ABCD est un carré de côté 15 décamètres
Le point O est à 6 décamètres des côtés AB et AD.
L'étang est un carré de côté 3 décamètres.
Chaque fils a reçu 45 ares.
Et la clotûre mesure 2 fois 5 décamètres, soit 10 décamètres.

Démo
L'aire cultivable est l'aire du grand carré moins celle de l'étang.
Soit [latex]AB^2-EF^2=216[/latex]
[latex](AB-EF)(AB+EF)=2^3.6^3[/latex] (1)

On doit aussi respecter la contrainte que l'air de la parcelle de Rémi est plus grande que la surface de l'étang. Et la parcelle de Rémi mesure un 1/5 de l'air du grand carré.

[latex]\frac{AB^2}5 > EF^2[/latex] (2)

On n'a plus qu'à parcourir les diviseurs de 216.
AB-EF < AB+EF, donc on n'a qu'à tester les diviseurs 2,3,4,6,8,9,12 pour AB-EF.

Si AB-EF=2 alors AB+EF=108
AB=55 et EF=53 : (2) n'est pas respecté

Si AB-EF=3 alors AB+EF=72
AB et EF ne seraient pas entiers

Si AB-EF=4 alors AB+EF=54
AB=29 et EF=25 : (2) n'est pas respecté

Si AB-EF=6 alors AB+EF=36
AB=21 et EF=15

Si AB-EF=8 alors AB+EF=27
AB et EF ne seraient pas entiers

Si AB-EF=9 alors AB+EF=24
AB et EF ne seraient pas entiers

Si AB-EF=12 alors AB+EF=18
AB=15 et EF=3 : ouf, condition (2) respectée, ça tombe bien, c'était le dernier diviseur à tester ...

On en déduit que l'aire totale du carré vaut 225 ares, et l'étang a une aire de 9 ares.
Chaque fils a donc hérité d'une surface de 45 ares.
Le chêne est donc situé à 6 décamètres des côtés AB et AD (on calcule la hauteur à partir de l'aire et d'un côté)
Le chêne est donc situé à 9 décamètres du côté CD, et connaissant l'aire de la parcelle, on trouve que DI=10 décamètres.
Même raisonnement pour BH=10 décamètres.
On en déduit HC=IC=5 décamètres

A vue d'oeil et en partant du postulat que l'étang fait 3x3 pour arriver à un carré (225=216+3x3) je dirais HC+IC = 10 dam

Je note que OD=OI=OH=OB.

En supposant F milieu de IH, alors DI=IH=HB. Avec c le côté de l’étang, alors DC=4c.

L'aire totale est 16c² et seulement 15c² pour les terres arables ce qui donne c=120m. La clôture HCI mesure donc 48 décamètres.

Erreur détectée!! 216 ares = 21 600 m² et non 216 000 m² J'ai une excuse ici les surfaces sont en acres = 4000 m² d'où le mélange de pinceaux.

15c²=21600 => c²=1440 donc 4c = 15 décamètres à peu prés ce qui est la longueur de la clôture.

Eureka
Le partage en 5 parties d'aire égale ne porte pas sur la partie cultivable mais sur l'ensemble, Rémi aura donc 9 ares cultivables de moins que ses frères.

L'étang fait 3x3 dam.
AB=BC=CD=DA=15 dm, surface totale 216+9=225 ares.

Le triangle OCH représente une demi part, OHB une part.
Donc HC=HB/2=BC/3=5 dam

Et la clôture fait le double, soit 10 dam.

Je me demande encore pourquoi il n'y a que L00ping qui trouve la même solution que moi...

A premiere vue, il manque un element important: la taille absolue ou relative de l'etang...

La surface cultivable est : AB² - EC² = (AB+EC)(AB-EC) = 216

Prenons X=AB+EC et Y=AB-EC alors XY=216 avec X et Y entiers.
On en déduit par addition X+Y=2AB

On remarque que 216 = 2x2x2x3x3x3
Les couples (X,Y) possibles sont donc :
(2,108),(4,54),(8,27),(3,72),(9,24),(6,36),(12,18)
On peut éliminer les couples (8,27), (3,72) et (9,24) car X+Y=2AB indique que si X est pair, alors Y est pair aussi et réciproquement.
Il reste donc uniquement les couples (X,Y) :
(2,108),(4,54),(6,36),(12,18)
On en déduit facilement les couples (AB,EC) possibles :
(55,53),(29,25),(21,15),(15,3)

Nous avons donc déjà 4 dimensions possibles pour le champ et l'étang.
La surface de chaque parcelle est : AB²/5
Le point O est situé sur la diagonale AC. En effet, on sait que la surface AOB est égale à la surface AOD. La surface de chaque triangle étant égale à (base x hauteur/2), sachant que les bases sont AB=AD et que les hauteurs sont les coordonnées de O sur le repère (AB,AD), alors O est forcément situé sur la diagonale AC.

Calculons la distance BH.
Soit Q, le point situé sur le segment [BH] tel que OQ est perpendiculaire à [BH] et soit P le point tel que ABQP est un rectangle.
On a BH=BQ+QH
La surface du rectangle ABQP est ABQP=2(AB²)/5
On déduit BQ=ABQP/AB=2AB/5
On sait que la surface du triangle BOH=BHxOQ/2=AB²/5
Puisque O est sur la diagonale AC, alors OQ=AB-BQ
Donc BOH=BH(AB-2AB/5)/2=AB²/5
<=> BH(3AB/2)=AB² <=> BH=2AB/3

Nous avions 4 valeurs possibles pour AB. Comme BH est une valeur entière, il ne reste plus que 2 dimensions possibles pour le champ et pour l'étang, à savoir (21,15) ou (15,3).
Supposons que AB=21 et CE=15 et calculons BQ=2AB/5=8,4. Dans ce cas, l'arbre se trouve dans l'étang ce qui n'est pas très réaliste. Les seules dimensions possibles sont donc AB=15 et CE=3. Alors BH=10 et HC=5.

La longueur de clôture HC+CI est 10dam = 100 mètres.

Si tu regardes bien, les bonnes réponses ont été (ré)éditées après le dit message.

Ah, j'ai oublié looozer... Mille excuses.