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 #1 - 03-11-2011 02:18:56

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un appartement, S'il vuos plaît !!

119 locataires vivent dans un immeuble de 120 appartements.
Un de ces appartements est surpeuplé lorsqu'au moins 15 personnes y habitent.
Chaque jour, tous les locataires d'un des appartements surpeuplé s'en vont habiter dans des appartements différents quelconques.
Arrivera-t-il un jour où il n'y aura plus d'appartement surpeuplé ?



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"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
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 #2 - 03-11-2011 10:45:56

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Un appartement, S'il vosu plaît !!

Bonjour,
Je ne comprends pas vraiment la question: s'il y a 119 locataires pour 120 appartements, il suffit que chaque locataire occupe un appartement et il restera même un appartement inoccupé !!!
Bonne journée.
Frank

 #3 - 03-11-2011 23:28:14

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un appartement, S'il vous plaîtt !!

Tu dois le prouver pour tous les cas possibles smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #4 - 04-11-2011 14:31:55

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

un appartemenr, s'il vous plaît !!

Arrivera-t-il un jour où il n'y aura plus d'appartement surpeuplé ?

119=14*8+7, donc il suffira de placer 14 locataires dans 8 appartements.
Il restera 7 locataires à placer dans le 9ème appartement.
Et aucun dans tous les autres appartements.
Ce qui mène à la solution
=> 14 14 14 14 14 14 14 14 7 0 0 0 0 0 0 0 0 ... 0
À cet instant, il n'y aura aucun appartement surpeuplé dans l'immeuble...

Bien sûr, il y a beaucoup d'autres solutions, comme celle qui consiste à placer un seul locataire par appartement, sauf le dernier appartement qui reste vide :
=> 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 0

 #5 - 04-11-2011 14:43:02

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un appartemeent, S'il vous plaît !!

Non , il faut prouver dans tous les cas possibles qu'un jour , il n y aura plus d'appartements surpeuplés !
On ne peut pas choisir la répartition des locataires d'un appartement surpeuplé !


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #6 - 04-11-2011 14:46:55

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

un appartemrnt, s'il vous plaît !!

Si on considère qu'on a 119 personnes à répartir sur 120 appartements, il faut prouver pour chaque combinaison possible et que Chaque jour, tous les locataires d'un des appartements surpeuplé s'en vont habiter dans des appartements différents quelconques arrivera un jour où il n'y aura plus d'appartement surpeuplé ?


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #7 - 05-11-2011 11:10:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Un appartement, S'il voous plaît !!

Un joli problème smile

Ca fait beaucoup penser à http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=4850 mais à l'envers .

En fait c'est le même problème !!!

Ajoutons un locataire , la seule boucle possible est 0 , 1 , 2 , 3 , ... , 14 , 15 et à un moment donné le 120 locataire va habiter l'appartement à 15 personnes . Si on retire le locataire en surplus on arrête le processus .

Il y a sûrement plus simple comme explication ( je l'espère lol )

Vasimolo

 #8 - 05-11-2011 12:46:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Un appartement S'il vous plaît !!

Avec 120 locataires et cette répartition:
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 on peut faire un turn over infini: les 15 se répartissent dans tous les appart occupés et dans un appart vide, de sorte que la répartition suivante est la même que la précédente.

Avec 119 locataires, on peut faire:
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2. mais la répartition suivante donnera:
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 1. Au bout de 14 jours on n'aura plus le nombre 15.

 #9 - 05-11-2011 17:12:15

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Un appartemnt, S'il vous plaît !!

Supposons qu'il y ait suffisamment de locataire pour qu'il y ait toujours des appartements surpeuplés.

Au jour 1 un appartement d'au moins 15 personnes se vide.
Au jour 2 un appartement d'au moins 15 personnes se vide, il y avait donc au moins 14 personnes dans cet appartement au jour 1.
...
Au jour n  un appartement d'au moins 15 personnes se vide, il y avait donc au moins 15-n+1 personnes dans cet appartement au jour 1.
...
Au jour 15  un appartement d'au moins 15 personnes se vide, il y avait donc au moins 1 personnes dans cet appartement au jour 1.

Ces 15 appartement sont bien distincts (sinon un appartement se viderait 2 fois or il faut au moins 15 jours pour le re-remplir, et seulement 15 jours se sont écoulés)

Au jours 1 il y a donc au moins 15+14+13+...+2+1 = 15*16/2 = 120 personnes dans les appartements. --> contradiction

Donc au bout de 14 jours au maximum il n'y aura plus d'appartements surpeuplés.

merci pour l'énigme smile

 #10 - 09-11-2011 19:04:27

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Un appartemen, S'il vous plaît !!

Je trouve la dernière solution ( je ne cite pas l'auteur , c'est trop tordu lol ) parfaitement claire smile

S'il y a 120 locataires les déménagements cesseront ou bouclerons sur la configuration : 0 , 0 , ... , 0 , 1 , 2 , ... , 14 , 15 .

Il n'y a pas d'autre possibilité .

Vasimolo

 #11 - 10-11-2011 19:23:15

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un appartement, S'il vous pllaît !!

Désolé, je viens de rentrer de mon voyage !

Imaginons que tous les matins, les locataires d'un même appartement ( surpeuplé ou non ) se serrent la main ! et supposant un jour, k>= 15 locataires d'un appartement surpeuplé changent d'appartements.
ils s'en vont dans des appartements différents et y trouvent respectivement n1, ....,nk locataires qui y vivent déjà.
Puisqu'il y a 119 locataires, on a n1+n2+....+nk+ k =< 119
et donc :

n1+n2+n3......+nk=< 119-k=<104

Or . la différence entre le nombre de poignées de mains avant changement et après changement est :
k(k-1)/2 - (n1+....nk) >= 15x24/2  -104 > 0

Ainsi un changement d'appartement fait diminuer le nombre de poignées de mains. et cela ne pourra se poursuivre indéfiniment !

merci a tous
smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #12 - 10-11-2011 19:55:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Un appartement, S'ill vous plaît !!

Je trouve la méthode plus laborieuse que celle de Wlyn mais elle a l'avantage de montrer que la seule boucle à 120 locataires est 0,1,...,119,120 smile

Vasimolo

 #13 - 05-12-2011 14:42:12

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Un apartement, S'il vous plaît !!

On doit pouvoir prouver qu'au maximum il faut 14 jours pour ne plus avoir d'appartement surpeuplé.


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