Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 31-03-2011 23:34:57

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Axu champs

Pierre a légué à ses 5 enfants un terrain carré qui contient un étang carré. Avant de mourir, il dit à ses enfants que l'aire totale de la partie cultivable de son terrain est 216 ares. Les enfants se partagent le terrain en 5 parcelles d'aire égale, un chêne O étant le sommet commun aux 5 parcelles. Rémi, le fils aîné, possède le terrain où se trouve l'étang. Il veut clôturer le long des côtés HC et IC.
Quelle est la longueur totale de la clôture sachant que HC=IC ?

(N.B. L'unité principale est le décamètre et les longueurs AB, EC et HC sont des nombres entiers de décamètres)

http://nsa26.casimages.com/img/2011/03/31/110331113753626832.jpg



Annonces sponsorisées :

C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 31-03-2011 23:50:37

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

AAux champs

ABCD est un carré de côté 15 décamètres
Le point O est à 6 décamètres des côtés AB et AD.
L'étang est un carré de côté 3 décamètres.
Chaque fils a reçu 45 ares.
Et la clotûre mesure 2 fois 5 décamètres, soit 10 décamètres.

Démo
L'aire cultivable est l'aire du grand carré moins celle de l'étang.
Soit [latex]AB^2-EF^2=216[/latex]
[latex](AB-EF)(AB+EF)=2^3.6^3[/latex] (1)

On doit aussi respecter la contrainte que l'air de la parcelle de Rémi est plus grande que la surface de l'étang. Et la parcelle de Rémi mesure un 1/5 de l'air du grand carré.

[latex]\frac{AB^2}5 > EF^2[/latex] (2)

On n'a plus qu'à parcourir les diviseurs de 216.
AB-EF < AB+EF, donc on n'a qu'à tester les diviseurs 2,3,4,6,8,9,12 pour AB-EF.

Si AB-EF=2 alors AB+EF=108
AB=55 et EF=53 : (2) n'est pas respecté

Si AB-EF=3 alors AB+EF=72
AB et EF ne seraient pas entiers

Si AB-EF=4 alors AB+EF=54
AB=29 et EF=25 : (2) n'est pas respecté

Si AB-EF=6 alors AB+EF=36
AB=21 et EF=15

Si AB-EF=8 alors AB+EF=27
AB et EF ne seraient pas entiers

Si AB-EF=9 alors AB+EF=24
AB et EF ne seraient pas entiers

Si AB-EF=12 alors AB+EF=18
AB=15 et EF=3 : ouf, condition (2) respectée, ça tombe bien, c'était le dernier diviseur à tester ...

On en déduit que l'aire totale du carré vaut 225 ares, et l'étang a une aire de 9 ares.
Chaque fils a donc hérité d'une surface de 45 ares.
Le chêne est donc situé à 6 décamètres des côtés AB et AD (on calcule la hauteur à partir de l'aire et d'un côté)
Le chêne est donc situé à 9 décamètres du côté CD, et connaissant l'aire de la parcelle, on trouve que DI=10 décamètres.
Même raisonnement pour BH=10 décamètres.
On en déduit HC=IC=5 décamètres smile

 #3 - 01-04-2011 00:02:51

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Aux camps

Aucun problème pour L00ping ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 01-04-2011 00:30:58

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

uAx champs

A vue d'oeil et en partant du postulat que l'étang fait 3x3 pour arriver à un carré (225=216+3x3) je dirais HC+IC = 10 dam

 #5 - 01-04-2011 07:42:00

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

aux vhamps

L'étang fait 3x3 dam.
AB=BC=CD=DA=15 dm, surface totale 216+9=225 dam²
Chaque fils obtient 216/5=43.2 ares
O est à 43.2*2/15=5.76 dam de AD, et 9.24 dam de BC
BH=43.2*2/9.24)=9.35 dam
HC=15-BH=5.65 dam
Et la clôture fait le double, soit 11.30 dam.

 #6 - 01-04-2011 13:27:08

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

aux chalps

Je note que OD=OI=OH=OB.

En supposant F milieu de IH, alors DI=IH=HB. Avec c le côté de l’étang, alors DC=4c.

L'aire totale est 16c² et seulement 15c² pour les terres arables ce qui donne c=120m. La clôture HCI mesure donc 48 décamètres.

Erreur détectée!! 216 ares = 21 600 m² et non 216 000 m² J'ai une excuse big_smile ici les surfaces sont en acres = 4000 m² d'où le mélange de pinceaux.

