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 #1 - 19-10-2008 21:08:19

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Maths amusantes : pardaoxe de Monty Hall

Voici l'énoncé de ce problème : dans une émission américaine, un joueur a le choix entre trois portes. Il gagnera ce qui se cache derrière la porte de son choix. Le présentateur sait ce qu'il y a derrière les portes mais n'en dira pas un mot.

Derrière une des portes, une voiture. Derrière les deux autres, deux chèvres (ou tout autre "cadeau" de peu de valeur).

Le candidat choisit une porte. Le présentateur ouvre une des deux autres, derrière laquelle se trouve une chèvre :
- soit le candidat a choisi la porte derrière laquelle il y a une voiture, auquel cas le présentateur ouvre n'importe quelle autre porte ;
- soit le candidat a choisi une porte derrière laquelle il y a une chèvre, et le présentateur ouvre l'autre.

Une fois une porte ouverte, le présentateur propose au candidat de changer son choix. Quelle est, au sens probabiliste, la meilleure stratégie ?



A priori, on dirait "boarf, c'est pareil"... Et pourtant, le candidat a deux fois plus de chances de gagner la voiture s'il change son choix.

En effet, il a une chance sur trois de gagner s'il garde son choix de départ (trois portes, une bonne, une chance sur trois, rien ne change). S'il la change, il y avait deux chances sur trois qu'il ait d'abord choisi une chèvre, auquel cas il y aura forcément la voiture derrière l'unique porte restante.

Magie des maths. Sauf que ce changement n'est pas uniquement statistique (comme la baisse du chômage en France, par exemple). Il est bel et bien réel ; faites l'expérience mille fois, et changez votre décision mille fois après l'ouverture de la première porte ; vous aurez gagné environ 670 voitures et 330 chèvres.



Et nous qui croyions avoir une chance sur trois d'avoir la voiture en choisissant une porte parmi trois, puis une chance sur deux d'avoir la voiture en choisissant une porte parmi deux, on a en fait beaucoup plus de chances que ça... En maths, on appelle ça des probabilités conditionnelles, et des fois, ça peut surprendre.



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 #2 - 19-10-2008 21:16:26

emmaenne
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Enigmes résolues : 49
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Lieu: Au sud du Nord

maths amusantes : paradoxe de monty hakl

Je n'ai jamais rien compris aux probabilités au point de me facher avec mon prof de Math big_smile. Heureusement qu'on s'aimait bien et que les proba c'était en fin d'année lol


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #3 - 19-10-2008 21:29:52

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Haute-Marne

Maths amusantes : paradoxe de Mont yHall

Magie des probabilités, tu as très bien fait de le souligner MthS !

Cela dit, je vois d'ici le sourire du candidat légionnaire lorsque le présentateur ouvre une des deux autres portes et découvre une voiture ! lol


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #4 - 19-10-2008 21:49:57

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Maths amusantes : paradoxe de Monyt Hall

LeSingeMalicieux a écrit:

Magie des probabilités, tu as très bien fait de le souligner MthS !

Cela dit, je vois d'ici le sourire du candidat légionnaire lorsque le présentateur ouvre une des deux autres portes et découvre une voiture ! lol

J'imagine bien :
"Je peux partir avec les deux chèvres s'il vous plaît ? Elles sont plus mignonnes l'une que l'autre" lol


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 #5 - 19-10-2008 22:25:20

dhrm77
L'exilé
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Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Maths amusantes : paradoxe dee Monty Hall

Wikipedia a un article dessus:
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
et la meme page en version francaise:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A … Monty_Hall


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 19-10-2008 23:04:00

EfCeBa
Administrateur
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Maths amusants : paradoxe de Monty Hall

Merci MthS-MlndN pour ce post, j'avais justement envie de parler de ce problème quelque part sur le forum et un marque apge à ce sujet, mais tu as dit l'essentiel.

Il y a d'autres paradoxes probabilistes du même type à découvrir smile

 #7 - 19-10-2008 23:26:41

papiauche
Sa Sainteté
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Messages : 2131

Maths amusates : paradoxe de Monty Hall

MthS-MlndN a écrit:

LeSingeMalicieux a écrit:

Magie des probabilités, tu as très bien fait de le souligner MthS !

