Enigme Des suites comme Syracuse @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonjour à tous,
La suite de Syracuse, pour ce qu'on en sait, renvoie toujours n'importe quel nombre n à 1 dans une seule boucle de longueur 3 (1,4,2,1,...). Dans cette hypothèse, montrer que pour les suites de forme 3n+a (au lieu de 3n+1), a entier naturel, il existe une infinité de valeurs pour a tel qu'on aboutit aussi à une seule boucle de longueur 3.

Rappel de l'algorithme de Syracuse: Si n pair---->n/2, si n impair---->3n+1, et on recommence avec le résultat.

cogito · #2

Oui, en effet si a est une puissance de 3 ça marche très bien.

Si a=3^k alors on tombe sur le cycle 4 * 3^k,2*3^k,3^k qui est un cycle de longueur 3. Du moins c'est ce que j’expérimente de temps en temps pendant mes heures perdus, je n'ai pas cherché véritablement de preuve. Je vais y réfléchir.

nodgim · #3

Oui Cogito, reste à comprendre pourquoi.....

cogito · #4

Pour l'instant je n'ai qu'un argument heuristique :

Si on part de n impair, on obtient ensuite 3n+1
Ensuite on divise par 2 un certain nombre de fois (que je vais noté a1) on obtient :

(3n+1)/(2^a1) (désolé, ça ne va pas être facile, latex ne marche pas).

On obtient ensuite :

(3*(3n+1)+2^a1)/(2^a1) (ça reviens à faire *3+1)
=(3²n+3+2^a1)/(2^a1)

qu'on divise par 2 a2 fois :

(3²n+3+2^a1)/(2^(a1+a2))
[3³n+3²+3*2^a1+2^(a1+a2)]/(2^(a1+a2)) (*3+1)
[3³n+3²+3*2^a1+2^(a1+a2)]/(2^(a1+a2+a3)) (division par 2 a3 fois)
[(3^4)n+3³+3²*2^a1+3*2^(a1+a2)+2^(a1+a2+a3)]/[2^(a1+a2+a3)] (*3+1)
etc.

Dans la suite je noterai S(a,k) pour a1+a2+...+ak

La conjecture de Syracuse dit que pour tout n, il existe k et il existe a1,...ak tels que :

[(3^k)*n+3^(k-1)*2^S(a,1)+...+3*2^S(a,k-2)+2^S(a,k-1)]/(2^S(a,k)) = 1 (équation 1)

Donc ici on a une somme dont chaque termes (à par le premier) est une puissance de 3 miltiplié par une puissance de 2.
Si l'opération était 3n+b au lieu de 3n+1 alors on aurait à la place l'expression suivante :

[(3^k)*n+b*3^(k-1)*2^S(a,1)+...+b*3*2^S(a,k-2)+b*2^S(a,k-1)]/(2^S(a,k))

donc si on multiplie par une puissance de 3 l'équation 1 on aurait en gros
presque la même chose que si on prenait b égal à une puissance de 3 dans l'expression ci-dessus.

Pour l'instant je n'ai pas mieux.

nodgim · #5

Oui Cogito, c'est un peu confus, mais tu n'es pas loin.
La solution est effectivement que pour tout a de la forme 3^k, on aura une suite similaire à la "3n+1".
La démo est assez simple.

n impair----->3n+3^k qui est divisible par 3, caractère conservé quand on divise par 2. Le résultat impair peut s'écrire 3m.

3m---->3*3m+3^k est divisible par 9 si k>=2. divisé par 2 (une ou plusieurs fois) ne change pas la divisibilité par 9. On écrira le résultat impair 9p.

9p---->3*9p+3^k résultat divisible par 27 si k>=3.

etc, jusqu'à avoir un résultat sous la forme (n*3^k).
3*(n*3^k)+3^k=3^k(3n+1)

C'est fini, car alors tous les résultats suivants sont des multiples par 3^k de la suite de Syracuse.

cogito · #6

Désolé, je n'ai pas eu beaucoup de temps ces derniers jours, mais c'est très joli les puissances de trois qui augmentent à chaque terme jusqu'à arriver à un multiple de la suite de Syracuse.

C'est amusant de voir que 27 qui donne une suite incroyablement longue pour Syracuse, donne des suites plutôt courtes avec les puissances de trois.

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#1 - 15-12-2014 14:57:24

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#2 - 15-12-2014 21:19:24

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#3 - 16-12-2014 10:54:07

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