15c²=21600 => c²=1440 donc 4c = 15 décamètres à peu prés ce qui est la longueur de la clôture.


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 01-04-2011 15:25:45

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

auc champs

Je suis un peu surpris car Franck et Halloduda trouvent deux résultats complètement différents, dans un rapport de près de 1 à 4 !!!
L'énoncé aurait-il un défaut de compréhension... ?


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #8 - 01-04-2011 20:10:21

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

aux chamos

Eureka
Le partage en 5 parties d'aire égale ne porte pas sur la partie cultivable mais sur l'ensemble, Rémi aura donc 9 ares cultivables de moins que ses frères.

L'étang fait 3x3 dam.
AB=BC=CD=DA=15 dm, surface totale 216+9=225 ares.

Le triangle OCH représente une demi part, OHB une part.
Donc HC=HB/2=BC/3=5 dam

Et la clôture fait le double, soit 10 dam.

 #9 - 01-04-2011 22:01:42

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2124

aux xhamps

Allons-y

216+9 = 225

donne

EC = 3
AB = 15

225/5= 45 = 5*9 =aire ODI

Si J est le milieu de DI, on a:

OJ = 9
IJ = 5

par calcul de l'aire de ODI que je suppose isocèle.

donc DI = 15 -10 = 5


Pythagore donne OI = sqrt(81+25) = sqrt (106) mais ce calcul est inutile big_smile


Pour finir la longueur recherchée est 2*5  soit 10 dam.

P.S. j'ai bien 53^2+216=55^2

mais 55*11 = 605 ne me donne pas de calcul remarquable pour OJ*JI

Et hop!


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #10 - 01-04-2011 22:03:44

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Aux champps

Je me demande encore pourquoi il n'y a que L00ping qui trouve la même solution que moi... roll


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #11 - 03-04-2011 16:27:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

ayx champs

En remarquant que l'aire rouge est égale à l'aire jaune et à deux fois l'aire verte+bleue on trouve les dimensions :

http://img218.imageshack.us/img218/2552/etangw.jpg

Comme l'aire cultivable fait 216 ares : 225 a² - x² =216 c'est à dire a = 1 et x = 3 . Ce qui donne une clôture de 2(x+y)=10 dam .

Sauf erreur smile

Vasimolo

 #12 - 03-04-2011 20:58:16

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

AAux champs

A premiere vue, il manque un element important: la taille absolue ou relative de l'etang...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #13 - 04-04-2011 19:15:18

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

auc champs

Chaque héritier a droit à 43.2 ares.
Le coté du carré est > à racine de 216 = 14.7.
Comme il est entier, imaginons que ce soit 15.
L'étang a alors une surface de 225-216 = 9 dam², donc 3 dam de côté.
(Tient ! un entier, ça ne se présente pas pas trop mal. smile )

La hauteur O-AB vaut alors 2*43.2/15 = 5.76 dam, et la hauteur O-BC, 9.24 dam.
Le côté BH vaut 2*43.2/9.24 = 9.351, soit HC = 5.649 dam
(M...ince ! ce n'est pas un entier ... sad )

Imaginons alors que ce soit 15.
L'étang a alors une surface de 256-216 = 40 dam², donc 6.325 dam de côté.
(Bah ! ce n'est pas un entier, tant pis neutral )

La hauteur O-AB vaut alors 2*43.2/16 = 5.4 dam, et la hauteur O-BC, 9.6 dam.
Le côté BH vaut 2*43.2/9.6 = 9, soit HC = 7 dam
(Chouette ! ce est un entier big_smile )

Si j'ai bien compris, la longueur à cloturer doit être de 14 dam.

Voilà un beau petit problème, pas trop compliqué, donc à ma portée. smile

 #14 - 04-04-2011 22:14:20

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

aux champd

La surface cultivable est : AB² - EC² = (AB+EC)(AB-EC) = 216

Prenons X=AB+EC et Y=AB-EC alors XY=216 avec X et Y entiers.
On en déduit par addition X+Y=2AB

On remarque que 216 = 2x2x2x3x3x3
Les couples (X,Y) possibles sont donc :
(2,108),(4,54),(8,27),(3,72),(9,24),(6,36),(12,18)
On peut éliminer les couples (8,27), (3,72) et (9,24) car X+Y=2AB indique que si X est pair, alors Y est pair aussi et réciproquement.
Il reste donc uniquement les couples (X,Y) :
(2,108),(4,54),(6,36),(12,18)
On en déduit facilement les couples (AB,EC) possibles :
(55,53),(29,25),(21,15),(15,3)

Nous avons donc déjà 4 dimensions possibles pour le champ et l'étang.
La surface de chaque parcelle est : AB²/5
Le point O est situé sur la diagonale AC. En effet, on sait que la surface AOB est égale à la surface AOD. La surface de chaque triangle étant égale à (base x hauteur/2), sachant que les bases sont AB=AD et que les hauteurs sont les coordonnées de O sur le repère (AB,AD), alors O est forcément situé sur la diagonale AC.