Cela dit, je vois d'ici le sourire du candidat légionnaire lorsque le présentateur ouvre une des deux autres portes et découvre une voiture ! lol

J'imagine bien :
"Je peux partir avec les deux chèvres s'il vous plaît ? Elles sont plus mignonnes l'une que l'autre" lol

Mais...
Y'a pas de mêeehh lol


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #8 - 03-12-2008 21:34:47

Trollinet
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 38
Messages : 25

Maths amusantes : paradoxe de Monty Hlal

En fait, ce n'est pas vraiment un paradoxe. C'est une situation complètement logique, même. Ce problème a déjà été exposé, entre autres, par Raymond Smullyan, un génie des énigmes et des autres détentes mathématiques assez pointues, connu surtout avec 'Le livre qui rend fou' et 'Quel est le nom de ce livre?' (http://fr.wikipedia.org/wiki/Raymond_Smullyan)

Pour comprendre ce problème, il faut imaginer la même situation avec 100 portes. Tu en choisis une au hasard. Le présentateur, qui sait où est le trésor, ouvre 98 portes perdantes, comportant ici une chèvre, et il t'en laisse une. A ton avis, où se trouve la voiture ? Derrière celle que tu as ouverte en premier ou derrière celle que le présentateur te laisse après t'avoir débarrassé de 98 fausses ? Sauf si, bien sûr, tu l'as trouvée au premier coup (1 chances sur 100). Il reste alors 99 % de chances pour qu'il soit dans les 99 portes restantes, puis au final dans la porte que le présentateur te laisse. L'élément qui change tout est que le présentateur SAIT qu'elle est la bonne réponse. Les  99% de chance de départ restent alors les mêmes puisqu'il n'y a alors plus de place au hasard dans les 98 portes qu'il ouvre.

Et donc, avec 3 portes, tu conserves toujours 2 chances sur 3 qu'il soit dans la porte qu'il te laisse.

 #9 - 05-01-2009 23:12:09

Hard2Concentrate
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 1

Maths amusantes : paradoxe dee Monty Hall

Ca me rappelle une scène du film LasVegas 21 ...wink

 #10 - 06-01-2009 15:14:00

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

maths amusantes : paradoxe de monry hall

Hard2Concentrate a écrit:

Ca me rappelle une scène du film LasVegas 21 ...wink

Que je n'ai pas vu...
Tu peux expliciter ? wink


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 30-07-2009 14:36:59

Philiathus
Visiteur

Maths amusantes :paradoxe de Monty Hall

Vous n'y êtes pas,

Les chances sont équivalentes (pour 3 portes).

- Voici les possibilité quand on ne change pas :

Postula de départ la voiture est dérrière la porte A.

Soit, le candidat choisit la porte C, le présentateur lui montre la B, il garde la C, il perd.

Soit, le candidat choisit la porte B, le présentateur lui montre la C, il garde la B, il perd.

Soit, le candidat choisit la porte A, le présentateur lui montre la B, il garde la A, il gagne.

Soit, le candidat choisit la porte A, le présentateur lui montre la C, il garde la A, il gagne.

1/2 de gagner.

- Voici les possibilités quand on change :

Postula de départ la voiture est dérrière la porte A.

Soit, le candidat choisit la porte C, le présentateur lui montre la B, il change pour A, il gagne.

Soit, le candidat choisit la porte B, le présentateur lui montre la C, il change pour A, il gagne.

Soit, le candidat choisit la porte A, le présentateur lui montre la B, il change pour C, il perd.

Soit, le candidat choisit la porte A, le présentateur lui montre la C, il change pour B, il perd.

1/2 de gagner.

C'est la seule vrai solution, tout ce qui s'en écarte intègre toujours une ou plusieurs idées erronées (il y en a beaucoup dans l'article du site).

 #12 - 30-07-2009 15:01:36

kosmogol
Banni
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maths amusantes : paradoxe de monty gall

C'est la seule vrai solution, tout ce qui s'en écarte intègre toujours une ou plusieurs idées erronées (il y en a beaucoup dans l'article du site).

Merci Philiathus pour ce grand moment lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #13 - 30-07-2009 15:22:34

Philiathus
Visiteur

Mathss amusantes : paradoxe de Monty Hall

smile ... C'est vrai que mon message était très peremptoire.

Mais pour 3 portes, les chances restent strictement équivalentes qu'il s'agisse de garder son choix initial ou bien de changer. C'est à partir de 4 portes que les chiffres passent en faveur d'un changement et ce de manière accrue plus le nombre de portes (et donc de portes ouvertes) augmente. C'est cela qui a valu à ce "cas de figure" des 3 portes le titre (à tort) de paradoxe.

