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 #1 - 29-09-2011 20:16:40

ocean39
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

problème de réflexion féométrie

Nous avons :
ABC triangle équilatéral
M un point à l'intérieur du triangle trouvé par des perpendiculaires à chaque côté.

Où placer M dans le triangle pour que la somme des ses distances aux côtés soit minimale ?
(démonstration)



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 #2 - 29-09-2011 20:20:57

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,610E+3

problème de réflexion géométtie

Ca fait pas très "création personnelle" ça comme énigme...smile

 #3 - 29-09-2011 20:23:38

ocean39
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

Problème de réflexion géomérie

non du tout c'est un devoir de mon prof de maths en tant que problème ouvert ^^
je le fais juste partagé.
personnellement je n'ai pas réussi à trouver la réponse

 #4 - 29-09-2011 21:46:09

esereth
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 175

Problème dee réflexion géométrie

Tu es sûr de ton énoncé.

Au pifomètre pour moi, dans un triangle équilatéral, la somme des distances de n'importe quel point intérieur aux trois côtés est constante.

1/2*côté*(somme des distances) = aire du triangle

Démonstration
Tu découpes ton triangle en 3, joignant le point aux trois sommets.


La position du point n'a donc aucune importance.

 #5 - 29-09-2011 23:50:43

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1383
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problèmr de réflexion géométrie

Jolie démo eserth ! smile

 #6 - 30-09-2011 06:37:54

ocean39
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

Problème de réflexion géoométrie

okay =)
parce-que j'ai trouvé la démonstration pour dire que S est constante et n'est dépend que de la longueur des côtés mais je pensait que je n'étais pas au bout.
(On l'a pas corrigé en cour donc je n'ai pas de solution)

 #7 - 30-09-2011 09:37:49

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

problème de réflexion géométeie

Très joli, Esereth ! smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 30-09-2011 10:01:01

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2801
Lieu: Luxembourg

Problème de réflexion géométrrie

Je reconnais que la démo d'esereth est digne d'un déclic "ha-ha" de chez Gardner.

 #9 - 30-09-2011 12:25:44

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Problème de réflexion géomtrie

esereth a écrit:

Tu es sûr de ton énoncé.

Au pifomètre pour moi, dans un triangle équilatéral, la somme des distances de n'importe quel point intérieur aux trois côtés est constante.

1/2*côté*(somme des distances) = aire du triangle

Démonstration
Tu découpes ton triangle en 3, joignant le point aux trois sommets.


La position du point n'a donc aucune importance.

Ce n'est pas vrai pour tous les triangles?
La hauteur d'un point à un côté est toujours pris sur la perpendiculaire donc c'est la longueur de la hauteur du triangle formé par ce point et le côté qu'on considère.
La moitié du produit de cette distance par le côté fait donc la surface du triangle et les 3 triangles recouvrent toujours le triangle initial.
Ce résultat est donc toujours vrai, non?

La somme des longueurs d'un point à chacun des 3 côtés est toujours constante.

A ce sujet, pour les amatheurs comme moi, dans un triangle équilatéral et seulement dans ceux-ci cette fois, si on appelle a, b, c les 3 longueurs et d la longueur du côté, on a toujours:
[TeX](a^2+b^2+c^2+d^2)^2=3(a^4+b^4+c^4+d^4)[/TeX]

 #10 - 30-09-2011 12:40:25

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Lieu: 94110

Problème dee réflexion géométrie

Rivas vient de me couper l'herbe sous le pied !

Mais j'irais plus loin : il n'est pas nécessaire de préciser que le point M est intérieur au triangle à condition de compter positivement les distances quand le point M est situé à gauche du coté considéré quand on décrit le périmètre dans le sens trigonométrique, et négativement dans le cas contaire.


Au temps pour moi, je me suis laissé embarquer sans réfléchir. La somme n'est bien constante qu'avec un triangle équilatéral sad .

