez.

Soit M' le projeté de M sur [CB] avec l'angle mm'b = 90°

Considérons le triangle MBC
La somme des angles dans un triangle est de 180°

On a donc
CMM'+BMM'+MBM'+MCM'=180°

Soit X la longueur du segment MM'

Cos-1(X/5)+Cos-1(X/4)+Sin-1(x/4)+Sin-1(X/5)=180°

Et là je suis bloqué

Si on trouve X le reste découle très facilement

Bravo à tous ceux qui ont essayé et encore plus à ceux qui ont réussi comme Nicouj !

Je vous propose ma solution :
[TeX]
A = A1+A2+A3 = \frac{\sqrt3}{4}c^2
A_1=\frac14\sqrt{(3+4+c)(3+4-c)(-3+4+c)(3-4+c)}
A_2=\frac14\sqrt{(3+5+c)(3+5-c)(-3+5+c)(3-5+c)}
A_3=\frac14\sqrt{(4+5+c)(4+5-c)(-4+5+c)(4-5+c)}
c = \sqrt{25+12\sqrt3} \approx 6.7664
A \approx 19.825
[/TeX]

solve(sqrt(3)/4*c^2=(1/4)*(sqrt((3+4+c)*(3+4-c)*(-3+4+c)*(3-4+c))+sqrt((3+5+c)*(3+5-c)*(-3+5+c)*(3-5+c))+sqrt((4+5+c)*(4+5-c)*(-4+5+c)*(4-5+c))),c)

PS : j'aurais du faire Bac+5 en maths

On place un point M dans un triangle équilatéral ABC.
Démontrer: la hauteur du triangle est égal à la somme des distances de M aux cotés du triangle.

C'est amusant cette énigme qui remonte à la surface d'une époque à laquelle je ne suivais pas encore...
Du coup ça me permet de donner une formule peu connue mais tellement utile (et belle).

Pour un point M situé à l'intérieur d'un triangle équilatéral de coté d à des distances a,b et c des 3 sommets, on a:
[TeX](a^2+b^2+c^2+d^2)^2=3(a^4+b^4+c^4+d^4)[/TeX]
Avec cette formule, on trouve rapidement d et donc la surface.

la réponse est dans ton propre topic

@esereth: très élégante démonstration: bravo