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 #1 - 19-06-2009 12:29:08

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Les nombres uatodiviseurs - the sequel.

Quel est le premier entier naturel supérieur à 0 que l'on ne peut PAS faire en divisant un nombre par la somme de ses chiffres?
(par exemple, on sait deja que l'on peut faire de 1 a 10..., mais jusqu'ou peut-on aller, sans interruptions?)



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 #2 - 19-06-2009 19:55:27

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Les onmbres autodiviseurs - the sequel.

on va faire une énumération de tous les nombres:
9/9=1;18/9=2;27/9=3;36/9=4;45/9=5;54/9=6
63/9=3;72/9=8;81/9=9;90/9=10;198/18=11
108/9=12;117/9=13;126/9=14;135/9=15;144/9=16
153/9=17;162/9=18;171/9=19;180/9=20;378/18=21
396/18=22;207/9=23;216/9=24;225/9=25;234/9=26
243/9=27;252/9=28;261/9=29;270/9=30;558/18=31
576/18=32;594/18=33;306/9=34;315/9=35;324/9=36
333/9=37;342/9=38;351/9=39;360/9=40;738/18=41
756/18=42;774/18=43;792/18=44;405/9=45;414/9=46
423/9=47;432/9=48;441/9=49;450/9=50;918/18=51

on peut le faire jusqu'à 275. On multiplie par 9 ou par 18 ou par 27 pour les trouver

Et en multipliant par 9 ou par 18 ou par 27 le premier qui ne marche pas est 276 car toutes les divisions suivantes sont égales à 276

http://www.prise2tete.fr/upload/gabrielduflot-276.pdf

 #3 - 20-06-2009 18:16:54

Bamby
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 4
Messages : 41

les nombrzs autodiviseurs - the sequel.

62 !!

comme vu dans le 1er exo, les multiples de 9 sont forts utiles pour trouver une solution a chacun des nombres, c'est donc la dessus que je me suis basé.

suposons que nous soyons rendu au rang R, alors la sommes des chiffres du nombre N=R*9 est 9 (c'est la base du raisonnement)

#si la sommes des nombres du chiffre N+9 est 9, nous optenons le rang suivant,
#mais dans certain cas cette sommes "deviendra" 18, et non plus 9,
si l'on multiple le nombre (N+9) par 2,  alors la somme de ces chiffres sera 18, (sauf pour un nombre tres grand), nous avons alors un multiple de 18, de valeur 2N+18, ce qui donc nous donnera le rang suivant.

en rajoutant 18 a ce nombre, la somme sera
#soit de nouveau 18, et nous aurons notre rang suivant,
#soit 9, alors en divisant ce nombre par 2, nous optenons un nombre qui diviser par 9 sera le bon (N+18)/2/9 =N/18+1=R+1.
se nombre etant un multiple de 9 sa somme sera alors 9 ou 18, si c'est 9 nous pouvons continuer via la méthode mais si cet valeur est 18 alors nous serions bloquer.


par récurence nous pourrions démontrer pour tout N, puisque pour le nombre 9 nous obtenons le rang 1 sauf que nous avons 2 conditions d'arret :
#un nombre dont la somme de ces chiffres est 18, et pour lequel la somme de son double n'est pas 18.
#un nombre multiple de 18 dont la somme des chiffres est 9, et pour lequel la somme des chiffres de la moitier n'est pas 9.

j'avoue ne pas avoir calculé le 1er cas puisque le nombre est intituivement plus grand que le 2nd cas.
pour le 2nd cette valeur est  1116, soit 62*18, le 1er nombre que l'on ne peut trouver par cette méthode est donc 62.

par calcul des cas possible j'ai trouvé qu'il n'existe pas de nombre satisfaisant pour trouver 62, j'en ai donc conclu que c'est le nombre souhaité.

 #4 - 21-06-2009 15:43:00

evariste
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 27

Les nombrees autodiviseurs - the sequel.

62

 #5 - 22-06-2009 18:18:24

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Les nombres autodiviseeurs - the sequel.

Félicitations à ceux qui ont trouvé 62.
La liste de ces nombres est donnée dans l'encyclopédie des sequences de nombres entiers sous le numero A003635. Une liste plus complete est donnée ici
J'avais en fait déjà traité le sujet ici


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 #6 - 22-06-2009 21:14:09

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Les nombbres autodiviseurs - the sequel.

Eh bien je n'ai pas fait attention quand je l'ai fait pour 62 sadsadsadsad

 

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