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 #1 - 08-10-2009 11:13:24

Enelya!
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 13
Messages : 117

Jeu des lalumettes (Multi difficulté).

Bonjour tout le monde.
Me revoilà avec une nouvelle énigme.
Vous devez tous connaitre le jeu des allumettes.

http://nezumi.dumousseau.free.fr/im10/nimsy.jpg

Règles de jeu
    * Le perdant est celui qui retire la dernière allumette du jeu
    * Il faut retirer au moins une allumette à chaque tour
    * Vous ne pouvez retirer des allumettes que dans une seule colonne à chaque tour

Question 1 :
Mieux vaut il commencer ? Pourquoi ?

Question 2 :
Comment toujours Gagner ? Qui doit commencer pour Gagner à tout les coups ?

Question 3 (Pour les Matheux) :
Quel est l'algorithme pour toujours gagner ? L'expliquer.

Question 4 (Pour les Très Gros Matheux) :
Adapter cette algorithme en fonction du nombre de ligne. Sachant que pour chaque ligne en plus, 2 allumettes sont rajouter.



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 #2 - 08-10-2009 11:25:05

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 792

Jeu des allumettes (Multi diffiuclté).

Bonjour Enelya!

Je suis curieux de connaitre ces fameux algorithmes. Le jeu de nim (ou jeux des allumettes) est un classique pour gagner à cette version du jeu, quel que soit le nombre de lignes et le nombre d'allumettes, on m'a appris la technique du "ou exclusif". Le principe est de laisser à l'adversaire, à chaque tour une position telle que la multiplication binaire (xor) fasse 0.

1 - dans cette configuration il faut jouer en second car 1 xor 3 xor 5 xor 7 = 0
2 - retirer les allumettes de manière à ce que le résultat soit toujours 0 pour l'adversaire.
3 - ?
4 - ?

 #3 - 08-10-2009 13:57:23

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Jeu des allumetttes (Multi difficulté).

Tiens, je connais le jeu avec 3,5 et 7 allumettes, et non pas 1, 3, 5 et 7.
Il suffit d'etendre un peu l'ensemble des combinaisons gagnantes du jeu avec 3, 5, 7 pour obtenir celles avec 1, 3, 5, 7.
Pour gagner il suffit:
Spoiler : [Afficher le message]
De laisser a son adversaires une des combinaisons:
1
2-2
3-3
4-4
5-5
1-1-1
1-2-3
1-4-5
2-4-6
3-5-6
3-4-7
2-5-7
1-1-2-2
1-1-3-3
1-1-4-4
1-1-5-5
1-2-4-7
1-3-4-6
1-3-5-7

l'algorythme, c'est simple:
Spoiler : [Afficher le message]  il faut toujours laisser a son adversaire une combinaison perdante.
Une telle combinaison se définit comme suit:
- il n'est pas possible d'enlever un nombre autorisé d'allumette a partir de combinaison perdante et d'arriver a une autre combinaison perdante.
En d'autre mots, il faut laisser une combinaison d'allumettes a son adversaire qui lui force apres avoir joué son tour a nous laisser une autre combinaison gagnante, qui elle-meme nous permet de lui laisser la combinaison perdante suivante, l'ultime combinaison perdante étant une seule allumette.

Puisque la combinaison de depart est une combinaison perdante, il vaut mieux ne pas commencer.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #4 - 09-10-2009 22:32:04

VanSS
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 31

Jeu des allumettes (Multi difficultéé).

Notons k la hauteur de la colonne centrale

Le joueur qui commence gagne (pour peu qu'il joue convenablement) quelque soit la hauteur de la pyramide sauf si k=1 bien sur

si k=2, le futur gagnant supprime 1 allumette de la colonne centrale, il reste alors 3 allumettes seules dans des colonnes différentes. Les joueurs jouant à tour de role, celui qui prend la premiere allumette restante perd, cela tombe bien puisque c'est au tour de l'adversaire.

si k>2, le futur gagnant supprime entierement la colonne centrale, il reste alors 2 colonnes de chaque hauteur entre 1 et k-1, on les associe par paire. Chaque fois que l'adversaire joue dans une colonne, on regarde la colonne associée :

-si il existe encore plusieurs colonnes de hauteur > 1, on fait exactement la même manipulation que l'adversaire sur la colonne associée.

