Suite à un message privé de Clydevil je précise que c'est l'écriture propre des nombres décimaux qu'il faut utiliser dans la fonction (celle qui se termine par une infinité de 0, et pas une infinité de 9). En générale c'est toujours la norme, je ne voulais pas vous embêter avec ça, mais c'est pas moi qui ai commencé

L00ping007 : Spoiler : [Afficher le message] Oui, c'est juste. C'est cette fonction qui a motivé ma précédente énigme http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=9572. Je suis contant que tu ais retrouvé ces résultats sans faire le lien avec

Ce que je vois dans cette fonction:
Bien sûr bijective et aussi f(f(x))=x donc symétrie par l'axe y=x.
Si on trace le graphe des entiers de 00 à 99, on définit une trame qui est le modèle de bas d'une fractale: si on zoome sur un point particulier, entre ce point et le point immédiatement supérieur, on va retrouver un ensemble de 100 oints qui auront la même forme que la trame de base, et ainsi de suite.
Evidemment cette fonction n'est donc pas continue.

Bonjour,
Cette fonction est vraiment très intéressante.
(1) Elle est bijective: on a même pour tout x du Df: f[f(x)]=x
(2) Elle est discontinue car dans [f(x);f(x+e)], il y a plein de points qui ont leurs antécédents hors de [x;x+e]
(3) Son graphe devrait être un nuage de points (une nébuleuse ?)
(4) Son graphe est symétrique par rapport à la diagonale (d'équation y=x)
(5) Je ne pense pas qu'elle soit ni intégrable ni dérivable du fait de sa "forte" discontinuité
Bonne soirée.
Frank

Encore une solution à rallonge que 3 personnes seulement vont lire en entier

(1) La fonction est bijective car f(f(x))=x

(2) La fonction est discontinu en tout nombre décimal à gauche et continue ailleurs (à droite pour les décimaux, à gauche et à droite pour les non décimaux)

(3)
La courbe est une fractale : le motif comprit dans [0,1]x[0,1] se répète à différentes échelles.

(4a) le graphe est symétrique par rapport à la droite x=y toujours parce que f(f(x))=x
(4b) le graphe est symétrique par rapport à l'origine car f(-x)=-x
(4c) le graphe n'est pas invariant par translation mais tout sous partie du graphe du coté des abscisses positives (respectivement négatives) se répète une infinité de fois de manière translaté
(4d) Toute homothétie de centre l'origine et de rapport [latex]100^n[/latex] où n est un entier relatif laisse invariant le graphe.
(4e) Comme on l'a dit le graphe est totalement fractal

(5) la fonction est intégrable mais dérivable nulle part.

Un petit résultat qui sera utile partout pour les preuves:
lemme :Si [latex]n[/latex] est un entier positif, [latex]m[/latex] un entier relatif et [latex] x \in [0,1[[/latex] alors :
[TeX]\ f((n+x)100^m)\ =\ f(n)100^m\ +\ f(x)100^m [/TeX]
Exemple : f(1234,56) = f(12)x100 + f(0,3456)x100, ce résultat se justifie visuellement.

preuve (2):

je vais la simplifier au maximum :

Pour les décimaux :

Ce sont les nombres où on passe d'une écriture qui se termine par une infinité de 9 à gauche, à une infinité de 0 à droite.
On passe de ...a(b-1)999999... à ...ab0000000... (a et b ainsi que b-1 sont des chiffres, b n'est pas nul)
1er cas :
f échange a et b alors f(...a(b-1)999999...) = ...(b-1)a9999999
f(...ab0000000...) = ...ba0000000... à cause de la retenu amené par les 9999...
le chiffre "a" n'est pas le même, les nombres sont différents
2eme cas :
f échange b et 0 alors f(...xa(b-1)999999...) = ...ax9(b-1)9999999... = ...ax9b0000000...
f(...xab0000000...) = ...ax0b0000000... la différence est encore plus évidente : un 9 devient 0
Pour la continuité à droite on se réfère à ce qui suit, le principe est exactement le même :

Pour les NON décimaux :

Soit x un nombre non décimal de [0,1[, n un entier, on va montrer que si x et y ont leurs 2n premières décimales en commun alors [latex]|f(x)-f(y)|<100^{-n} [/latex]

décomposons x et y :  [latex]x=(a+b)100^{-n}, y=(a+c)100^{-n}[/latex]

alors (lemme) :
[TeX]|f(x)-f(y)| \ =\ |\ (f(a)-f(a))100^{-n}+(f(b)-f(c))100^{-n}|
= \ |f(b)-f(c)|100^{-n} < 100^{-n}[/TeX]
En effet pour tout k dans [0,1[ , f(k) est lui aussi dans [0,1[
Donc f est bien continue en x

Pour étendre le résultat au reste des non décimaux on utilise la "pseudo linéarité" avec les puissance de 100 (lemme) pour se ramener à [0,1[.




preuve (3):

on calcul f(00),f(01) jusqu'à f(99) :
00,10,20...,90,  01,11,21..,91 02,12,..92    ...    08,18,28...,98   09,19,29,39...89,99  cela donne des séries de 10 points aligné suivant une pente de 10x verticalement (ou x/10 horizontalement)
Ensuite tout découle encore une fois du lemme, exemple : f(56+x)=65+f(x)
Quand x parcourt [0,1[ on retrouve le graphe de f sur  [0,1[ translaté du vecteur (56,65)




preuve (4d):

Tout découle directement du lemme :
[TeX]f(100^{n}x)=100^nf(x)[/TeX]
preuve (5):

Montrer que f est intégrable se fait avec des sommes de Riemann en minorant est en majorant f sur chaque intervalle. Montrer que les sommes inférieur et supérieur de rectangles sont adjacentes est difficile car il faut prendre en considération la fréquence et l'amplitude des discontinuités.
Pour se persuader du résultat, on peut observer l'aire sous la courbe avec la fonction analogue pour l'écriture binaire (par soucis de visibilité):



Enfin la fonction n'est dérivable nulle part, mais là j'en ai vraiment assez d'écrire

A plus tard pour de nouvelles énigmes moins ch***** à rédiger

Oui je m'en suis rendu compte, notamment en rédigeant ma solution