de facon un peu brutale, en calculant toutes les possibilités ?

lets go !

passons quand meme en base 8, pour remarqué que n² en base 8:
0²=0
1²=1
2²=4
3²=11
4²=20
5²=31
6²=44
7²=61
ne peux finir que par : 0,1 ou 4.
et qu'en prenant toutes les combinaisons de trois parmis 0,1 et 4... on peut obtenir
0,1,2,3,4,5,6,8=0,9=1,12=4 ... il nous manque le 7

donc aucune comme de trois carré ne peut donner 8n+7.

[TeX]\forall a, b, c, n \in  \mathbb{N}\\
a^2+b^2+c^2\neq 8n+7[/TeX]
Voilà, je le montre.
Maintenant s'il faut aussi le démontrer, c'est une autre histoire.

C'est pas la peine, je suis déjà dehors... loin

Trivialement, ça ne peut pas être la somme de carré de 3 entiers si un nombre pair d'entre eux sont impairs.

Si un seul est impair : (2a+1)²+(2b)²+(2c)² = 4k+1 = 1/5 mod 8 => pas de solution

Si les 3 sont impairs : (2a+1)²+(2b+1)²+(2c+1)² = 4*(a(a+1) +b(b+1) +c(c+1)) +3 = 8k+3 car n(n+1) est toujours pair.
Donc impossible aussi

Les entiers de la forme 8N+7 (ou 8N-1) sont impairs, donc ils ne peuvent pas être la somme de 3 carrés pairs, ni de 1 carré pair et 2 carrés impairs.

Étudions la somme [latex]S[/latex] de 2 carrés pairs et 1 carré impair :
[TeX]S = (2a)^2 + (2b)^2 + (2c+1)^2[/TeX]
[TeX]S = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 4c + 1[/TeX]
[TeX]S[/latex] est donc un multiple de 4 + 1, c'est-à-dire un multiple de 8 + 1 ou de 8 + 5.

Étudions maintenant la somme [latex]S[/latex] de 3 carrés impairs :
[latex]S = (2a+1)^2 + (2b+1)^2 + (2c+1)^2[/TeX]
[TeX]S = 4a^2 + 4a + 1 + 4b^2 + 4b + 1 + 4c^2 + 4c + 1[/TeX]
[TeX]S = 4 [ a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) ] + 3[/TeX]
Il se trouve que [latex]a(a+1)[/latex] est nécessairement pair, ainsi que [latex]b(b+1)[/latex] et [latex]c(c+1)[/latex]
Donc [latex]S[/latex] est un multiple de 8 + 3.

En résumé :
somme de 3 carrés pairs = 8k ou 8k+4
somme de 2 carrés pairs et 1 carré impair = 8k+1 ou 8k+5
somme de 1 carré pair et 2 carrés impairs = 8k+2 ou 8k+6
somme de 3 carrés impairs = 8k+3
8k+7 : impossible d'avoir la somme de 3 carrés.

Klim.

x^2 + y^2 + z^2 = 7 mod 8
Pour les modulo
impair : (2x+1)^2 = 4(x^2+x)+1 = 4(nombre pair) +1 donc 1
pair : (2x)^2 = multiple de 4 donc 0 ou 4

la somme des 3 carrés étant impaire, 1 ou 3 des nombres sont impairs.

x^2 mod 8 + y^2 mod8 + z^2 mod 8 = 7 (ou 15)
si l'un d'entre eux est impair, son carré mod8  est 1

Si les deux autres sont impairs, on arrive à  3

Si les deux autres sont pairs ( de modulo 0 ou 4 ) on arrive à 1, 5, ou 9 ( donc 1)
C'est donc impossible.

Vasimolo a écrit:

Les carrés modulo 8 sont dans {0,1,4} donc la somme de trois carrés dans {0,1,2,3,4,5,6}

Simple, efficace, redoutable.

Sans vouloir être rabat-joie, ça manque quand même un peu de démonstration...
Je trouve appréciable l'effort de certains pour cette énigme ou pour d'autres pour rédiger et détailler (suffisamment) la démonstration (Vasimolo y compris dans la plupart des cas, mais pas ici ).
On ne veut tout de même pas organiser une course à la concision.
D'autant plus que très souvent, le diable est dans les détails...

@Rivas

Nous allions dans le même sens mais nos messages se sont croisés Quand c'est limite question de cours on doit pouvoir quand même s'autoriser à abréger

Vasimolo

Nous avons tous ( et heureusement ) des sensibilités différentes , chacun place le curseur là où il le sent et c'est bien comme ça

Vasimolo

je tiens juste à donner une petite explication :

n est congru à     0,1,2,3,4,5,6 ou 7 modulo 8 donc
n² est congru à   0,1,4,1,0,1,4 ou 1 modulo 8.

Sinon j'avais la même preuve que Vasimolo et d'autres...