-si c'est la derniere colonne de hauteur > 1, on y laisse juste une allumette si l'adversaire a entierement supprimé sa colonne et on la supprime entierement si l'adversaire a laissé une allumette (il n'a pas pu en laisser plus puisque c'est la derniere colonne de hauteur >1)

A la fin il ne reste normalement que des allumettes seules dans un nombre impair de colonnes, comme c'est à l'adversaire de jouer, il va perdre.

 #5 - 11-10-2009 13:17:01

VanSS
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 31

Jeu des allumettes (Multi difficulté)

Je suis surprise par vos réponses, j'avais également commencé par une liste de combinaisons perdantes mais pour moi celle donnée n'est pas exhaustive.

Par ex si 3-3 et 1-1-1 et 1-2-3 sont perdant (et je suis d'accord) alors  1-3-3-1 l'est aussi.
En effet dans 1-3-3-1
Si l'adversaire choisit une allumette seule, je choisis l'autre allumette seule et il retombe sur 3-3 qui on l'a vu est perdant.
Si l'adversaire choisit une allumette de la colonne 3 alors je choisis une allumette seule et il retombe sur 1-2-3 qui est perdant
Si l'adversaire choisit 2 allumettes de la colonne 3 alors je choisis de supprimer l'autre colonne 3 entierement et il retombe sur 1-1-1 qui est perdant.
Si l'adversaire supprime entierement la colonne 3, je supprime 2 allumettes de l'autre colonne 3 et il retombe sur 1-1-1.

On peut se convaincre de la meme maniere que 2-3-3-2 puis 1-2-3-3-2-1 est perdant ce qui revient à la combinaison initiale où la colonne centrale a été supprimée.

En fait je pense qu'il existe plusieurs strategie gagnante, dans l'exemple precedent je n'applique pas l'algorithme que j'ai proposé mais j'aurais pu avec l'hypothese que 1-2-2-1 est perdant et c'est le cas. J'espere vous avoir convaincu mais si ce n'est pas le cas j'aimerais bien savoir où je me trompe.

 #6 - 12-10-2009 00:35:22

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Jeu des allumettse (Multi difficulté).

Relis ma liste.. si je n'ai pas fait d'erreur elle est exhaustive pour 1-3-5-7.
1-3-3-1 ou 3-3-1-1 sont identiques a 1-1-3-3.
Je liste juste les nombres dans l'ordre croissant.

2-2-3-3 est effectivement perdant, mais pas faisable a partir de 1-3-5-7.


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 #7 - 12-10-2009 00:51:27

VanSS
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 31

jeu des aklumettes (multi difficulté).

Je vois ce qui ne va pas, on a pas compris le probleme dans le meme sens, pour moi, la situation intiale est 1 2 3 4 3 2 1 puisqu'on doit retirer des alumettes par colonne. La situation initale que tu decris 1 3 5 7 correspond aux lignes.

 #8 - 12-10-2009 03:28:35

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Jeu des allumettes (Multi difficuté).

EfCeBa a écrit:

on m'a appris la technique du "ou exclusif". Le principe est de laisser à l'adversaire, à chaque tour une position telle que la multiplication binaire (xor) fasse 0.

Je ne pense pas que cette technique marche puisque entre autres:
1-1 est une combinaison gagnante alors que 2-2 est perdante.
a l'inverse, 1-1-1 est perdante, mais ne reponds pas au principe du ou exclusif.


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 #9 - 12-10-2009 03:31:32

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Jeu des aallumettes (Multi difficulté).

VanSS a écrit:

Je vois ce qui ne va pas, on a pas compris le probleme dans le meme sens, pour moi, la situation intiale est 1 2 3 4 3 2 1 puisqu'on doit retirer des alumettes par colonne. La situation initale que tu decris 1 3 5 7 correspond aux lignes.

Effectivement, comme je connais tres bien ce jeu avec 3 tas de depart de quantité 3, 5 et 7, j'ai supposé que Enelya! avait voulu dire ligne au lieu de colonne.


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 #10 - 12-10-2009 09:17:51

Enelya!
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 13
Messages : 117

jeu des aklumettes (multi difficulté).

Effectivement je voulais dire ligne :s J'ai pas vérifié les lignes de wiki ^^
Pour ce qui veulent se renseigner, le jeu s'appelle jeu de "marienbad".
Féllicitation à EfCeBa, dhrm77, et désolé de la faute VanSS. Je pense que tu l'aurais résolue facilement.

Mais une partie de vos algos est incomplète...
Si je suis dans une position 2 0 qui est une position gagnante, avec votre technique, je perds non ?

Quelles aurait été les solutions si ça avait été 1 3 5 7 9 11 ? Et ainsi de suite ?

 

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