Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 10-11-2011 22:57:44

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2708
Lieu: Luxembourg

Isomorphhisme ?

Bonjour,

Je vous propose une petite colle qui va certainement vous distraire : il s’agit d’un problème posé par Martin Gardner dans son livre "Ha-ha" ; à l’époque, la solution (qui passe par un isomorphisme) m’avait plutôt surpris et, aujourd’hui, ce problème me revient en mémoire.
Et je suis désolé si cette colle a déjà été posée sur ce site (d’ailleurs je ne sais pas vraiment comment chercher de façon efficace s’il existe une énigme similaire ou même identique).

Voici les règles du jeu : il suffit de poser, à tour de rôle, des pièces de monnaie sur une table (comme au casino) portant les numéros 1 à 9. Peu importe qui commence. Tu déposes des pièces de 10 centimes ; moi, je dépose des pièces de 1 euro. Le premier qui couvre trois chiffres différents dont la somme est 15 gagne tout l’argent déjà déposé.
Suivons une partie : tu commences et poses une pièce sur le 7. Comme le 7 est couvert, aucun des joueurs ne peut plus y déposer de pièce. Je pose une pièce sur le 8. Au tour suivant, tu poses une pièce sur le 2 : ainsi, avec une autre pièce sur le 6, les trois chiffres couverts auront pour somme 15 et tu auras gagné. Mais je pose bien sur une pièce sur le 6. A présent, je peux gagner en jouant le 1 au tour suivant. Tu vois le danger et entraves ma victoire avec une pièce sur le 1. Je pose ma pièce suivante sur le 4. En s’apercevant que je gagnerais en jouant ensuite le 5, tu bloques ce chiffre et poses donc une pièce sur le 5. Mais je pose une pièce sur le 3 et gagne puisque 8 + 4 + 3 = 15. Tu as perdu quatre pièces.
Et voici la question : comment jouer à une partie sans jamais perdre ?

Bon courage.
Et bonne soirée.
Frank



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 11-11-2011 06:45:28

Yuka2
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 31

isomorphusme ?

On considère qu'on commence à jouer.
Pour ne jamais perdre il faut s'assurer de bloquer toutes les combinaisons gagnantes de l'adversaire.

Si on dénombre les combinaisons gagnantes, on en trouve seulement 8 :
159
168
249
258
267
348
357
456

Les chiffres 1,3,7 et 9 apparaissent 2 fois, les chiffres 2,4,6 et 8 apparaissent 3 fois et le chiffre 5 apparait 4 fois.
Il semble judicieux de jouer le 5 en premier.

Cela bloque déjà 4 positions sur les 8.
Il reste
168
249
267
348

Cas 1 : L'adversaire joue 2
On joue 4
On bloque ainsi 2 des possibilités restantes de victoire. L'adversaire ne peut plus gagner qu'en jouant :
267
168
Or l'adversaire doit jouer absolument 6 pour nous empêcher de gagner dès le coup suivant. (car 5+4+6 = 15)
On répond ainsi en jouant 7.
L'adversaire ne peut plus gagner qu'en misant sur le tirage 168.
Peu importe qu'il joue 1 ou 8 au coup suivant, on le bloque définitivement en jouant le numéro restant juste après.

Cas 2 (quasi similaire) : L'adversaire joue 8
On joue 4
On bloque ainsi 2 des possibilités restantes de victoire. L'adversaire ne peut plus gagner qu'en jouant :
267
168
Or l'adversaire doit jouer absolument 6 pour nous empêcher de gagner dès le coup suivant. (car 5+4+6 = 15)
On répond ainsi en jouant 1.
L'adversaire ne peut plus gagner qu'en misant sur le tirage 267.
Peu importe qu'il joue 2 ou 7 au coup suivant, on le bloque définitivement en jouant le numéro restant juste après.

Cas 3 : L'adversaire joue ni 2 ni 8 :
On joue le 2.
Il ne reste plus que :
348
168
L'adversaire est obligé de jouer 8 (car 5+2+8 =15)
Au troisième coup on l'empêche de gagner ( ie, on joue 3 s'il a 4 et 8, 4 s'il a 3 et 8, 1 s'il a 6 et 8 et 6 s'il a 1 et 8, et 1,3,4 ou 6 s'il a le 7 ou le 9 en plus du 8).
Il ne lui restera donc plus qu'une combinaison gagnante pour laquelle il n'aura que le chiffre 8 et aucun des deux autres.
Peu importe son 3ème coup car au quatrième on pourra toujours le bloquer définitivement.

