non du tout c'est un devoir de mon prof de maths en tant que problème ouvert ^^
je le fais juste partagé.
personnellement je n'ai pas réussi à trouver la réponse

Jolie démo eserth !

Très joli, Esereth !

esereth a écrit:

Tu es sûr de ton énoncé.

Au pifomètre pour moi, dans un triangle équilatéral, la somme des distances de n'importe quel point intérieur aux trois côtés est constante.

1/2*côté*(somme des distances) = aire du triangle

Démonstration
Tu découpes ton triangle en 3, joignant le point aux trois sommets.


La position du point n'a donc aucune importance.

Ce n'est pas vrai pour tous les triangles?
La hauteur d'un point à un côté est toujours pris sur la perpendiculaire donc c'est la longueur de la hauteur du triangle formé par ce point et le côté qu'on considère.
La moitié du produit de cette distance par le côté fait donc la surface du triangle et les 3 triangles recouvrent toujours le triangle initial.
Ce résultat est donc toujours vrai, non?

La somme des longueurs d'un point à chacun des 3 côtés est toujours constante.

A ce sujet, pour les amatheurs comme moi, dans un triangle équilatéral et seulement dans ceux-ci cette fois, si on appelle a, b, c les 3 longueurs et d la longueur du côté, on a toujours:
[TeX](a^2+b^2+c^2+d^2)^2=3(a^4+b^4+c^4+d^4)[/TeX]

Non je ne pense pas que ça soit vrai pour tous les triangles car si on appelle a, b et c les longueurs des côtés et ha, hb et hc les distances à ces côtés on a

1/2*(a*ha+b*hb+c*hc)= aire du triangle

La propriété est bien spécifique au triangle équilatéral car on peut factoriser la longueur du côté.

A mon avis, c'est le sommet dont part la hauteur la plus courte, les distances aux deux autres côtés étant alors nulles.

A vrai dire, si ce problème avait été intéressant, on en trouverait des traces dans la littérature à l'exemple de la recherche du point qui minimise la somme des distances aux sommets.

Bravo esereth ... magnifique !

Joli Et c'est ENCORE un théorème mathématique que l'on peut relier rapidement à Paul Erdõs

Dans ce cas le meilleur point est celui qui partage le triangle en trois angles égaux . Le triangle n'a même plus besoin d'être équilatéral , il suffit que l'angle le plus grand soit inférieur à 120° , sinon c'est le sommet de l'angle obtus qui réalise le minimum .

Vasimolo

Cette propriété est mise en évidence dans cette enigme:
4 points sont les sommets d'un rectangle, quel est le réseau le plus court qui les relie ? On peut créer des noeuds pour cela.

Vasimolo a écrit:

Dans ce cas le meilleur point est celui qui partage le triangle en trois angles égaux . Le triangle n'a même plus besoin d'être équilatéral , il suffit que l'angle le plus grand soit inférieur à 120° , sinon c'est le sommet de l'angle obtus qui réalise le minimum .

Vasimolo

Comment le prouver ?