Au début, on considère que personne n'a serré la main de personne.

Appelons P l'ensemble de ceux qui ont serré la main à un nombre pair de personnes (au début : tout le monde, car 0 est pair), I l'ensemble de ceux qui ont serré la main à un nombre impair de personnes (initialement, I est vide).

Si deux personnes de P se serrent la main, elles vont toutes deux dans I. Si deux personnes de I se serrent la main, elles vont toutes deux dans P. Si une personne de I et une personne de P se serrent la main, elles échangent leurs places. Dans tous les cas, la parité du cardinal de P et celle du cardinal de I restent les mêmes.

Vu que le cardinal de I était au départ 0, il sera toujours pair.

Jusqu'au moment où quelqu'un de I meurt, et là t'as l'air idiot

Une poignée de mains est composées de deux demi-poignées, une pour chaque participant. Il y a évidemment un nombre pair de demi-poignées pour la population mondiale.

Il y a deux catégories de donneurs de poignées de mains :
- ceux qui ont serré un nombre pair de mains : ils totalisent un nombre pair de demi-poignées ;
- ceux qui ont serré un nombre impair de mains.

Si ces derniers étaient en nombre impair, ils totaliseraient un nombre impair de demi-poignées et le total général serait impair. C'est absurde : le contraire est donc la réalité.

Quoique... si l'un des protagonistes meurt au moment du serrage de paluches, faut-il compter une ou deux demi-poignées ?

@Seanbateman
Oui moui on peut voir les choses comme ça , un exemple n'est jamais suffisant quand il sagit de démontrer mais tout début de réponse est la bienvenue.

                                                                                                        Shadock

Démo rapide : A chaque poignée de mains, deux personnes se serrent la main. Si on additionne pour chaque individu leur nombre de poignées de mains (données ou reçues), on a donc un nombre pair. Comme le nombre de poignées de mains qu'on peut dénombrer chez ceux ayant serré un nombre pair de mains est une somme de nombre pairs, donc forcément pair, alors son complémentaire, à savoir le nombre de poignées de mains qu'on peut dénombrer chez ceux ayant serré un nombre impairs de mains est pair aussi. Or pour obtenir une somme paire avec uniquement des opérandes impaires, il faut qu'il y en ait un nombre pair.


Pour le fun
Allez, soyons original, je vais tenter une démo sans utiliser ni ensemble, ni un raisonnement par l'absurde (juste pour dire que j'ai lu les spoilers par curiosité mais que je sus adepte du "pourquoi faire simple?" )

Bon, on va tenter une récurrence.
Pour un monde où personne n'a jamais échangé la moindre poignée de mains, le nombre de personnes ayant serré la main à un nombre impair de personnes est 0, qui est pair.
Supposons qu'après N poignées de mains à travers le monde, un nombre pair de personnes ont serré la main à un nombre impair de personnes.
A la poignée de mains suivante entre deux individus A et B, on a 3 cas possibles

* A et B avaient tous deux serré la main à un nombre impair de personnes. Du coup, après leur poignées de mains, ils ont serré la main à un nombre pair de personne, mais ceux qui ont serré la main à un nombre impair de personnes sont désormais 2 de moins, mais toujours en nombre pair (d'après l'hypothèse de récurrence)

* A (resp. B) avait serré la main à un nombre impair de personnes, mais pas B (resp. A). Du coup, après leur poignées de mains, A a serré la main à un nombre pair de personnes et B à un nombre impair, donc ceux qui ont serré la main à un nombre impair de personnes sont autant qu'auparavant, soit toujours en nombre pair (d'après l'hypothèse de récurrence)

* A et B avaient tous deux serré la main à un nombre pair de personnes. Du coup, après leur poignées de mains, ils ont serré la main à un nombre impair de personne, et ceux qui ont serré la main à un nombre impair de personnes sont désormais 2 de plus, mais toujours en nombre pair (d'après l'hypothèse de récurrence)

CQFD

C'est une question de parité.
n poignées de main impliquent 2n mains au total
Les personnes qui ont serré un nombre pair de fois contribuent pour un nombre de mains total pair.
Ceux qui en on serré un nombre impair contribuent pour le nombre de mains restant soit un nombre pair car différence de deux pairs.
Hors une somme de nombres impairs est paire ssi il y a un nombre pair de nombres.

Sinon par récurrence.

1) Si il n'y a qu'une seule poignée de main échangée alors il y a deux personnes qui ont échangé une poignée de main et les autres 0.
On a donc un nombre pair de personne
2) Sinon, supposons que nous avons n poignées échangées avec un nombre pair de personne qui ont échangé un nombre impair de poignée.
Une n+1 eme poignée de main est échangée. 
Suivant le passé des poignées des personnes, le nombre de personne ayant échangé un nombre impair de poignée diminue de 2, augmente de 2 ou ne bouge pas. Donc il reste pair

Normalement une personne serre la main à une autre personne, je veux dire une à la fois, ce qui fait un nombre impair de personnes (une) qui serre la main à un nombre impair de personnes (une) 

Mais, tout peut arriver ....

Bravo à tous et merci, voici une version de raisonnement par l'absurde:

Soit I l'ensemble des personnes ayant serré la main un nombre impair de fois. S'il y en avait un nombre impair, alors cela représenterait un nombre impair de poignées de main. (Il y aurait un nombre impair de poignées de main échangées par les personnes du groupe I). Or les personnes qui ne sont pas dans I (appelons-les le groupe P) ont serré la main chacun un nombre pair de fois et donc pour l'ensemble du groupe un nombre pair de fois. Alors si l'on calcule le nombre total de poignées de main dans le monde (celles du groupe I plus celles du groupe P), on obtient un nombre impair de poignées de main. Or c'est impossible car une poignée de main étant faite par deux personnes, on doit avoir un nombre pair au total !
Par l'absurde, il y a donc un nombre pair de personnes dans I.

Quod erat demonstratum (QED) plus rapide que CQFD
                                                                                                    Shadock

Tu t'es donc en quelque sorte serré deux fois LA main ce qui ne fait rien capoter.