J'imagine qu'un raisonnement de ce type doit marcher aussi si on suppose qu'on ne commence pas à jouer.
En distinguant 2 cas : S'il joue le 5 en premier (difficile) et s'il ne joue pas le 5 en premier (moins difficile)

 #3 - 11-11-2011 07:51:56

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

isomorphosme ?

Bonjour,

Merci de proposer ce sujet, j'aime bien aussi Martin GARDNER
(Le paradoxe du pendu,  123 l'infini etc ...)

Dans le jeu proposé ici :

Il y a 8 triplets d'entiers distincts entre 1 à 9 dont la somme vaut 15, i.e. 8 manières (au final, sans tenir compte de l'ordre des choix par coup) de déposer des pièces sur les cases et de gagner :

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-jeu15.jpg

(On y retrouve bien le 8, 4, 3 de l'exemple, ouf !)


On peut trier par ordre croissant l'occurence de chaque nombre parmi ces 8 triplets.

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-jeu152.jpg


On remarque que quatre entiers impairs apparaissent 2 fois (1,3,7,9)
quatre autres, pairs, apparaissent 3 fois (2,4,6,8)
et un seul, le 5, apparait 4 fois.

Ce qui devrait correspondre aux cases à jouer "en priorité"

En essayant de les regrouper par séquences, j'ai retrouvé l'arrangement suivant sur un carré de 3x3, dont la somme des lignes et des colonnes et des diagonales vaut 15.

On retrouve en fait un "carré magique" :

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-carrehaha3x3.jpg


Suivons la partie de l'énoncé en imaginant jouer au "morpion" sur cette grille :

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-carrehaha3x3jeu.jpg


L'isomorphisme signifie que ce jeu avec des pièces et 9 cases s'apparente au jeu de "morpion" bien connu, dont l'objectif est d'aligner trois cases horizontalement, verticalement ou en diagonale en transposant les 9 cases vers un carré de 3x3 ci-dessus (aux rotations et permutations près) .

On sait que ce jeu peut être gagnant, ou au moins "partie nulle"


Très intéressant, merci !

A bientôt


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #4 - 11-11-2011 07:58:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Isomorphhisme ?

A joue 7, B doit jouer 8 pour contrer.
A joue 6, B doit jouer 2 pour contrer 7+6+2=15 ou 9 pour contrer 9+6=15: fin car quel que soit le choix de B, A gagne en prenant l'autre option.
Notons que le 1er joueur gagne toujours.

 #5 - 11-11-2011 08:30:23

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,467E+3

Isomorphism e?

Il faut commencer par jouer le 5 qui ouvre une possibilité avec chacun des autres nombres
5-1-9
5-2-8
5-3-7
5-4-6

Suivant la réponse, il faut jouer un des 4 nombres qui ouvre deux possibilités de jeu (2 4 6 8 )

S'il répond 1, je dis 2 , il est alors obligé de dire 8, je le bloque à 6

Fourchette ! il doit me bloquer sur 5-6-4 et 2-6-7 en même temps...

Le raisonnement est le même quelle que soit sa réponse. Au premier coup je me donne 4 options, au second , un  nombre qui en laisse 3, au troisième coup, je m'offre 2 possibilités de gagner.

Même si on commence chacun son tour, je gagne des euros et toi des centimes lol

 #6 - 11-11-2011 10:19:35

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Isomorphimse ?

He oui il me semble l'avoir déjà croisé un jour celui la, une très belle solution qui illustre parfaitement qu'un même problème peut être vu de point de vu totalement différent.

C'est un morpion:

6 1 8
7 5 3
2 9 4

Je pense que ce n'est pas impossible de le trouver tout seul car a priori si on passe l’étape de la cuisine on va lister toutes les possibilités de faire 15 et tenter de voir ça sous forme de graphe, et si on a l’étincelle pour le représenter de manière compacte, ho le beau carré!

 #7 - 11-11-2011 23:11:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Isomorphism ?