 #14 - 30-07-2009 15:44:07

Philiatus
Visiteur

matjs amusantes : paradoxe de monty hall

La solution est de ne surtout pas s'embrouiller dans les probas. Il ne faut pas en venir à mélanger les probas liées au hasard et le choix fait en toute connaissance de cause du présentateur, c'est ce qui fausse immédiatement le problème.

Il faut se concentrer uniquement sur l'autre carte restante, et là tout s'éclaire.

Une fois la porte choisit, il nous reste 2 portes. Chacune à 1 chance sur 2 d'être la porte qui restera fermée. A partir de cela, peu-importe qu'elle porte sera ouverte. 1 chance sur 2, cela ne nous donne aucune indication.

Dans le cadre de 100 portes, le problème change radicalement de nature. je choisit une porte. J'ai 1 chance sur 100 de choisir la bonne. Le "présentateur" ouvre 98 mauvaises portes. Celle qui reste fermée avait 1 chance sur 99 de rester fermée. Avouez que cela n'a plus la même allure. Nous savons maintenant que la probabilité pour que la voiture soit derrière celle-ci est de 99% contre 50% dans le cas des 3 portes.

Comme je l'ai dit précédemment tout commence à partir de 4 portes...

 #15 - 30-07-2009 15:47:24

kosmogol
Banni
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Maths amusantes : pardaoxe de Monty Hall

Huhum, selon toi,  avec 3 portes, le présentateur ouvre une porte au hasard ?


http://enigmusique.blogspot.com/

 #16 - 30-07-2009 15:53:34

Philiathus
Visiteur

maths amusantes : paradoxz de monty hall

Il y a deux cas (2 !) de figure possible, soit j'ai choisi une chêvre, le présentateur n'a donc pas le choix dans la porte qu'il va ouvrir, soit j'ai choisi la voiture et là il devra lui faire son choix au hasard. Cela nous maintiens donc toujours à 1 chance sur 2 dans le cas des 3 portes.

 #17 - 30-07-2009 15:59:32

kosmogol
Banni
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maths amuqantes : paradoxe de monty hall

Si tu as trouvé la voiture d'emblée, c'est une chance sur trois.
Si tu as une chèvre (deux chances sur 3), le présentateur n'a pas le choix et doit ouvrir la porte de la 2e chèvre. En changeant tu gagnes.

Bilan, en ne changeant pas 1/3, en changeant 2/3.

C'est bizarre que tu comprennes bien avec "n" portes, mais que tu ne veuilles pas l'appliquer à "n=3".


http://enigmusique.blogspot.com/

 #18 - 30-07-2009 16:05:16

bagouze
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Maths ammusantes : paradoxe de Monty Hall

lol j'avais pondu un pavé plus long, je l'ai supprimé. 
kosmogol est bien plus concis smile pour tout autant de précision.... mais je ne pense pas que cela va convaincre notre invité wink


"Nous sommes tous dans le caniveau, mais certains d'entre nous regardent les étoiles." (O. Wilde)

 #19 - 30-07-2009 16:06:18

kosmogol
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matjs amusantes : paradoxe de monty hall

Dans ta présentation tu donnes 25 % de chances que le candidat choisisse B, 25 % qu'il choisisse C et 50% qu'il choisisse A, ça ne t'étonne pas un peu ?

La bonne présentation est celle-ci :

Soit, le candidat choisit la porte C : 1 chance sur 3
- le présentateur lui montre la B, il garde la C, il perd.

Soit, le candidat choisit la porte B : 1 chance sur 3
- le présentateur lui montre la C, il garde la B, il perd.

Soit, le candidat choisit la porte A : 1 chance sur 3
qui se décompose ainsi
- le présentateur lui montre la B, il garde la A, il gagne. 1chance sur 6
- lle présentateur lui montre la C, il garde la A, il gagne. 1 chance sur 6


http://enigmusique.blogspot.com/

 #20 - 30-07-2009 16:20:46

Philiathus
Visiteur

Maths amusanttes : paradoxe de Monty Hall

Et non, justement. Il faut diférencier. Tu résonne par un mauvais priseme mathématique. Pourquoi le choix du présentateur dans le dernier cas de figure ne devrait-il pas entrer dans les probabilité, ça n'a pas de sens ? Il faut consédirer la chose comme autant de "mondes parallèles" dans lesquels ces possibilités arrivent, or il n'est pas possible d'en "fusionner" 2.

