Stratégie de propulsion spatiale @ Prise2Tete

Clydevil · #1

Hello,

Le problème pour les curieux:
Je me demande quelle est la meilleure stratégie dans l'absolu pour éjecter de la matière d'une vaisseau spatial, en supposant qu'on ait de quoi en convertir une partie de notre choix en énergie.
On a donc:
-Un vaisseau de masse M0 (sans compter le carburant)
-Une masse M de carburant
-Une masse r de carburant (partie de M) qu'on va transformer en énergie pure et communiquer au carburant restant éjecté (M - r) sous forme d’énergie cinétique.
-Le tout supposé instantané pour simplifier

A priori n'intervient dans le référentiel galiléen ou le vaisseau est initialement au repos que deux bilans:
Le bilan d’énergie cinétique total: énergie cinétique du vaisseau + énergie cinétique du carburant éjecté égale à l’énergie récupéré de la combustion de r. (r c²)
Le bilan de quantité de mouvement: quantité de mouvement du vaisseau après combustion est égale à la quantité de mouvement de la partie de carburant éjectée.

Il faut prendre les expressions relativistes de ces deux quantités
Énergie cinétique: Ek = m * c^2 * (gamma-1)
Quantité de mouvement: P = gamma * m * v
Avec gamma le facteur relativiste, voir page wikipedia.

Et donc il s'agit d'exprimer v la vitesse du vaisseau après combustion en fonction de r la masse brûlée ou de r/M la fraction de la masse dont on se débarrasse qu'il faut brûler.

Subsidiaire: Il y a d'autres stratégies d’éjection envisageables ou une partie de l’énergie est éjectée du vaisseau en restant pure, sous forme de photon (qui ont aussi une quantité de mouvement), un cas particulier intéressant étant de voir ce qu'il se passe si on transforme tout M en photon.

J'ai tenté papier crayon mais je vieillis, et j'ai la flemme d'installer Mathematica et donc je me dis qu'une bonne âme ayant cela ou un équivalent chez lui fera preuve de charité.

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shadock · #2

Si on appelle D le débit de carburant brûlé, sans prendre en compte les effets relativistes, et en appelant u la vitesse d'éjection du gaz et v la vitesse de la fusée on a

mdv/dt=Du-mg

Shadock

Clydevil · #3

A priori sous Mathematica il suffit de taper:
Solve[
M0 c^2 (1/Sqrt[1-v0^2/c^2]-1)+(M-r) c^2 (1/Sqrt[1-ve^2/c^2]-1) == r c^2
&&
1/Sqrt[1-v0^2/c^2] M0 v0 == 1/Sqrt[1-ve^2/c^2] (M-r) ve,
{v0,ve}
]
Et tracer v0 en fonction de r et M0 (si il dépend de M0)

Ps: Mathematica reste de nous sortir une tetrachiees de cas, qu'on peut certainement
eviter en lui donnant M, c, et éventuellement v0, ve, r, M-r positifs.

shadock · #4

Mon équation est plus simple et relativement très proche de la réalité

Et j'aime pas mathematica

Clydevil · #5

@shadock:

Mon équation est plus simple et relativement très proche de la réalité

Mais a priori:
-Elle ne tient pas compte de la transformation de carburant en énergie par équivalence masse énergie.
-Elle ne donne aucune information sur la proportion de carburant qu'il faut ainsi convertir, la question de base.
-Elle n'est pas relativiste ce qui est un problème dans la mesure ou la question de base a plus ou moins pour but de donner une limite haute de la meilleure manière d'utiliser de la masse pour accélérer.
-Et je vois pas ce que g vient faire la dedans :p (on se trouve en dehors de toute influence gravitationnelle)

Non?

Clydevil · #6

Bon a priori Mathematica semble dire que plus on crame de masse mieux c'est!
Cela dit je ne suis pas 100% sur de la modélisation...

shadock · #7

Moi je t'ai donné l'équation qui marche bien dans un cas qui marche bien mais en considérant qu'on part de la Terre et qu'on ne s'en éloigne pas trop (pour la valeur de g).

Maintenant je pense qu'une propulsion ionique serait plus efficace. En revanche il faut rajouté les équations (relativement simples a minima) des plasmas.

Quoiqu'il en soit j'ai trouvé le sujet que j'ai cette année à Mines-Ponts, je me suis arrêté à la question 21...

C'est le sujet physique 1 des PC : http://www.mines-ponts.fr/pages/upload/sujet/sujet.php

Shadock

Clydevil · #8

Oui Oui je sais ça fait partie des équations fusée classique.
La question que je me posais a la base était vraiment orientée limite haute.
C'est à dire que je suis complètement indépendant de la technologie utilisée et que je considère qu"on peut à loisir transformer autant de masse qu'on le désire en énergie cinétique (généralement dans les équations de modèle fusée pratique on ne prend pas en compte de réaction subatomique, je me place dans un contexte technologique supérieur). Dans l’état actuelle de la science on ne fera jamais mieux, que la limite haute donnée par l’équation plus tôt dans le poste. (Si mon modèle est correct)
En dehors de dire qu'a priori il était rentable de transformer le maximum de son carburant en énergie cinétique (pour accélérer ce qu'on a pas transformé et l’éjecter) Mathematica semblait aussi tracer une courbe qui montrait clairement qu'au delà de 80% du carburant converti en énergie cinétique on ne gagnait plus grand chose. Ce qui est intéressant dans la mesure ou on peut théoriquement extraire ce genre de pourcentage par des mécanismes connus.
Au bilan tout cela pour me rassurer qu'on a pas besoin de beaucoup de masse de carburant pour avoir un delta-v important, quelque kilo permettent déjà beaucoup, et avec 50% du vaisseau en masse carburant on est très large.

shadock · #9

Tu prépares ton prochain épisode et tu nous demandes de faire les calculs à ta place c'est bien ça?

Moi en tout cas, j'attends!

Clydevil · #10

Je prépare mon prochaine épisode oui.
et c'est exactement cela, j'attends que des jeunes fougueux fassent des calculs a ma place.
Mais les deux n'ont aucune corrélation, le calcul c’était juste pour satisfaire ma curiosité

Clydevil · #11

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