Enigmes

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 #1 - 07-11-2016 22:01:22

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 440

Nombre en ase 2 et 3

Bonjour,

J'ai trouvé dans un concours de mathématiques un problème que j'ai beaucoup aimé. Le voici:

C choisit un nombre n entier naturel non nul.
Il dit à A le nombre de chiffres que contient n écrit en base 2.
Il dit à B le nombre de chiffres que contient n écrit en base 3.

Par exemple, il choisit 9.
9 en base 2 s'écrit 1001, et 1001 a 4 chiffres
9 en base 3 s'écrit 100, et 100 a 3 chiffres.
Il va donc dire 4 à A et va dire 3 à B.

Une fois qu'il a dit cela à A et à B, A et B se parlent:

A- Je ne sais pas quel est le nombre de départ.
B- Moi non plus
A- Dans ce cas, je sais quel est le nombre de départ.
B- Dans ce cas, moi aussi!

Quel est donc le nombre de départ?

Bonne réfléxion smile

Spirou



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Réponse :

Il vaut mieux mobiliser son intelligence sur des choses betes que de mobiliser sa betise sur des choses intelligentes.
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 #2 - 08-11-2016 05:48:08

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2990
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Nombre ne base 2 et 3

Pour clarifier:
- B ne sait pas quel nombre C a donné à A, mais il sait qu'il s'agit du nombre de chiffre en binaire
- A ne sait pas quel nombre C a donné à B, mais il sait qu'il s'agit du nombre de chiffre en ternaire.

Je n'ai pas la réponse, et il se fait tard, donc je chercherais plus tard...
Mais, ce type d'énigmes est assez connu, Wikipedia a meme une page en anglais sur une énigme tres similaire  ici. Cependant, je ne crois pas qu'il existe une page équivalente en francais.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #3 - 08-11-2016 07:39:42

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Nombre en base 2et 3

Bonjour,
Je dirais 3.

Voir aussi : L'incroyable problème de Freudenthal
C'est un article de Jean-Paul Delahaye paru dans la revue "Pour la Science" n° 356 de juin 2007.

 #4 - 08-11-2016 08:38:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Nombre en baes 2 et 3

La réponse est 3.
Le zéro est exclu dans le choix. Donc il ne reste qu'un seul nombre à 1 chiffre en base 2 qui est 1. Si A ne peut le deviner c'est qu'on ne lui a pas donné un 1, mais au moins un 2. Comme B fait la même réflexion, et que B connait maintenant la réponse de A, il ne reste que le nombre 2 qui a un chiffre. Si on avait donné 1 à B, il aurait deviné la réponse, donc on n'a pas donné 1 à B. Si A dit ensuit qu'il connait la réponse c'est qu'on lui a donné 2, car il ne reste que le nombre 3 comme solution, 2 ayant été éliminé par la réponse de B. Et si on avait donné un nombre plus grand à A, A aurait été incapable de deviner le nombre de départ, car tout autre nombre qu'il aurait à disposition donnerait trop d'options pour le nombre de départ. Du coup B en déduit aussi la réponse, mais cette dernière info était inutile.

Intéressant.

 #5 - 08-11-2016 09:01:06

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

nombre en basz 2 et 3

La réponse est 3
base 2 : 11
base 3 : 10


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 08-11-2016 11:39:30

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

nombre rn base 2 et 3

bonjour.

A et B sont 2 bons logiciens .
Ils savent d'abord que le nombre de bits donné à A et à B  ne peut être le même
que pour les nombres 1 et 3
Dans la discussion il y a 4 affirmations successives : a) , b) , c) et d) .
Alors chronologiquement :
a) si A entend 1 , il peut conclure  n = 1 (c'est le seul entier>0 possible) . Il a donc
eu une réponse >1  . Supposons que A entend 2.
b) Si B a comme réponse 1 , il peut conclure  ---> n = 2 . Donc C ne peut lui avoir
soufflé qu'une réponse >1 . Mais comme on suppose que  A  a eu 2 comme réponse,
il n'a pu avoir que la même réponse (n = 2). Mais si B a comme réponse 2 , pour lui
à ce stade il a 6 réponses possibles (3 , 4 , 5 , 6 , 7 & 8) .Il ne peut donc pas répondre .
c) A , ayant 2 solutions possibles ( 2 et 3) sait maintenant que B n'a pas pu répondre
2 ( B ayant eu comme réponse : le nombre a 2 bits) .
   A peut donc conclure : n = 3
d) B sait que A peut conclure . Il sait aussi que n s'écrit avec 2 bits en binaire et que
3 est le seul nombre que l'on peut écrire avec 2 bits en binaire et 2 bits en base 3
Il peut donc conclure .
Conclusion :  n = 1 --> A répond tout de suite.
                   n = 2 --> c'est B qui obtient la solution .
                   n = 3 --> c'est A qui conclut quand c'est à nouveau à son tour.
                   n > 3 plus personne ne pourra conclure .

 #7 - 08-11-2016 12:28:59

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

nombre rn base 2 et 3

A et B on reçu le chiffre 2 comme information !

A- Je ne sais pas quel est le nombre de départ.

Donc il n'a pas reçu le nombre 1 (sinon le nombre de départ serait égal à 1)
Comme il a le 2, il hésite entre 2 et 3.

B- Moi non plus

Donc il n'a pas reçu le nombre 1 (sinon le nombre de départ serait égal à 2 puisque ça ne peut pas être le 1)

A- Dans ce cas, je sais quel est le nombre de départ.

Comme ce n'est pas le 2, c'est le 3

B- Dans ce cas, moi aussi!

J'ai beaucoup de choix, mais comme A à trouver, c'est évidement le 3 !