 #11 - 30-09-2011 13:01:47

esereth
Professionnel de Prise2Tete
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Problème de réflexiion géométrie

Non je ne pense pas que ça soit vrai pour tous les triangles car si on appelle a, b et c les longueurs des côtés et ha, hb et hc les distances à ces côtés on a

1/2*(a*ha+b*hb+c*hc)= aire du triangle

La propriété est bien spécifique au triangle équilatéral car on peut factoriser la longueur du côté.

 #12 - 30-09-2011 17:29:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Problème de réflexion géométre

Du coup, ça relance bien la question avec un triangle acutangle:
Quelle est la position de ce point M pour avoir la somme de ces 3 hauteurs la plus faible ?

 #13 - 30-09-2011 18:19:32

esereth
Professionnel de Prise2Tete
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PProblème de réflexion géométrie

A mon avis, c'est le sommet dont part la hauteur la plus courte, les distances aux deux autres côtés étant alors nulles.

A vrai dire, si ce problème avait été intéressant, on en trouverait des traces dans la littérature à l'exemple de la recherche du point qui minimise la somme des distances aux sommets.

 #14 - 30-09-2011 18:52:56

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

problèle de réflexion géométrie

esereth a écrit:

Non je ne pense pas que ça soit vrai pour tous les triangles car si on appelle a, b et c les longueurs des côtés et ha, hb et hc les distances à ces côtés on a

1/2*(a*ha+b*hb+c*hc)= aire du triangle

La propriété est bien spécifique au triangle équilatéral car on peut factoriser la longueur du côté.

Evidemment. La prochaine fois je dessinerai une figure. smile

 #15 - 30-09-2011 22:07:34

Azdod
Expert de Prise2Tete
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Lieu: In this universe ... !!

PProblème de réflexion géométrie

Bravo esereth ... magnifique !


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #16 - 01-10-2011 08:36:09

Memento
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 176

peoblème de réflexion géométrie

Je me disais bien avoir lu cela quelque part tongue

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … de_Viviani

 #17 - 01-10-2011 10:41:07

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Problème de réflexion géométrei

Joli smile Et c'est ENCORE un théorème mathématique que l'on peut relier rapidement à Paul Erdõs lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #18 - 02-10-2011 17:21:53

ocean39
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

Problème de réflexion ggéométrie

Si M est relié aux sommets du triangle, cela change ?

 #19 - 02-10-2011 17:33:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4797

problème de réflexion géométrir

Dans ce cas le meilleur point est celui qui partage le triangle en trois angles égaux . Le triangle n'a même plus besoin d'être équilatéral , il suffit que l'angle le plus grand soit inférieur à 120° , sinon c'est le sommet de l'angle obtus qui réalise le minimum .

Vasimolo

 #20 - 02-10-2011 17:39:22

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

problème de réglexion géométrie

Veux-tu parler du point M pour lequel MA + MB + MC est minimal?
Celui-ci est archiconnu tu  trouveras des articles dans Wikipedia sous le titre point de Fermat ou point de Torricelli.
Il n'a aucun intérêt dans le triangle équilatéral. Par contre il fait réaliser de jolies figures quand le triangle est quelconque et acutangle, si je me souviens bien.

 #21 - 02-10-2011 17:59:38

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

Prblème de réflexion géométrie

Cette propriété est mise en évidence dans cette enigme:
4 points sont les sommets d'un rectangle, quel est le réseau le plus court qui les relie ? On peut créer des noeuds pour cela.

 #22 - 03-10-2011 07:24:41

ocean39
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

Problème de rfélexion géométrie

smile

 #23 - 04-10-2011 18:34:34

ocean39
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

Problèe de réflexion géométrie

Vasimolo a écrit:

Dans ce cas le meilleur point est celui qui partage le triangle en trois angles égaux . Le triangle n'a même plus besoin d'être équilatéral , il suffit que l'angle le plus grand soit inférieur à 120° , sinon c'est le sommet de l'angle obtus qui réalise le minimum .

Vasimolo

Comment le prouver ?
wink

 #24 - 05-10-2011 22:30:33

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4797

problème de réflzxion géométrie

C'est assez simple mais un peu long , je n'aurai pas le temps de m'y mettre ce soir ni demain mais je posterai plus tard si personne ne s'en charge avant moi smile

Vasimolo

 

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