Ce jeu est équivalent à un tic-tac-toe sur un carré magique de côté 3 et on sait que ce jeu est nul si chacun joue au mieux smile

Vasimolo

 #8 - 13-11-2011 21:58:49

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2708
Lieu: Luxembourg

Isomorphise ?

Bonsoir,

Cette énigme ne semble pas avoir beaucoup de succès et, comme il ne reste que deux petites heures, on va passer directement à la solution.
Nickogecko, Clydevil et Vasimolo connaissaient l'astuce (mais je pense qu'il faut l'avoir déjà vu). Yuka2, nodgim et gwen27 ont beaucoup bossé et esquissé une solution sans connaitre cette astuce. Merci à vous tous pour vos réponses.

L'astuce consiste à voir que la stratégie de ce jeu est mathématiquement équivalente à celle du tictactoe. Comme il existe huit combinaisons de trois chiffres dont la somme est 15, on peut établir un carré magique (sauf erreur de ma part, ce carré est unique aux rotations et symétries prés):
6  1  8
7  5  3
2  9  4
Vous devinez la suite: si deux adversaires jouent parfaitement au tictactoe (que vous connaissez tous), alors la partie est indécise. Mais en jouant au jeu décrit sans se rendre compte que l'on joue en réalité au tictactoe, on part évidemment avec un gros handicap. Si on connait cette astuce, on est en position de force pour pouvoir tendre des pièges (comme les fourchettes que vous avez évoquées). Deux adversaires qui connaissent cette astuce feront bien sur match nul à chaque fois (mais l'histoire ne dit pas comment, dans ces cas, on se partage la cagnotte big_smile).

Personnellement, l'isomorphisme m'a toujours étonné: résoudre un problème en le transformant en un autre qui lui est isomorphe est impressionnant. Je sais que le fameux théorème des quatre couleurs démontré en 1976 prouva simultanément des douzaines d'autres conjectures mathématiques isomorphes à ce théorème. Et, si je ne dis pas d'ânerie, une étape de la longue démonstration du théorème de Fermat-Wiles en 1994 est basée sur la démonstration de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil par Andrew Wiles, isomorphe à cette étape (c'était un peu plus compliqué que de jouer au tictactoe lol).

J'espère que mon petit speech sur l'isomorphisme vous aura détendu. Et je vous dis à bientôt pour une énigme un peu plus conventionnelle.

Bonne soirée à tous.
Frank

 #9 - 13-11-2011 23:12:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

isimorphisme ?

Je ne connaissais pas mais j'ai vite fait le parallèle avec le Tic-Tac-Toe smile

Mais bon smile

Vasimolo

 #10 - 14-11-2011 00:26:06

Psykotaker
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 28
Lieu: Université Paul Verlaine

Isomorpihsme ?

@Francky,

La démonstration du théorème des 4 couleurs fait toujours polémique car ça résolution à été entièrement fait par ordinateur
D'après excellent livre la symphonie des nombres premier (de Marcus du Sautoy), Kenneth Appel et Wolfgang Haken ont "juste" démontré qu'il n'existe qu'un peu moins de 1500 schémas de cartes possible et les ont codé puis dessiner par ordinateur (simplification très grossière je vous l'accorde)


Quand les choses deviennent trop compliquées, il est parfois normal [...] de se demander : ai-je posé la bonne question ?

 #11 - 14-11-2011 00:54:41

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2708
Lieu: Luxembourg

idomorphisme ?

@Vasimolo: Alors un grand bravo si tu as vu le rapprochement avec le jeu tictactoe sans l'avoir vu avant: je suis vraiment impressionné.

@Psykotaker: Je ne savais pas que le théorème des quatre couleurs avait été démontré par ordinateur, ce qui implique que tous les cas de figures ont dûs être examinés (et d'être sûr que c'était bien le cas). Pour moi, un des charmes des maths est le côté "preuve absolue" (où, contrairement à la physique, on ne se contente pas de constater qu'une "loi fonctionne"), d'où sans doute cette polémique. Merci aussi pour les références du bouquin (j'adore ce type de lecture).

Bonne soirée.

 #12 - 14-11-2011 11:21:30

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Isomorphimse ?

Pour moi, un des charmes des maths est le côté "preuve absolue" (où, contrairement à la physique, on ne se contente pas de constater qu'une "loi fonctionne"), d'où sans doute cette polémique.