 #8 - 08-11-2016 13:37:56

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Nombre en base 2 te 3

3
A : Ca ne peut pas être 1 car ca serait solution unique
B : 1 étant éliminté, ca ne peut donc pas être 2 car serait une solution unique
A : Avec 2 éliminé et une solution unique la seule possibilité est 3
B : sait donc que c'est 3 par déduction

 #9 - 08-11-2016 17:30:53

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2990
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Nomre en base 2 et 3

Le nombre est forcement 3. Voici comment on peut le déduire:
- A recoit un 2 et B recoit egalement un 2.
- en binaire 2 nombres (2 et 3) ont 2 chiffres, 2 et 3, donc A ne sait pas lequel.
- en ternaire, 6 nombres (de 3 a 8) ont 2 chiffres, donc B ne sait pas non plus lequel.
  et comme A a dit qu'il ne savait pas, ca ne lui apprend rien.
- maintenant A sait que B ne sait pas.
  Si le nombre était 2, B aurait recu le nombre 1, et donc B saurait parce que tu point de vue de B, si le nombre était 1, alors A saurait duquel il s'agit, donc ca ne peut pas etre 1, donc B ne peut pas avoir recu 1 et ne pas savoir le nombre original. Ce qui implique que du point de vue de A le nombre ne paut pas etre 2. Il est donc forcement 3.
- Quand A dit qu'il sait, B peut en deduire qu'il s'agit de 3, puisque c'est le seul nombre qui pourrait causer A de dire qu'il sait.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #10 - 08-11-2016 20:05:59

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

nombre en basz 2 et 3

3.

A ne sait pas donc ce n'est pas n=1.
B ne sait pas non plus.

Hypothèses :

B a entendu 1 : n ne peut valoir que que 1 ou 2 , et A ne pouvant pas conclure, il aurait su que n=2.

B a entendu 2 : il ne peut pas conclure, n peut aussi bien être 3 que 4 5 6 7 ou 8
Mais A conclut, ce qui veut dire que le nombre a 2 chiffres en base 2 ce qui ne laisse que 3. Cela permet à B de trancher aussi.

B a entendu plus que  2 : cercle vicieux sans conclusion possible. Seule l'unicité de l'écriture de 1 avec 1 chiffre en base 2 permet d'en sortir si n=3

 #11 - 08-11-2016 22:00:28

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 440

nombre en basr 2 et 3

C'est tout bon, bravo big_smile


Il vaut mieux mobiliser son intelligence sur des choses betes que de mobiliser sa betise sur des choses intelligentes.

 #12 - 09-11-2016 00:29:23

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Nombree en base 2 et 3

Je traduis les affirmations
- A: ce n'est pas 1 (sinon j'aurais trouvé)
- B: ce n'est pas 2 non plus
- A: on m'a dit "2 chiffres" donc c'est 3
Et la dernière phrase de B, bien que juste, n'est pas nécessaire.

 #13 - 10-11-2016 01:44:59

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 110

Nombre en bae 2 et 3

Si n=1
n=(1)₂ C va dire à A le nombre 1 A va facilement déduire que n=1 car si n est écrit sur un seul bit ça implique que n=0 ou n=1 et tout le monde sait que n est non nul donc n=1.
Ce n'est pas le bon cas car A ne connait pas n au début.

Si n=2
n=(10)₂ et n=(2)₃ C va dire à A le nombre 2 et à B le nombre 1, B va penser que n=1 ou n=2 .
Si n=1 A va le déduire dès le départ si n=2 il ne va pas savoir.
Alors dès que A va dire qu'il ne sait pas B va dire que n=2
Ce n'est pas le bon cas car B dit qu'il n'a pas su la valeur de n après avoir entendu que A ne l'a pas reconnu.

Si n=3
n=(11)₂ et n=(10)₃ C va dire à A le nombre 2 et à B le nombre 2, A va penser que n=2 ou n=3
Si n=2 B va le déduire lorsqu'il va savoir que je ne connais pas la valeur de n sinon n=3.
B va penser que n varie de 3 jusqu'à 8
Si n=3 A va le déduire lorsqu'il va savoir que je ne connais pas la valeur de n après sa réponse.Sinon A ne peut pas le déduire.
Le cas de n=3 décrit complètement ce qui s'est pas dans l'énoncé donc la réponse est n=3
PS:Je n'ai pas cherché pour les cas de n≥4 mais je ne pense pas que A et B peuvent déduire la valeur de n.
Bonne nuit

 #14 - 10-11-2016 11:09:40

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Nombre e base 2 et 3

On écarte d’abord tous les nombres de départ comportant des nombres de chiffres en bases 2 et 3 identiques, car le nombre de départ ne serait alors pas unique. Il ne reste donc que les nombres de départ potentiels 1; 2; 3 et 8.
Au premier tour, A ne sait pas, ce qui élimine 1, et B ne sait pas non plus (mais sait que 1 est écarté), ce qui élimine 2. Au second tour, comme A sait, cela élimine 8 (sinon A ne saurait pas).
Il reste donc le nombre de départ 3 (validé par la case-réponse), mais à mon avis la quatrième et dernière phrase du dialogue est superflue.
Merci pour ce petit divertissement qui m’a rappelé une énigme similaire avec une somme et un produit que j’ai encore aujourd’hui du mal à comprendre.

 #15 - 10-11-2016 23:11:49

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 440

Nombbre en base 2 et 3

Voilà le temps est terminé smile
Bravo à tous, tout est bon!

La réponse est effectivement 3, pour les explications vous pouvez voir par exemple les explications de nodgim.

Bonne soirée,

Spirou


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