Si les cartes sont numérotés de 0 à 6, il suffit à Anne de donner la somme de ses cartes et à Bob de faire de même.
En effet, la somme de toutes les cartes moins la somme des cartes en mains de X moins la somme annoncée par Y donne la somme des cartes en mains de Z. Si Z est Gargamel, il n'y a qu'une carte à sommer et elle est donc identifiée.

Mon problème est que l'énoncé ne dit pas que les cartes sont sommables ni même qu'elles sont connues par tout le monde (ce qui permettrait de leur attribuer un numéro et de les rendre sommables).

Pour simplifier, supposons que les cartes sont réparties ainsi :

Anne : 1,2,3
Bob : 4,5,6
Gargamel : 0

Le "ou" utilisé dans la suite n'est pas exclusif.

Anne dit :
"J'ai : (1 ou 4 ou 5) ET (1 ou 6 ou 0)
ET (2 ou 4 ou 6) ET (2 ou 5 ou 0)
ET (3 ou 4 ou 0) ET (3 ou 5 ou 6)"

Bob dit :
"J'ai : (4 ou 1 ou 2) ET (4 ou 3 ou 0)
ET (5 ou 1 ou 3) ET (5 ou 2 ou 0)
ET (6 ou 1 ou 0) ET (6 ou 2 ou 3)"

Preuve :

Bob ayant 4,5,6, quand Anne dit :
(1 ou 4 ou 5), il sait qu'elle a la 1
(2 ou 4 ou 6), il sait qu'elle a la 2
(3 ou 5 ou 6), il sait qu'elle a la 3
Il connait donc son jeu.

Raisonnement analogue pour que Anne sache quelles cartes a Bob.

Gargamel sait juste que des mains possibles pour Anne, comme pour Bob, sont 1,2,3 et 4,5,6, mais pas qui les a.

Aucune carte de 1 à 6 n'est donc placée avec certitude par Gargamel, puisque selon lui, l'un comme l'autre peuvent l'avoir.

Pour l'instant une seule bonne réponse, celle de Toni, mais on peut faire bien plus concis... Je vais devoir rallonger le délai...

Anne : mon total fait 5
Bob : mon total fait 11

Deux réponses parfaites: Toni et gwen... Bravo!
Un indice: en fait un seul mot suffit s'ils ont pu
discuter avant de donner les cartes.

Essai n° 1 : Echec :s
(((((((((("as" était le paquet.
distribution d'as à tout le monde.
Suffit de dire la couleur de chaque as , avec un message codé connu seulement par "Anne" et " Bob".
Exemple:

Début de partie :
As à tous, paquet truqué.
Anne: J'ai que des jasmin 2pique , un trèfle
Bob: Pour ma part , j'ai que des jasmins 1coeur, 1carreau et un trèfle
Gargamel: ...

))))))))))
Essai n°2

  Paquet normal , sans joker ( je présume) .
Il faut que Anne dit une phrase en fonction de ses cartes, et des cartes de Bob, sinon Gargamel comprend.
Donc, Anne et Bob ont des cartes en commum , je présume.
Disons que :Anne a 7♥(coeur) , 10♦(carreau) et roi de ♠(pique)
                 :Bob a 8♣(trèfle) , 7de ♦(carreau) et dame de ♠(pique)
                 :Et Gargamel , le 2 de ♦ (carreau).

Si Anne et Bob ont aucun moyen de voir les cartes adverses , et que c'est 2 personnes différentes , les cartes ne sont pas dévoilés en paroles, ou Gargamel comprenderais.

Soit, conclusion:

-Soit Anne et Bob sont la même personne
-Soit ils ont truqués les cartes
-Soit le paquet est truqué.

La solution 1 est la seul possible ...

Donc Anne = Bob , c'est ses 2 prénoms.

Ou, Anne montre ses cartes discretement a Bob, demandant a Gargamel d'aller chercher quelque chose pour détourner  l'attention, et inversement.

Disons qu'Anne a les cartes : 0, 1 et 2
Que Bob lui dispose des cartes : 3, 4 et 5
Et Gargamel la carte : 6

Anne annonce : J'ai deux cartes impaires et la carte 2
Bob lui annonce : J'ai deux cartes impaires et la carte 4

Anne sait donc que Bob a 3, 4 et 5 étant donné qu'il a annoncé avoir la carte 4 et deux cartes impaires (elle a les deux autres)

Bob sait donc que Anne a 0, 1 et 2 étant donné qu'elle a annoncé avoir la carte 2 et les deux cartes impaires (il a les deux autres)

Donc si Bob et Anne annonce s'ils ont deux cartes paires ou impaires en fonction de l'exemple, ainsi que la nature de la restant, à l'aide de leurs mains respectives ils savent le jeu du second sans que Gargamel ne puisse en être informé.

EDIT : Cette réponse, cette solution, aussi brillante soit elle, n'est pas bonne, je viens de me rendre compte que Gargamel ne doit connaître avec certitude aucune des cartes des deux autres. Je m'y remet. De plus, si ils ont trois cartes paires ou impaires, ça ne marche plus. Mais quand même, pas mal ma solution.

Ce problème, appelé "(3,3,1)-Russian cards problem" aurait été soulevé la première fois dans un article d'un certain Thomas Kirkman de 1847 : "On a problem in combinations. Camb. and Dublin Math. J., 2:191-204". Il a été généralisé ((n,n,1) : n cartes pour Anne et Bob, 1 pour Gargamel) dans H. van Ditmarsch. The russian cards problem. Studia Logica, 75:31-62, 2003 (ce dernier article est ma source).

Bien qu'ancien, il semble assez peu connu (on m'a dit qu'il est ré-apparu lors d'olympiades mathématiques mais je n'en ai pas retrouvé la trace encore).

Félicitations à Gwen et à Toni qui ont trouvé la solution la plus satisfaisante : Anne et Bob annoncent la somme de leurs cartes modulo 7 (juste un nombre entre 0 et 6, un seul mot suffit s'ils se sont mis d'accord avant).

Bravo quand même à à ceux et celles qui ont pensé à communiquer la somme de leurs cartes, ils/elles ne sont pas loin.

Une mention "Je plane" pour .:|lulunew|:.

Et un grand merci à tous et toutes !

En effet, soit a la somme modulo 7 d'Anne, b celle de Bob et g la carte de Gargamel, on a :
  - (0+1+...+6) mod 7 = 0, les 3 le savent;
  - (a+b+c) mod 7 = 0, ça aussi tout le monde le sait;

Si Anne annonce a, alors Bob n'a plus qu'à calculer (maintenant qu'il connaît a et b) : c = (6 - (a+b)) mod 7, et comme Gargamel n'a qu'une carte, la solution est unique. Anne en fera autant après que Bob aura annoncé b.

Est-il sûr pour autant que Gargamel ne soit jamais en mesure de connaître une cartes de l'un des deux autres ?

Soit (x1,x2,x3) les cartes d'Anne, (x4,x5,x6) celles de Bob et x7 celle de Gargamel, il faut s'assurer que sans changer la carte de ce dernier, Anne et Bob pourraient avoir d'autres mains sans aucune carte systématiquement communes avec celles qu'ils ont et avec la même valeur de somme modulo 7 (si les cartes d'Anne peuvent être uniquement (1,2,4) et (0,2,5) Gargamel saura qu'Anne possède le 2).
La vérification est fastidieuse, et a été faite (dans l'article source) par un programme pour les cas où n est compris entre 3 et 8, et a été démontrée pour les valeurs de n supérieures à 8. Les généralisations aux cas où Gargamel a plus d'une carte sont un problème ouvert.

Voili, voilou.

Gasole.

PS1 : le problème (2,2,1) n'admet pas de solution aussi simple !!!
PS2 : pourquoi Gargamel et pas un épagneul breton appelé Catherine ? Voir le texte de P. Desproges : "Basse fosse"

Bon , j'étais à un modulo de la réponse... Une question, pourquoi modulo 7 ? parce qu'il y a 7 cartes ou parce que la somme des valeurs est 21 ?
Je découvre le modulo et ses règles de calculs...

Merci pour la réponse, je me coucherai moins bête ce soir je ne connais pas le problème des 100 chapeaux mais je vais chercher pour voir de quoi il s'agit.