D'office, ça pue l'astuce gaussienne...



Partie de droite

Gauss enfant, d'après la légende, avait calculé la somme des entiers de 1 à 100 en remarquant :
[TeX]1+100=2+99=3+98= \dots = 101[/TeX]
d'où une somme valant [latex]50 \times 101 = 5050[/latex].

Pareil ici, du moins pour n pair :
[TeX]n! = (1 \times n) \times (2 \times (n-1)) \times \dots \times \left( \frac n2 \times \frac{n+1}2 \right)[/TeX]
D'après la fameuse inégalité utile, chacun de ces [latex]\frac{n}{2}[/latex] sous-produits est inférieur à [latex]\left( \frac{n+1}2 \right)^2[/latex], d'où :
[TeX]n! \le \left( \frac{n+1}2 \right)^n[/TeX]
Avec n impair, le principe est le même, on laisse juste de côté le terme central de la factorielle, qui est [latex]\frac{n+1}2[/latex], et hop.



Partie de gauche

Je pars de la même décomposition par paires d'entiers (pour n pair), et constate que la fonction f définie par [latex]f(x)=x(n+1-x)[/latex] a pour dérivée [latex]f'(x)=n+1-2x[/latex], et donc est strictement croissante pour [latex]x \le \frac{n+1}2[/latex].

Par conséquent, chaque terme du produit, de la forme f(x) pour x entier entre 1 et [latex]\frac n2[/latex], est supérieur à [latex]f(1) = n[/latex]. Il y a [latex]\frac{n}{2}[/latex] termes, donc :
[TeX]n! \ge n^{\frac n2}[/TeX]
Si n est impair, cette technique permet d'obtenir, en formant [latex]\frac{n-1}2[/latex] paires et en laissant l'élément central tout seul :
[TeX]n! \ge n^{\frac {n-1}2} \times \frac{n+1}{2}[/TeX]
Il suffit alors de montrer [latex]\frac{n+1}{2} \ge \sqrt{n}[/latex] soit [latex](n+1)^2 \ge 4 n[/latex] soit [latex](n-1)^2 \ge 0[/latex].

Un peu tôt pour lâcher ce genre d'indices, non ?

[TeX]n!=\prod_{k=1}^{k=n} k
n!=\bigg(\prod_{k=1}^{k=n} \sqrt{k}\bigg)^2
n!=\prod_{k=1}^{k=n} \sqrt{k}\cdot \sqrt{n+1-k}
n!\leq \prod_{k=1}^{k=n} \frac{k+(n+1-k)}{2}
n!\leq\big(\frac{n+1}{2}\big)^n
[/TeX]
Pour la deuxième inégalité, on remarque que: [latex]\forall a, b \in [1, +\infty[, a\cdot b \geq a+b-1[/latex].
Et on recommence:
[TeX]n!=\prod_{k=1}^{k=n} k
n!=\sqrt{\prod_{k=1}^{k=n} k^2}
n!=\sqrt{\prod_{k=1}^{k=n} k\cdot (n+1-k)}
n!\geq \sqrt{\prod_{k=1}^{k=n} k+(n+1-k)-1}
n!\geq \sqrt{n^n}

n!\geq n^{\frac{n}{2}}[/TeX]

Pour un nombre pair
rac n!n! = rac (1*n)^2  rac(2*(n-2)¨^2 .... rac(n/2 (n/2 +1))^2
n! < (n+1 /2)^2 (n+1 /2)^2 .....n/2 fois
n! < (n+1)/2 ^n
pour un nombre impair
rac n!n! = rac (1*n)^2  rac(2*(n-2)¨^2 .... rac(n/2 +1)^2 pour un nombre pair
idem donc : n! < (n+1)/2 ^n

Pour la première partie, j'hésite à partir de n^n/2) =rac n^n... à voir.

Je ne crois pas avoir fait de pléonasme...
Quant à la finesse des inégalités, elle n'est pas si mal compte tenu des méthodes employées...

Bravo à tous.