On regroupe les diviseurs avec leurs co-diviseurs.
Deux cas se présentent:n n'est pas un carré parfait et alors on obtient k\2 fois n*....*n ,ou n est un carré parfait et alors on obtient k\2-1 fois n*....*n multiplié par racine de n.Dans les deux cas on arrive à:
[TeX]n^{\frac{k}{2}}[/TeX]

Très joli, merci!

Considérons la décomposition en facteurs premiers de n:
[TeX]n=p_1^{q_1}p_2^{q_2}...p_m^{q_m}[/TeX]
Le nombre de diviseurs [latex]k[/latex] s'écrit:
[TeX]k=(1+q_1)(1+q_2)...(1+q_m)[/TeX]
Les diviseurs sont de la forme:
[TeX]d(j_1, j_2, ..., j_m)=p_1^{j_1}p_2^{j_2}...p_m^{j_m}[/latex], avec [latex]\forall i \in \{1, 2, ..., m\}, 0\le j_i \le q_i[/TeX]
Le produit [latex]P[/latex] des diviseurs s'écrit alors:
[TeX]P=\prod_{j_1}\prod_{j_2}...\prod_{j_m}p_1^{j_1}p_2^{j_2}...p_m^{j_m}[/TeX]
A présent, il ne faut pas commettre l'erreur de travailler avec les [latex]\prod[/latex] comme avec les [latex]\sum[/latex]... et il vient:
[TeX]\begin{eqnarray}
&P &=\prod_{j_1}\prod_{j_2}...\prod_{j_{m-1}}\left(p_1^{j_1}p_2^{j_2}...p_{m-1}^{j_{m-1}}\right)^{(q_m+1)}\prod_{j_m}p_m^{j_m}\\
& &=\prod_{j_1}\prod_{j_2}...\prod_{j_{m-1}}\left(p_1^{j_1}p_2^{j_2}...p_{m-1}^{j_{m-1}}\right)^{(q_m+1)}p_m^{q_m(q_m+1)/2}
\end{eqnarray}[/TeX]
Et en procédant de même pour tous les produits, il vient:
[TeX]P=p_1^{kq_1/2}p_2^{kq_2/2}...p_m^{kq_m/2}=\left(p_1^{q_1}p_2^{q_2}...p_m^{q_m}\right)^{k/2}[/TeX]
Soit: [latex]\fbox{P=\sqrt{n^k}}[/latex]

Si n n'est pas un un carré parfait il y a un nombre de diviseur pair
Ecrivant[latex] n=1\times n=d_1\times d_{k-1}=.......=d_{{k}\over 2}\times d_{{k\over 2}+1}[/latex]
donc le produit des diviseurs est égal à [latex]n^{k\over 2}[/latex]

Si n est un carré parfait il y a un nombre impair de diviseurs
[TeX] n=1\times n=d_1\times d_{k-1}=.......=d_{{k-1}\over 2}\times d_{{k+1}\over 2}=(\sqrt n)^2[/TeX]
donc le produit des diviseurs est [latex](\sqrt n)^k[/latex]

On peut faire correspondre à chaque diviseur d un autre diviseur d' tel que d'.d = n
Donc [latex](d_1 . d_2 . ... . d_k)^2 = n . n . ... . n = n^k\\
d_1 . d_2 . ... . d_k = n^{\frac{k}{2}}[/latex]

Repartons de la décomposition en facteurs premiers de ce nombre :
[TeX]n = \bigprod_{i=1}^p (\alpha_i)^{r_i}[/TeX]
avec [latex]p[/latex] le nombre de facteurs premiers différents servant dans la décomposition, [latex]\alpha_i[/latex] ces facteurs, et [latex]r_i[/latex] les ordres de multiplicité correspondants.

Chacun des diviseurs de [latex]n[/latex] sera un nombre de la forme [latex]\bigprod_{i=1}^p (\alpha_i)^{q_i}[/latex] avec [latex]0 \leq q_i \leq r_i[/latex].

Donc [latex]k = \bigprod_{i=1}^p (r_i+1)[/latex]. Un [latex]\alpha_j[/latex] particulier apparaîtra [latex]q_j[/latex] fois dans [latex]\bigprod_{i=1 \\ i \neq j}^p (r_i+1) = \frac{k}{r_j + 1}[/latex] diviseurs de [latex]n[/latex], et ce pour chaque [latex]q_j[/latex] entre [latex]0[/latex] et [latex]r_j[/latex]. Il apparaîtra donc au total, dans le produit des diviseurs de [latex]n[/latex] :

[latex]\frac{k}{r_j + 1} \sum_{q=0}^{r_j} q = \frac{k}{r_j + 1} \times \frac{r_j (r_j + 1)}{2} = \frac{k}{2} r_j[/latex] fois.

Conclusion : le produit des [latex]k[/latex] diviseurs de [latex]n[/latex] vaut [latex]n^{\frac{k}{2}}[/latex].

Maintenant que j'ai le résultat (plutôt instinctif) sous les yeux, je suis sûr qu'il y a plus simple pour arriver à ce résultat

Bon le cas ou n est un carré aura empoisonné pas mal de monde . Il faut aussi éviter le réflexe décomposition en facteurs premiers même s'il conduit au résultat .

Une bonne réponse type : celle de scarta .

Mais je détaille quand même un peu

Les diviseurs vont par deux ou si vous préférez : d ->n/d est une bijection sur l'ensemble des diviseurs de n donc les produits P des d ou des n/d sont les mêmes c'est à dire que [latex]P=\frac{n^k}{P}[/latex] ou encore [latex]P^2=n^k[/latex] et  [latex]P=\sqrt{n^k}[/latex] .

Merci aux participants

Vasimolo