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 #1 - 11-02-2019 19:03:16

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 43

N clos pour une croûte

Bonjour,

Je découvre ce forum et « déshydrate » de vieux problèmes.
J’ai trouvé celui-ci, posé par Vasimolo il y a une petite éternité.

http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=5564

Constatant le niveau sur ce site, je suis étonné que la question du cas général n’ait pas été adressée. Ou alors j’ai loupé un truc (bien possible vu le nombre de problèmes).

Allons-y quand même…

La question est donc de savoir comment accrocher un tableau sur N clous de façon à ce qu'il se décroche dès qu'on enlève un seul des clous.
Le précédent problème donne la solution pour 2. Mais pour 3, 4,..N ?

Mon décorateur d’intérieur n’a pas trouvé.



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 #2 - 12-02-2019 17:32:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,174E+3

N clous pour unne croûte

Bonjour

Il y a une démonstration très savante par récurrence en utilisant des groupes libres .

Une solution à trois clous par exemple : x'y'zyxy'x'z'xy (  les lettres désignent les clous et le ' indique qu'on tourne dans le sens retro )  . On construit l'accrochage à n+1 clous à partir d'une solution s à n clous avec : szs'z' .

Vasimolo

 #3 - 13-02-2019 18:48:13

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 43

n clous pour une croûre

Bonjour

Réponse courte, efficace et juste.

Modulo le fait de considérer que si S est une solution à N clous, S’ correspond à une solution de type ‘miroir vertical’, où l’on inverse le sens de passage au-dessus de chaque clou (a devient a’), mais aussi l’ordre d'enchaînement des passages (ab devient ba).

Par exemple à deux clous, S = aba’b’ est une solution qui fonctionne. Alors S’ = bab’a’ fonctionne aussi. Et SS’ = badaboum. D’où le fait que (aba’b’)c(bab’a’)c’ fonctionne à 3 clous, et la récurrence marche bien.

Mais la méthode sent fort le 2^N en terme de nombre de passage au-dessus des clous (2^N +2^(N-1)+2, sauf erreur ou omission).

Du coup question subsidiaire : peut-on être plus économe en ficelle ?

Mon archi n’a pas trouvé ça non plus.

 

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