Oui c'est vrai mais imaginons que tu veuille démontrer une propriété d'une suite d'entiers, et que tu trouves qu'à partir du terme U(5) (le 5eme je veux dire) tu peux facilement écrire une relation de récurrence qui transmet cette propriété aux termes suivants. Tu va vérifier cette propriété pour U5 et pour les U0,..,U4 avant comme cas particulier et déclarer que tu as une preuve, qui est totalement rigoureuse et absolue n'est ce pas?

Maintenant imagine la même chose mais avec ta relation de récurrence que tu trouve a partir de U(2^64), qu'est ce que tu fais? tu ne considèrerais plus ceci comme preuve absolue si tu considères les 2^64 cas particuliers par ordinateur?

C'était bien sur ceci le travail de démonstration du théorème des 4 couleurs, réussir a construire un ensemble fini de cas tel que si tout dans cette ensemble est faisable alors le théorème des 4 couleurs s'applique également à n'importe quel graphe planaire dans leur famille infinie. La ou ca polémique c'est que bien sur il faut faire confiance à la vérification des cas particuliers qui n'a aucune accessibilité humaine, on se contente de vérifier la réduction de cas, le programme lui même, et faire confiance en sa correcte application sur les données.

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Le Mot par shadock
03-05-2012 Enigmes Logiques
P2T
Le métadémineur par ksavier
22-02-2013 Enigmes Logiques
P2T
Le Vizir par maohi
29-12-2009 Enigmes Logiques
P2T
21-12-2009 Enigmes Logiques
P2T
06-11-2013 Enigmes Logiques
P2T
Grilles de logimage par martine23
03-10-2014 Enigmes Logiques
P2T
Qui-suis je ? par emijuc
21-10-2008 Enigmes Logiques
P2T
Logique Carre par drey92
27-03-2014 Enigmes Logiques
P2T
23-12-2009 Enigmes Logiques

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)
Isomorphisme (22) — Mot complique pendu (5) — Pesee 12 boules gardner (2) — Carre magique 3x3 (2) — Enigme tic tac toe (2) — Gardner haha (2) — Code quatre couleurs trois chiffres (2) — Isomorphisme*$ (1) — Comment jouer au tic tac toe des nombres (1) — Jeu isomorphe morpion (1) — Martin gardner haha (1) — Martin gardner problemes (1) — Mot pour pendu difficile (1) — Mot complique pour pendu (1) — Comment montre que fonction est un isolorphisme (1) — Comment resoudre un sudoku par isomorphisme (1) — Paradoxe du pendu de gardner pages (1) — Carre magique de 9 cases (1) — Martin gardner le paradoxe du pendu (1) — Grille pour jouer au morpion (1) — Jouer enigme tic tac toe difficile (1) — Comment jouer aux trois sages tic tac toe (1) — Enigme 28 oeufs 7 jours impair (1) — Probleme martin gardner haha pieces 15 (1) — Morpion grille 3x3 cases + solutions (1) — Mot complique pour le pendu (1) — Isomorphisme dans le jeu (1) — Enigme alignement de pieces 10 centimes (1) — Mot complique au pendu (1) — Solutions morpion grille 9 cases (1) — Truc pour gagner au tic tac toe (1) — Enigme carre magique 456 22 123 (1) — Martin gardner tic-tac-toe (1) — Theoreme des 4 couleurs martin gardner (1) — Le paradoxe du pendu martin gardner (1) — Enigmes carre 3 euro (1) — Mots difficiles pour pendu (1) — 168 avec 7 10 1 5 3 (1) — Tic tac toc devinette (1) — Solutions utilisant isomorphisme (1) — Sudoku nombre isomorphismes (1) — Comment trouver 168 avec 7 5 10 3 8 (1) — Nombre de combinaisons tic tac toe (1) — Thm d isomorpgisme (1) — Morpion toujours gagner (1) — Toutes les combinaisons possibles pour faire 15 sont :159 168 249 258 267 348 357 456 on remarque que parmi toutes ces combinaisons c est le 5 qui revient le plus souvent : quatre fois (ce qui est tout a fait logique puisque c est le nombre central de [19]).c est (1) —

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete