Pour compléter la réponse, la fonction gamma coïncidant avec la factorielle sur tous les entiers strictement positifs, on la considère comme une prolongation sur R (et même sur C privé des entiers négatifs) de la factorielle. Je ne crois pas qu'elle ait été conçue pour prolonger la factorielle, mais plutôt que c'est une sorte de "coïncidence numérique", mais je me trompe peut-être ?

Je ne connais pas en détail l'histoire de la fonction Gamme, mais il me semble que les mathématiciens ont cherché par le passé à étendre la factorielle à tous les nombres. Plusieurs définitions sont possibles, mais la plus utile est la fonction Gamma qui possède quelques propriétés remarquables, comme celle d'être analytique. La partie "Motivation" de la page en anglais de wikipédia résume cela