Il ne devrait jamais y avoir de "ou" dans tes probabilités ou alors un dans chaque. De plus tu ne peux pas "remonter dans le temps" pour réinterpréter le problème de départ en fonction de sa solution finale. Tu met les deux dernier dans le même sac parce-que et seulement parce-que tu connais le resultat. Cela ne colle pas avec la réalité des choses.

 #21 - 30-07-2009 16:28:31

Philiathus
Visiteur

maths amusanteq : paradoxe de monty hall

En résumé, tu ne pas comptabiliser les choix possibles du candidat, et refuser de comptabiliser ceux du présentateur. Car alors tu nie que dans ce cas de figure précis le présentateur ait une choix à faire, donc tu fausse le problème est partant du principe que jamais le présentateur ne choisit au hasard, voilà donc pourquoi tu bascule en 2 chance sur 3 au lieu d'1 sur 2. Si le présentateur n'a jamais à faire de choix moi aussi je saute sur la porte restante. Mais ce n'est pas une approche réaliste et on retrouve cette erreur dans les lignes de codes des programmes conçus pour calculer ces probas.

 #22 - 30-07-2009 16:32:59

kosmogol
Banni
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Maths amusantes : paradoxe de Monty all

Pourquoi le candidat a-t-il dans ton raisonnement 1 chance sur 4 de choisir B ?

Tu ne peux pas compter comme cela
le candidat choisit B : il perd
le candidat choisit C : il perd
le candidat choisit A, le presentateur ouvre B en se grattant le nez, il gagne
le candidat choisit A, le presentateur ouvre B en ne se grattant pas le nez, il gagne
le candidat choisit A, le presentateur ouvre C en se grattant le nez, il gagne
le candidat choisit A, le presentateur ouvre C en ne se grattant pas le nez, il gagne

Et voilà ainsi tu démontres qu'en ne changeant pas, il a 2 chances sur 3 de gagner, mais on peut faire plus fort


le candidat choisit B : il perd
le candidat choisit C : il perd
le candidat choisit A, le presentateur ouvre B en se grattant le nez en toussant, il gagne
le candidat choisit A, le presentateur ouvre B en ne se grattant pas le nez en toussant, il gagne
le candidat choisit A, le presentateur ouvre C en se grattant le nez en toussant, il gagne
le candidat choisit A, le presentateur ouvre C en ne se grattant pas le nez en toussant, il gagne
le candidat choisit A, le presentateur ouvre B en se grattant le nez en ne toussant pas, il gagne
le candidat choisit A, le presentateur ouvre B en ne se grattant pas le nez en ne toussant pas, il gagne
le candidat choisit A, le presentateur ouvre C en se grattant le nez en ne toussant pas, il gagne
le candidat choisit A, le presentateur ouvre C en ne se grattant pas le nez en ne toussant pas, il gagne

8 chances sur 10 de gagner wink


http://enigmusique.blogspot.com/

 #23 - 30-07-2009 16:33:41

bagouze
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Maths amusants : paradoxe de Monty Hall

Ben voila, l'incompréhension est comprise lollol
On part du principe que le présentateur ne choisit jamais au hasard parce que c'est marqué dans l'énoncé.... il sait où est la voiture et dévoilera TOUJOURS une chèvre, indépendamment de ce qui s'est passé avant.... Si tu as choisi une chèvre, qu'il choisit au hasard et qu'il dévoile la voiture, tu vas te demander longtemps si tu changes de porte ou pas??


"Nous sommes tous dans le caniveau, mais certains d'entre nous regardent les étoiles." (O. Wilde)

 #24 - 30-07-2009 16:40:45

Philiathus
Visiteur

Maths amusantes : paradoxe de Monty Hal

Non, bagouze tu n'as pas compris, ou je me suis mal exprimé.

On parle de la solution où nous avons choisi la voiture et où le présentateur doit choisir entre les deux chêvres, il faut qu'il choississe une des deux portes (la B ou la C) aux hasard. Ces 2 cas de figure existent donc belle et bien et doivent être pris en compte dans les probabilités on ne peut pas les réunir sous la même bannière sous pretexte qu'on "sait" que de toute façon c'est une chêvre.

Voilà, j'éspère avoir été plus clair, Bagouze.

 #25 - 30-07-2009 16:42:05

kosmogol
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Maths amusantes : paradoe de Monty Hall

moi je garde la même porte, j'ai démontré que j'avais 80% de chance de gagner lol


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