Calculons la distance BH.
Soit Q, le point situé sur le segment [BH] tel que OQ est perpendiculaire à [BH] et soit P le point tel que ABQP est un rectangle.
On a BH=BQ+QH
La surface du rectangle ABQP est ABQP=2(AB²)/5
On déduit BQ=ABQP/AB=2AB/5
On sait que la surface du triangle BOH=BHxOQ/2=AB²/5
Puisque O est sur la diagonale AC, alors OQ=AB-BQ
Donc BOH=BH(AB-2AB/5)/2=AB²/5
<=> BH(3AB/2)=AB² <=> BH=2AB/3

Nous avions 4 valeurs possibles pour AB. Comme BH est une valeur entière, il ne reste plus que 2 dimensions possibles pour le champ et pour l'étang, à savoir (21,15) ou (15,3).
Supposons que AB=21 et CE=15 et calculons BQ=2AB/5=8,4. Dans ce cas, l'arbre se trouve dans l'étang ce qui n'est pas très réaliste. Les seules dimensions possibles sont donc AB=15 et CE=3. Alors BH=10 et HC=5.

La longueur de clôture HC+CI est 10dam = 100 mètres.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #15 - 04-04-2011 23:29:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

auw champs

SaintPierre a écrit:

Je me demande encore pourquoi il n'y a que L00ping qui trouve la même solution que moi... roll

Mauvais oeil ou mauvaise foi smile

Vasimolo

 #16 - 04-04-2011 23:32:02

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Aux chamsp

Si tu regardes bien, les bonnes réponses ont été (ré)éditées après le dit message. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #17 - 04-04-2011 23:37:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

aux vhamps

Il me semble que non smile

Vasimolo

 #18 - 04-04-2011 23:46:47

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

zux champs

Ah, j'ai oublié looozer... Mille excuses.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #19 - 28-08-2011 16:55:37

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Ax champs

Bjr à tous,

J'ai trouvé au moins 4 terrains dont les dimensions pourraient
coller avec la contrainte "partie cultivable=216" :
    AB    EC
    15    3
    21    15
    29    25
    55    53

Ensuite, je pars du principe que l'arbre O est obligt sur la diagonale AC,
sinon la surface du champ (AOB) ne peut pas être égal à celui du champ (AOD).
Ce qui réduit à ne s'intéresser qu'au triangle ABC.

AB=BC est une variable fixée (cf plus haut)

L'angle BAC est de 45°, car (ABC) est un triangle rectangle isocèle en B.
x0=AO est une variable, telle que xA<xO<xC

3 des éléments du triangle (AOB) sont connus, on peut déduire OB,
puis la surface de (AOB). Idem pour l'angle OBA.

Ensuite, intéressons nous au triangle (BOH) :
on sait déjà que sa surface est égale à celle du triangle précédent.
On sait que la somme des angles HBO + OBA = 90°

On ne connait pas BH, mais on sait que c'est une longueur entière.
...
Bref, il y a un peu trop d'inconnues, je sèche un peu trop pour la suite.........

http://img6.imagebanana.com/img/oai5695s/etang1.gif

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Si il y a 88 pommes et que vous en prenez 44, combien vous en avez ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
23-12-2009 Enigmes Mathématiques
P2T
Puissance 4 par L00ping007
06-05-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Jeu de cartes par titoufred
25-04-2013 Enigmes Mathématiques
P2T
19-08-2011 Enigmes Mathématiques
01-09-2013 Enigmes Mathématiques
P2T
Racine carrée de 2 par nodgim
25-03-2016 Enigmes Mathématiques
P2T
Centre de gravité par Vasimolo
13-12-2009 Enigmes Mathématiques
P2T
17-09-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 10 hommage par Vasimolo
28-06-2010 Enigmes Mathématiques

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete